专题02 与绝对值有关的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02与绝对值有关的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 -题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 解题方法：利用零点分段法去绝对值：ab视为数轴上两点距离：最值问题用三角不等式或几何意义： 含参问题分类讨论参数范围。 -易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏：几 何意义与代数运算混淆。 夙题型归纳一精讲典型题法，务实解题根基 题型一、绝对值的非负性 奥剑1.(2627七年级浙江号侵作业4山若+=0，则=一， 2若a-6+=0,则a=.6= 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：la≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 2方法：若+b=0,则a=0且b=0;或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式11，(25-26七年级上陕西西安阶段检测)若a-1+b+2'=0 ,则a-2b的值为 12026 变式1-2.(25-26七年级上全国期中)若x,y为有理数，且x+2+(y-2)}=0,则y 的值为 变式1-3.(26-27七年级浙江暑假作业)代数式 -3 的最小值是 a+3 的最小值是 题型二、利用数轴化简绝对值 典例2.(25-26七年级上四川乐山期末)己知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示. -3 (I)在数轴上标出-a、-b对应的点，并将a、b、-a、-b用“<”连接起来： a+1+b-2-a-b (2)化简： 题型模版 1特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1.(25-26七年级上：贵州安顺期末)表示有理数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示. a 0b (1)比较大小：a+C0,a-b0,bc:(填“>”或“<”) (②)化简： la+c-la-b-c-b+lal 变式2-2.(25-26七年级上·甘肃平凉期末)有理数4，b,c在数轴上对应的位置如图所示，0为原点. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 0 b (1)a0,a-b 0,a+b0,b-C0(填“<”或“>”或“=”) (②化箭a-+la++b-d-a 变式2-3.(25-26七年级上四川南充期末)已知有理数a,b,c在数轴上对应位置如图所示： b 0 (1)用“>”， “<”填空：a-b0:a+c0；b-c0: (2)化简： a+c-a-b-3b-c 题型三、绝对值的实际应用 典例3.(24-25七年级上山西临汾阶段检测)试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在 生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“一”，在一次抽检中，小悦从该 规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量， 测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm +0.3 +0.2 -0.2 +0.4 +0.5 -0.3 +0.1 -0.5 (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由. 题型模版 1特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如x-b),解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1.(25-26七年级上全国期末)检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标 准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 2 3 4 5 与标准质量的差/8 +4 +7 -3 -8 -9 (1)几号篮球最接近标准质量？ 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为+3g和-5g,请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球 的质量好一些？ 变式3-2.(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨期末)某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路， 如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下.单位：km. 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -4 +7 -5 +4 +6 -5 -2 (1)在第几次记录时距A地最远？ (2)若汽车行驶每千米耗油03升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？ 变式3-3.(25-26七年级上：山西临汾期中)已知某零件的标准直径是10mm,超过规定直径长度的数量 记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 5 直径长度/mm +0.1 -0.15 -0.05 +0.25 -0.2 (1)试指出哪件样品的大小最符合要求？ (2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm~0.22mm之间的是次品，误差 的绝对值超过0.22mm的是废品， 那么上述五件样品分别属于哪类产品？ 题型四、分类讨论化简绝对值 典例4.(25-26七年级上·吉林长春阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数 学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”， 【问题背景】知识点：当4>0时， 0:当a=0时，网=0，当a<0时.=- a=a 【提出问题】如果有理数。b’求 .lal lol 6的值 【解决问题】分类讨论：讨论a,b的符号.解：由题意得： 4/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当a'b都是正数，即a>0'b>0时，则 la b_a.b a b a b -2； ②当a'b都是负数，即一时，则 a b lal lol ③当a’b有一个为正数，另一个为负数时，则 a b 故： @+b a+6的值为 【类比探究】三个有理数a'b,c满足abc<0:则 lall labe a b c abc 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式41.(25-26七年级上：广东广州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的 y☒ 数学思想.试用分类讨论解决下列问题.两个有理数x,y满足y>0,求yy的值。 解 yy=y+y=1+1=2 (1)x>0y>0时，yyxy'y y+凶-y+2-1-1=0 (2)x<0y<0时，xy y xy y y☒ 所以yy的值是2或0. 2abc la lol ld 仿照上面“分类讨论”的数学思想解.如果a,b,c是非零有理数，求abca b c的值 变式42.(25-26七年级上江苏扬州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的 数学思想.请运用分类讨论的数学思想方法，解答下面的问题： 5/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 la.bd ()三个有理数a、b、c满足abc<0,求a+b+c的值； ②2知1 a=3b=1 1,且a<b,求a+b的值， 变式43.(2425七年级上江苏盐城期中)“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨 论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题. lal,bl,cl 例：三个有理数a,b,c满足abc>0,求a+b+c的值. 解：由题意得：4，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， 则：4+A日=+6+=1+11=3， a b c a b c ②当a,b,c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 则：回A,日-+力+￡-1++=， 十 a cc a b c 综上述日+会只的值为3反1 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： a b ()己知a,b是有理数，当b≠0时，求ab值. b+c a+c a+b (2)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,bc>0,求a的值. 题型五、绝对值的几何意义 典例5.(25-26七年级上·天津·阶段检测)在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多. 例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂 问题变得容易解决， @当式子r++-2 取最小值时，相应的x的取值范围是 ， 最小值是 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当式子r-2+-4+r-6+k-8 取最小值时，相应的x的取值范围是 最小值是 题型模版 1.特征：a-bl表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代 数求解。 变式5-1.(24-25七年级上河南漯河阶段检测)我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表 示这个数的点离原点〈表示数0)的距离，￥的绝对值表示为 ,也可以写成-0，比如-2-0=2 在数轴上表示两个数”，'的点之间的距离可以表示为-，比如，表示3的点与的点之间的距离表示 x-y 3 为3-(-列=3+1=4 K+2+K-可以表示点与点1之间的距离跟点与2之间的距离的和，根据图示易知：当点‘的位置在 点A和点B之间（包含点A和点B)时，点x与点A的距离跟点x与点B的距离之和最小，且最小值为3， 即k+2+- 的最小值是3，且此时的值为2≤x≤1 请根据以上阅读，解答下列问题： X B -2 x01 (1)表示3的点与-1的点之间的距离表示为， Qk+2+k- 的最小值是 一，此时的取值范围为 变式5-2.(2025七年级上·全国专题练习)阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义. 若在数轴上有理数对应的点为A,有理数对应的点为B,则4，B两点之间的距离可表示 a-b或 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b-d,记为=b--b-d 如式子：-引的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点 之间的距离 5-4-3-2-1012345→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 2式子x+2x-3 最小值是多少？ ③)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同)：4,4,4,4,4，…4，某餐 饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在 -,才能使这2014 户居民到点P的距离总和最小 变式5-3.(25-26七年级上·贵州六盘水期末)数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的 距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a,点B表示的数是b,则A,B两点之间的距离 AB=a-b 例如：若点1表示5，点B表示2，则B=2-7 . .解决下列问题： -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 (I)若点A表示的数是4，点B表示的数是-1，则A,B两点之间的距离是一： (②当r-2=3 时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值： m+3-m-2 (3)是否存在有理数，使得 有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由. 同压轴挑战一支克高意压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26七年级下贵州开学考试)若 la=-a b=b ,则下列结论正确的是() A.a是负数，b是正数 B.a是正数，b是负数 C.a是负数或0，b是正数或0 D.a是正数或0，b是负数或0 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026海南·三模)海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球.现检测了四个足球的质量，超过 标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是() A.+2g B.-1.2g C.+0.9g D.-0.5g 1 3(2025七年级上湖南衡图专题练习)若口+方6-3)=0 则ab的值为() 1 1 A.8 B. 8 C.-2 D.-8 4.(25-26七年级上山东威海期末)我们知道，4可以理解为口-0，它表示：数轴上表示数a的点到 原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A,B,分别用数，b表示，那么A,B AB=a-b 两点之间的距离可以表示为 反过来，式子口- 的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示 数b的点之间的距离。由此，K-1+r-2 可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距 离的和.那么 -1+x-2 的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.(25-26七年级上宁夏银川期末)已知a为有理数，则 a-1+1 的最小值为. b+c-a-b-c-2a 6.(24-25七年级下·重庆期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为. b0 7.(25-26七年级上河南期末)数轴上的两个点A,B,分别用数4，b表示，那么A,B两点之间的距离 为1个-口-，反过来，式了口-州的几何意义是：数销上表示数4的点和表示数b的点之间的距离，若 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2+x+的最小值是3，则a 代数式 8《25236卡年级上E静报物下恒法：@话a46-0:号-1：②石+b<0:20,则 =-1 la+3l=-a-3b:③若a>hl,则(a+b)(a-b)>0;④若a+b+c<0,ab>0,c>0,则alhc 其中正确的有 (填序号) 三、解答题 9.(25-26七年级上广西崇左阶段检测)(1)若4，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简 a+b-a-1+b+2 代数 (2)若有理数a,b满足a-2015+b+100=0 求(1)中化简后式子的值. 10.(25-26七年级上江苏扬州阶段检测)(1)数轴上点A表示的数为a,若点A到原点的距离为5，则 a=-;若点B表示的数为l,点A到点B的距离为5，则a=-: a-2=5 ,a= (2)若 ,则” 3)若a+2,26-1=7,a<b,求 +b的值： (④若a+与b-互为相反数，求-州的值。 11.(25-26七年级上宁夏银川期中)分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类： 当4>0时，4=a,当a=0时，a=0,当0<0时，0.用这种方法解决下列问题： a a a b ()当a>0时，则l4一；当a<0时，则a一；当lb=-ab时，则回 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b+c a+c a+b (2)若a+b+c=0,abc<0,求ab +的值. 2a+b+ca+2b+c_a+b+2c (3)若a+b+c=0,a>0,c<0,且a+c<0,请分析b的正负性，并求出 a 161 的值. 12.(25-26七年级上四川泸州期中)如图，数轴上有A,B,C三个点，A,B,C对应的数分别是a, b,c,且满足a+24+b+10+e-102=0 A C 0 备用图 (1)则a= b= C= 【阿读材料】在数精上表示数”的点到原点的距离叫微肌的笔对值，记为网，数轴上表示数”的，点与表 示数”的点的距离记为 m-川（或m),数轴上数”表示的点到表示数m的点与表示数”的点的距离之 x-m+x-n 和记为 【初步运用】 (2)若式子 -=12，则x=一若式子-d小k-d,则= 【延伸探究】 (3)若式子 x-a+x-c 取最小值时，最小值是一，当式子r-4+K-+收-取最小值时，则x= 【拓展探究】 (4)若动点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，当点P运动多少秒时，动点P到点B、 点A的距离之和为16， 11/11 专题02 与绝对值有关的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 - 解题方法：利用零点分段法去绝对值；|a-b|视为数轴上两点距离；最值问题用三角不等式或几何意义；含参问题分类讨论参数范围。 - 易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏；几何意义与代数运算混淆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 典例1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 题型模版 1.特征：|a|≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 2.方法：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式1-1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 变式1-2．（25-26七年级上·全国·期中）若x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，进而根据乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故答案为：1． 变式1-3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 题型二、利用数轴化简绝对值 典例2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 【答案】(1) 解：如数轴所示 ∴． (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，大小比较，绝对值以及整式的加减，理解绝对值的意义和掌握整式加减的计算方法是得出正确答案的关键． （1）在数轴上标出、，再将、、、用“”连接起来即可； （2）由数轴，得到，再去绝对值并化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴，得 ， ∴， 则 ． 题型模版 1.特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2.方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：______0，______0，b______c；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简、整式的加减运算，关键是根据数轴上点的位置判断数的符号与绝对值大小，再结合绝对值的性质化简． （1）根据数轴上点的位置，判断为负数，、为正数，且，进而比较大小； （2）根据（1）的结论确定绝对值内式子的符号，再去绝对值符号并化简． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且． ∵为负，为正，且， ∴； ∵，， ∴； ∵数轴上右边的数大于左边的数， ∴； 故答案为：>，<，<； （2）解：由（1）知，，，， ∴，，，， ∴ ． 变式2-2．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查利用数轴比较数字的大小以及绝对值的化简，根据数轴判断出a、b、c、0的大小顺序是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c、0及其绝对值的大小顺序，再分别判断出、、与0的大小关系即可． （2）根据（1）的结论，去绝对值，计算出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知： 且， ∴，，． 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 变式2-3．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空： ； ； ； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算是解题的关键； （1）由数轴可得，且，然后问题可求解； （2）根据（1）及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，且， ∴； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知：， ∴ ． 题型三、绝对值的实际应用 典例3．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 题型模版 1.特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如|x-a|≤b），解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 变式3-2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第几次记录时距A地最远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)10.2升 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数的实际应用及绝对值的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则、正负数的意义、绝对值的意义，即可解决问题． （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）把所有行驶记录的绝对值相加再加上回到A地的1千米的和，乘以0.3计算即可得解． 【详解】（1）解：第一次距A地千米； 第二次：千米； 第三次：千米； 第四次：千米； 第五次：千米； 第六次：千米； 第七次：千米． ∴第五次记录时离A地最远； （2）解：从出发到收工汽车行驶的总路程： （）， 从出发到回到A地共耗油：（升）． 答：从出发到收工共耗油10.2升． 变式3-3．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 题型四、分类讨论化简绝对值 典例4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． 【提出问题】如果有理数、，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论，的符号．解：由题意得： ①当，都是正数，即，时，则； ②当，都是负数，即______时，则______+______=______； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，则______， 故：的值为______． 【类比探究】三个有理数，，满足，则______． 【答案】【解决问题】②，；；③0；2或或0；【类比探究】0或 【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 【解决问题】分三种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【类比探究】分两种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【详解】解：【解决问题】②当，都是负数，即，时，， 故答案为：；，；； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，令时，， 故答案为：0； 综上所述，的值为2或或0； 【类比探究】， 令或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：0或． 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2.方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式4-1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【答案】或或3或1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 分四种情况讨论，分别化简绝对值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①当都为正数时，即，原式； ②当中两个为正数，一个为负数时，不妨设， 则原式； ③当中两个为负数，一个为正数时，不妨设， 则原式； ④当都为负数时，即， 则原式； 综上所述：的值为或或3或1． 变式4-2．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．请运用分类讨论的数学思想方法，解答下面的问题： (1)三个有理数、、满足，求的值 (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，“分类讨论”思想 （1）首先根据得到a，b，c三个有理数都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，然后分情况讨论，分别化简绝对值求解即可； （2）根据题意可知或，进而代入计算即可． 【详解】（1） ， a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即时， ​​​​​​​则； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设， 则， ​​​​​​​因此的值为或； （2），，且， 或， 则或． 变式4-3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 题型五、绝对值的几何意义 典例5．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 题型模版 1.特征：|a-b| 表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2.方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代数求解。 变式5-1．（24-25七年级上·河南漯河·阶段检测）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 变式5-2．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 变式5-3．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·贵州·开学考试）若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质得到，，然后判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是负数或，是正数或． 2．（2026·海南·三模）海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 3．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零，那么得到且，求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 7．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 8．（25-26七年级上·全国·阶段检测）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，平方差公式，熟练掌握绝对值的几何意义和有理数的运算法则是解题的关键．对于①，当时，即可判断；对于②，根据条件可推出，，则，然后化简绝对值，即可判断；对于③，根据，结合数轴，分类讨论得出a、b的符号，即可判断；对于④根据条件可推出且，，，进而化简绝对值，即可判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误， 对于②：∵ ， ∴与同号， 又， ∴，， ∴， ∴，故②正确， 对于③：∵，则有四种情况： i、如数轴所示，    此时， ∴， ∴； ii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iv、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； 综上，若，则，故③正确； 对于④：∵， ∴与同号， 又，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，故④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式； （2）若有理数a，b满足，求（1）中化简后式子的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及其应用，整式的加减混合运算，绝对值的非负性，熟练掌握根据点（或数）在数轴上的位置判断出式子的正负是解题关键． （1）由数轴可得，，从而得到，，，再根据绝对值的性质对式子化简即可； （2）根据绝对值的非负性求出a，b的值，再代入（1）中化简后的式子即可解答． 【详解】解：（1）由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． （2）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴原式． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）数轴上点表示的数为，若点到原点的距离为，则 ；若点表示的数为，点到点的距离为，则 ； （2）若，则 ； （3）若，，，求的值； （4）若与互为相反数，求的值． 【答案】（1） ；或6 ；（2）7或；（3）或7；（4） 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义，相反数，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据两点间的距离进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义，进行求解即可； （4）根据两个相反数的和为0，结合绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， 或 故答案为：；或6 ； （2）∵， ∴或； 故答案为：7或． (3)， 或． ， ， 或． ， 或，． 当，时，； 当，时，． 或7． （4）依题意，得 ，又且， 且， ，， ． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）根据题意化简可得前两问，根据讨论的正负即可解答； （2）由已知可得，，，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； （3）得到，可得的正负性，根据题意可得，根据，，的正负即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 12．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），；（4）秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； （4）【拓展探究】当运动时间为秒时，点表示的数为，根据动点到点、点的距离之和为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去）， 解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； （４）【拓展探究】：当运动时间为秒时，点表示的数为， 根据题意得： ， ①当点在右侧时： 即 ②当点在左侧时： ， ． 综上所述：当点运动或秒时，动点到点、点的距离之和为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $