3.1.3 组合与组合数课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦组合的意义、组合数公式及性质，通过高考选科问题导入，结合“选大学志愿是否排序”的对比问题衔接排列知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于情境化问题驱动与逻辑推理融合，以选科、分组等实例抽象组合概念，用分步计数原理推导公式，借“取球”“分配”例题培养数学建模能力。既提升学生数学抽象和逻辑推理素养，又为教师提供清晰教学脉络与丰富实例，助力高效教学。

人教B版(2019)选择性必修第二册 3.1.3 组合与组合数 第三章 排列、组合与二项式定理 1 学习目标 理解组合的意义，体现数学抽象能力（重点） 掌握组合数公式及组合数的基本性质，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，假设某地考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？ 如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？ 3 新课学习 尝试与发现：下面这两个计数问题的答案一样吗？ (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系. 4 新课学习 不难看出，两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可. 换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序. 尝试与发现(1)中的事情，可以分成两步来完成： 5 新课学习 组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n) 个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 6 新课学习 思考一下：对于上面的问题(2)，用组合表示出来. 如果用A，B，C表示3所学校，{A，B}表示选择学校A和B作为目标，则 {A，B}就是一个组合，且（2）中的3种选择方式也就是3种组合分别为：{A，B}，{A，C}，{B，C}. 7 新课学习 组合数的概念 8 新课学习 注意： 1.所谓并成一组是指与顺序无关，例如，组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合. 9 新课学习 组合数公式 上述公式称为组合数公式. 10 新课学习 特殊的组合数 由组合数公式，分别取m=0，m=1，m=n，可得 11 新课学习 例1：已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： (1)这些点共可以连成多少条不同的线段？ 因为已知的点中，任意3点都不共线，而任意两点都能连成一条线段，所以共可以连成的不同线段条数为 12 新课学习 例1：已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： (2)以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？ 因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此共可以作出不同的非零向量个数为 13 新课学习 14 新课学习 思考一下：课堂导入中的问题如何计算？ 科目 思想政治 历史 地理 物理 化学 生物 字母 T H G P C B 15 新课学习 尝试与发现：在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，老师要将5位同学分成两组，一组2人，另一组3人. 老师要完成分组，有两种不同的做法: (1)选出2人作为一组，另外3人是另一组； (2)选出3人作为一组，另外2人是另一组. 用组合数符号分别表示(1)和(2)所得的分法种数，说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况. 16 新课学习 组合数的性质 17 新课学习 例3：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球, 从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 18 新课学习 例3：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球, 从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 19 新课学习 探索与研究 假设有n+1个不同的对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中选出m+1个的组合，可以分成两类： (1)不包括对象甲的；(2)包括对象甲的. 你能用这一事实直观地理解上述组合数的性质吗？ 20 新课学习 例4：现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件: (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？ 21 新课学习 例4：现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件: (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？ 满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法. 22 新课学习 例5：要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ 要完成分配任务，可以分为三步： 23 新课学习 例5：要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种? 要完成分配任务，可以分为两步： 24 新课学习 例6：现要从A，B，C，D，E，F 这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A . 有A的安排方法可以分成两步完成： 25 课堂练习 D 26 课堂练习 A 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂练习 C 33 课堂练习 34 课堂总结 1.组合的概念 2.组合数的概念 3.组合数的计算公式 4.组合数的性质 35 谢 谢 观 看 36 第一步，完成(2)中的事情，即选择两所学校；第二步，将选出的两所学校做全排列（共有 种方法）. 因为问题(1)的答案是 ，所以如果设问题(2)的答案是x，那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知 ，从而 . 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象 中取出m个对象的组合数，用符号 表示. 2.同符号 一样，在符号 中，总是要求n和m都是正整数，且 ，以后也不再声明. 考虑到从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤来完成：第一步，从n个不同对象中取出m个，有 种选法；第二步，将选出的m个对象做全排列，有 种排法. 由分步乘法计数原理有 ，所以 . (2) . 选考组合方式有 种可能，若用字母或数字表示科目的名字（如下表所示），并用{T，H，G}表示选考政治、历史、地理，则可以方便地选出所有的选考组合. 根据组合和组合数公式可知，(1)和(2)所得的分法种数分别为 和 ，而且 ， . 因此 . 一般地，有 ， ，因此 . (1)因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为 ，且 . (2)因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，所以共有不同的取法种数为 . (1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 . (2)抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中取出1件，有 种方法；第二步，在28件合格品中取出2件，有 种方法.因此取法种数为 . 恰有1件次品的取法有 种，恰有2件次品的取法有 种. 因此取法种数为 . 第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有 种方法； 第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有 种方法. 因此共有不同的分法数为 . 1.已知 ，则 ( ) A.14 B.15 C.13 D.12 3.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中A中学至少需要安排1位数学老师，那么有______种不同的安排方式( ) A.9 B.12 C.14 D.16 4.从编号为1，2，3，4的白球和编号为5，6，7的黑球中随机选取3个球，若两种颜色的球都有，则不同的选法种数为( ) A.30 B.35 C.45 D.60 $