第一章 有理数全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“基础-提升-专练”三级架构系统覆盖有理数全章高频考点，通过题型分类构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类基础题型|聚焦概念直接应用，如正负数表示相反意义的量、有理数分类|从核心概念（正数负数、有理数）到工具应用（数轴）再到性质应用（相反数、绝对值、大小比较）| |核心提升|3类重难题型|突出综合与动态，如绝对值非负性、数轴动点、有理数与数轴综合|概念交叉融合（绝对值+分类讨论）、静态到动态（数轴静态表示到动点运动）| |题型专练|选择/填空/解答题|覆盖高频易错点，如数轴表示、绝对值化简、实际应用|基础巩固→能力提升→综合应用，形成完整知识闭环|

第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量 题型2 有理数的分类 题型3 数轴的三要素及应用 题型4 相反数的概念与性质 题型5 绝对值的求法与基本应用 题型6 有理数的大小比较 核心提升：重难题型归纳 题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合 题型2 数轴上的动点问题 题型3 有理数与数轴的综合应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量 1．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 2．在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 【答案】 85 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均分90分为标准记为0分，超出部分为正，低于的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：选平均分90分为标准记为0分，超过部分为正，不足的部分为负， 则：小丽得97分，超出平均分7分，记作分； 小军得分记作分，低于平均分5分，他实际得分是（分）． 3．如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 4． 负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． 【答案】/50 【详解】解：根据题意，水位下降被记作负，上升与下降是具有相反意义的量，所以上升米记作米． ◆题型2 有理数的分类 5. 将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 ◆题型3 数轴的三要素及应用 6.点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 7.实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出，即可判断出答案． 【详解】解：根据数轴可得，，， ． A、，正确 B、，，错误； C、，，错误； D、，，错误． 8.下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 9.如果数轴上的点A对应有理数为，那么与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为___________． 【答案】或/或 【分析】设与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为，根据数轴上两点间的距离公式列方程，分情况求解即可． 【详解】解：设与A点相距个单位长度的点所对应的有理数为， 由题意得，即， 去绝对值得或， 解得或． 10.在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 ◆题型4 相反数的概念与性质 11.的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2022，2022 的倒数是． 12.代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 13.（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 14.如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． ◆题型5 绝对值的求法与基本应用 15.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 16.点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 17.已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给出的的取值范围，判断出和的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解：， ∴， 原式． 18.实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可得，得到，进而化简式子． 【详解】解：根据算术平方根的性质：， 原式可转化为：， 由数轴可知，实数的取值范围是，因此， ， 化简结果为 19.若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 20.若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 21.已知，，且，则_____． 【答案】6或2 【分析】本题主要考查了绝对值的定义与有理数的减法运算，熟练掌握绝对值的性质并结合条件筛选出符合要求的数是解题的关键． 先根据绝对值的定义求出、的可能值，再结合筛选出符合条件的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：6或2． 22.请写出一个绝对值小于3的整数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，应牢固掌握绝对值的意义．写出一个绝对值小于3的整数即可． 【详解】解：绝对值小于3的整数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 23.绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 24.某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 25.尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，， (1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？ (2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法与乘法的实际应用． （1）把记录数据的绝对值相加即可得到答案． （2）由总路程乘以单位耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：小王接送教师这天出租车的总行程是 （2）解： 答：小王接送教师这天共耗油 ◆题型6 有理数的大小比较 26.比较大小： （1）_________； （2）_________； 【答案】 【分析】（1）根据负数小于的性质直接判断； （2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断． 【详解】解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 27.三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【答案】液态氧 【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度． 【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为，液态酒精的沸点为，液态氨的沸点为． 由于， 因此液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． ◆题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合 1．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点、在数轴上分别对应的数为、，则、两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点、表示的数为，． ①、之间的距离可用含的式子表示为______； ②若该两点之间的距离为3，那么的值为______． (2)的最小值为______， (3)已知，，则的最大值是______和最小值是______（直接写出答案即可） 【答案】(1)①；②1或 (2)3 (3)5， 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式进行解答即可； （2）根据绝对值的几何意义可知，表示x的点与表示的点，表示1的点的距离之和，得出当x表示的点在与1之间时，这个距离之和最小，求出结果即可； （3）根据得出当，时，符合题意，得出的最小值为3，的最小值为7，求出的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：（1）①由题意得：， 故答案为：． ②由题意得：， ∴， 解得：或． 故答案为：1或． （2）解：由绝对值的几何意义可知，表示x的点与表示点，表示1的点的距离之和， ∴当时，有最小值， 取代入， 可得：， ∴最小值为3． 故答案为：3． （3）解：∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为7， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 故答案为：5；． 【点睛】本题主要考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便． ◆题型2 数轴上的动点问题 2．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． ◆题型3 有理数与数轴的综合应用 3．综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离__________，点到点的距离__________． (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的运算及整式的加减运算，关键是熟练应用知识点解题； （1）①由题意易得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，然后问题可求解；②根据两点间距离公式可进行求解； （2）①根据题意及数轴上有理数的表示方法可进行求解；②由①可得：，进而问题可求解． 【详解】（1）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则、、在数轴的位置如图所示： ②点到点的距离；点到点的距离； 故答案为，； （2）①点表示的数为：； 点表示的数为：； 点表示的数为：； ②答：不变， ∵， ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为：． 一、选择题 1．一、选择题 1．在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 2．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 3．5的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 4．的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是 5．已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的圆周等分点处分别标上，，，，再将数轴（表示的点右侧的部分）按顺时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上标记数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和数字的变化规律，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以，如果余数分别是、、、，则分别与圆周上表示数字、、、的点重合，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字3重合． 故选：D． 二、填空题 7．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 8． 在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非负整数是包括0和正整数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，都是非负整数； ，，，都不是非负整数； 即非负整数有4个， 故答案为：4 9．如图，数轴上的点表示的数是______． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，先确定A点所在的区间，再计算该区间的长度，进而得出点A所表示的数． 【详解】解：观察数轴可知，点A在1和2之间，1到2这个区间被平均分成了3份，点A到1的距离占了其中的2份， 那么点A到1的距离占1到2区间长度的比例为， 因此，点表示的数是． 10.已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 11．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 12． （1）_______；（2）_______；（3）_______． 【答案】 【分析】本题考查多重符号化简，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 13．比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 【答案】 【分析】（1）将分数转化为小数后，按小数大小比较规则比较； （2）根据负数比较大小的规则，先比较两个数的绝对值，绝对值大的原数更小． 【详解】解：（1），， ； （2），，， ，即， ． 三、解答题 14．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 15．一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为，，，，，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，．请问： (1)销售点距离仓库多远？ (2)试求出该货车共行驶了多少千米； (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往，，，，五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 【答案】(1)5千米 (2)18千米 (3)535千克 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数加法的实际应用，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据题意即可解答． （2）根据题意把所走路程记录的绝对值相加即可； （3）根据题意，算出、、、、的水果质量，然后相加即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴销售点距离仓库5千米． （2）解：（千米）， 则该货车共行驶 18 千米； （3）解： 千克． 答：该货车运送的水果总质量是 535 千克． 16．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)六，日，13 (2)144万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的大小比较，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得，， ∴周六的分拣量高出原计划6万件，最多；周日的分拣量低于原计划7万件，最少； 最多的一天比最少的一天多分拣：， 故答案为：六，日，13 （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣144万件包裹． 17．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数. 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量 题型2 有理数的分类 题型3 数轴的三要素及应用 题型4 相反数的概念与性质 题型5 绝对值的求法与基本应用 题型6 有理数的大小比较 核心提升：重难题型归纳 题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合 题型2 数轴上的动点问题 题型3 有理数与数轴的综合应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量 1．在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 3．如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 4．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 有理数的分类 5. 将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } ◆题型3 数轴的三要素及应用 6.点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 7．实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9.如果数轴上的点A对应有理数为，那么与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为___________． 10.在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型4 相反数的概念与性质 11.的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D． 12.代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 13.（1）______；（2）______；（3）______． 14.如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． ◆题型5 绝对值的求法与基本应用 15.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 16．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 17．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 18．实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（     ） A． B． C． D． 19．若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 20．若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 21.已知，，且，则_____． 22．请写出一个绝对值小于3的整数___________． 23．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 24.某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 25．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，， (1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？ (2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？ ◆题型6 有理数的大小比较 26.比较大小： （1）_________； （2）_________； 27.三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 ◆题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合 1．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点、在数轴上分别对应的数为、，则、两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点、表示的数为，． ①、之间的距离可用含的式子表示为______； ②若该两点之间的距离为3，那么的值为______． (2)的最小值为______， (3)已知，，则的最大值是______和最小值是______（直接写出答案即可） ◆题型2 数轴上的动点问题 2．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． ◆题型3 有理数与数轴的综合应用 3．综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离__________，点到点的距离__________． (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 一、选择题 1．在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 3．5的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 4．的绝对值是(     ) A． B． C． D． 5．已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的圆周等分点处分别标上，，，，再将数轴（表示的点右侧的部分）按顺时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上标记数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 8．在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 9．如图，数轴上的点表示的数是______． 10．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 11．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 12．（1）_______；（2）_______；（3）_______． 13．比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 三、解答题 14．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 15．一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为，，，，，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，．请问： (1)销售点距离仓库多远？ (2)试求出该货车共行驶了多少千米； (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往，，，，五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 16．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 17．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数全章高频重点题型突破 ◆题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量 1.【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 2.【答案】 85 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均分90分为标准记为0分，超出部分为正，低于的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：选平均分90分为标准记为0分，超过部分为正，不足的部分为负， 则：小丽得97分，超出平均分7分，记作分； 小军得分记作分，低于平均分5分，他实际得分是（分）． 3.【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 4.【答案】/50 【详解】解：根据题意，水位下降被记作负，上升与下降是具有相反意义的量，所以上升米记作米． ◆题型2 有理数的分类 5. 【答案】正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 ◆题型3 数轴的三要素及应用 6.【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 7.【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出，即可判断出答案． 【详解】解：根据数轴可得，，， ． A、，正确 B、，，错误； C、，，错误； D、，，错误． 8.【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 9.【答案】或/或 【分析】设与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为，根据数轴上两点间的距离公式列方程，分情况求解即可． 【详解】解：设与A点相距个单位长度的点所对应的有理数为， 由题意得，即， 去绝对值得或， 解得或． 10.【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 ◆题型4 相反数的概念与性质 11.【答案】D 【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2022，2022 的倒数是． 12.【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 13.【答案】 【详解】解：； ； ． 14.【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． ◆题型5 绝对值的求法与基本应用 15. 【答案】D 【详解】解：． 16.【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 17.【答案】B 【分析】根据给出的的取值范围，判断出和的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解：， ∴， 原式． 18.【答案】B 【分析】根据数轴可得，得到，进而化简式子． 【详解】解：根据算术平方根的性质：， 原式可转化为：， 由数轴可知，实数的取值范围是，因此， ， 化简结果为 19.【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴ 20.【答案】D 【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 21.【答案】6或2 【分析】本题主要考查了绝对值的定义与有理数的减法运算，熟练掌握绝对值的性质并结合条件筛选出符合要求的数是解题的关键． 先根据绝对值的定义求出、的可能值，再结合筛选出符合条件的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：6或2． 22.【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，应牢固掌握绝对值的意义．写出一个绝对值小于3的整数即可． 【详解】解：绝对值小于3的整数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 23.【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 24.【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 25.【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法与乘法的实际应用． （1）把记录数据的绝对值相加即可得到答案． （2）由总路程乘以单位耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：小王接送教师这天出租车的总行程是 （2）解： 答：小王接送教师这天共耗油 ◆题型6 有理数的大小比较 26.【答案】 【分析】（1）根据负数小于的性质直接判断； （2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断． 【详解】解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 27.【答案】液态氧 【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度． 【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为，液态酒精的沸点为，液态氨的沸点为． 由于， 因此液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． . ◆题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合 1．【答案】(1)①；②1或 (2)3 (3)5， 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式进行解答即可； （2）根据绝对值的几何意义可知，表示x的点与表示的点，表示1的点的距离之和，得出当x表示的点在与1之间时，这个距离之和最小，求出结果即可； （3）根据得出当，时，符合题意，得出的最小值为3，的最小值为7，求出的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：（1）①由题意得：， 故答案为：． ②由题意得：， ∴， 解得：或． 故答案为：1或． （2）解：由绝对值的几何意义可知，表示x的点与表示点，表示1的点的距离之和， ∴当时，有最小值， 取代入， 可得：， ∴最小值为3． 故答案为：3． （3）解：∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为7， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 故答案为：5；． 【点睛】本题主要考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便． ◆题型2 数轴上的动点问题 2．【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． ◆题型3 有理数与数轴的综合应用 3．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的运算及整式的加减运算，关键是熟练应用知识点解题； （1）①由题意易得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，然后问题可求解；②根据两点间距离公式可进行求解； （2）①根据题意及数轴上有理数的表示方法可进行求解；②由①可得：，进而问题可求解． 【详解】（1）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则、、在数轴的位置如图所示： ②点到点的距离；点到点的距离； 故答案为，； （2）①点表示的数为：； 点表示的数为：； 点表示的数为：； ②答：不变， ∵， ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为：． 1． B 2．A 3．B 4．A 5. C 6. D 7. -24 8. 4 9. 10. 5 11. 8 12. 13. 14. 解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 15 .(1)5千米 (2)18千米 (3)535千克 16. (1)六，日，13 (2)144万件 17.（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， (2)向左爬了4个单位长度 (3) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $