暑期预习讲义（第12讲）——角平分线与角的和与差 - 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第12讲）——角平分线与角的和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】角的定义与表示 2 【知识点二】角的和与差 2 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 3 【知识点四】角等分点拓展 3 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 3 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】角的定义与角的表示 3 【题型 2】基础角的和差计算 5 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 5 【题型 4】角平分线综合计算（中档常考） 6 【题型 5】双角平分线模型 7 三.经典题型精析（巩固提升） 9 【题型 6】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 9 【题型 7】角的和差与旋转问题（拔高核心） 9 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=_____ + _____，∠AOC=______ - ______，∠BOC=________ - ________。 2. 从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 3. 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=________，∠AOB=2________=2________，∠AOC=∠BOC=________∠AOB。 4. 若射线OC在∠AOB外部，则∠AOC=________+________，可用于外角叠加计算。 5. 角度计算中，射线位置不明确时，需要进行________讨论，避免漏解。 6. 角的三等分线可以把一个角分成________的三个小角。 【知识点一】角的定义与表示 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【知识点二】角的和与差 情况1：射线在角内部（内分角） 射线OC在∠AOB内部： 常用变形：， 情况2：射线在角外部（外分角） 射线OC在∠AOB外部： 核心原则：角度计算先定射线位置，再列和差式子，图形位置是列式的核心依据。 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 文字定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。一个角有且只有一条平分线。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：OC平分∠AOB ①；② ；③ 【知识点四】角等分点拓展 角三等分线：从顶点出发，将一个角分成三个相等小角的两条射线； 若OC、OD是∠AOB的三等分线，则。 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 题目仅说明“过顶点作射线”，未明确射线在角内部还是外部时，必须分两种情况计算： ① 射线在角内部：角度相减、平分细分； ② 射线在角外部：角度相加、外角拓展； 几何无图题默认多解，严禁主观臆断图形位置。 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 若OC为∠AOB内任意射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则： 此模型与线段中点嵌套模型原理一致，考试高频可直接套用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】角的定义与角的表示 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【变式1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【变式2】（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． （1）图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ （2）以A为顶点的角有几个？请表示出来． （3）与是同一个角吗？请说明理由． 【题型 2】基础角的和差计算 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时，并且．如果，那么应等于多少度，才能保证红球直接入袋？ 【变式1】（2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，若比的4倍还大，则______． 【变式3】（25-26六年级下·四川成都·期中）已知，，为内部一条射线，，求的度数． 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 【例题3】（25-26七年级下·云南·期末）如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的度数． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【变式3】（25-26七年级下·广东茂名·期中）如图，直线和交于点，，平分，．求的度数． 【题型 4】角平分线综合计算（中档常考） 【例题4】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为________° 【变式3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． （1）求的度数； （2）OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【题型 5】双角平分线模型 【例题5】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，分别平分，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆江北·周测）如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为_____； 规律探究 （2）若，求的度数； 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． 若，则的度数为_____； 若，求的度数． 万能结论：角内任意射线分角，两分角平分线的夹角恒为原角的一半，可直接套用。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题6】（25-26七年级上·四川广安·期末）已知，，射线、分别是和的平分线，求的度数．（温馨提示；请同学们结合题意画出图形，然后求解） 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26七年级下·四川南充·开学考试）已知，，平分，平分，则的度数是____． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，以为边画，为的角平分线，求的度数．（请根据题意画出图形，并写出解答过程） 重点提醒：无图角度题必分类，射线分内、外两种位置，杜绝漏解。 【题型 7】角的和差与旋转问题（拔高核心） 【例题7】（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，，和均可绕点O进行旋转，点M、O、N在同一条直线上，是的平分线． （1）如图，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数； （2）在（1）的基础上，若从处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为． ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②求出与第一次从相遇到分开所经历的时间． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，点O为直线上一点，射线，同时从射线位置出发，分别以，的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转，设运动的时间为，其中．记射线，，中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时刻为，射线，，中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时刻为，则的值为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，是直线上的一点，，一个直角三角板的直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在三角板绕点旋转一周的过程中，若所在的直线恰好平分，则旋转时间为___________秒． 【变式3】（广东省深圳市深圳中学2020-2021学年七年级下学期开学考数学试题）如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中 （1）若时，______°； （2）善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． （3）作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图所示，如果，那么（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·二模）如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南安阳·二模）如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·三模）如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 10．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 12．（25-26七年级下·福建泉州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 13．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 14．（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 15．（25-26七年级上·重庆江北·周测）如图，，，平分，若，则_____． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 17．（25-26七年级上·四川雅安·期末）已知，若平分平分则_______． 18．（2026·山东烟台·一模）如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 20．（本小题满分8分）（2025七年级上·全国·专题练习）已知：如图，，．求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图 1，点O在直线上，平分． （1）若，求的度数；小杨的解题过程如下： 解：∵ ． 平分， =°． （2）将按图 2 所示的位置进行放置，请猜想与间的数量关系，并给出证明． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． （1）求线段的长； （2）如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； （3）类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． （1）图1中的度数为 ； （2）在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． （3）在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——角平分线与角的和与差（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】角的定义与表示 2 【知识点二】角的和与差 3 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 3 【知识点四】角等分点拓展 3 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 3 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】角的定义与角的表示 4 【题型 2】基础角的和差计算 6 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 8 【题型 4】角平分线综合计算（中档常考） 11 【题型 5】双角平分线模型 13 三.经典题型精析（巩固提升） 17 【题型 6】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 17 【题型 7】角的和差与旋转问题（拔高核心） 21 四.同步自测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=_____ + _____，∠AOC=______ - ______，∠BOC=________ - ________。 2. 从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 3. 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=________，∠AOB=2________=2________，∠AOC=∠BOC=________∠AOB。 4. 若射线OC在∠AOB外部，则∠AOC=________+________，可用于外角叠加计算。 5. 角度计算中，射线位置不明确时，需要进行________讨论，避免漏解。 6. 角的三等分线可以把一个角分成________的三个小角。 答案：1. ∠AOC；∠BOC；∠AOB；∠BOC；∠AOB；∠AOC 2. 两个相等 3. ∠BOC；∠AOC；∠BOC； 4. ∠AOB；∠BOC 5. 分类 6. 相等 【知识点一】角的定义与表示 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【知识点二】角的和与差 情况1：射线在角内部（内分角） 射线OC在∠AOB内部： 常用变形：， 情况2：射线在角外部（外分角） 射线OC在∠AOB外部： 核心原则：角度计算先定射线位置，再列和差式子，图形位置是列式的核心依据。 【知识点三】角平分线核心定义（必考几何语言） 文字定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。一个角有且只有一条平分线。 三种几何等价表达（解题直接套用） 已知：OC平分∠AOB ①；② ；③ 【知识点四】角等分点拓展 角三等分线：从顶点出发，将一个角分成三个相等小角的两条射线； 若OC、OD是∠AOB的三等分线，则。 【知识点五】角度计算分类讨论思想（重难点） 题目仅说明“过顶点作射线”，未明确射线在角内部还是外部时，必须分两种情况计算： ① 射线在角内部：角度相减、平分细分； ② 射线在角外部：角度相加、外角拓展； 几何无图题默认多解，严禁主观臆断图形位置。 【知识点六】经典几何模型（中点迁移模型） 若OC为∠AOB内任意射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则： 此模型与线段中点嵌套模型原理一致，考试高频可直接套用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】角的定义与角的表示 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】（1）认同；（2）；（3），， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 解：（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 【变式1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 【变式2】（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． （1）图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ （2）以A为顶点的角有几个？请表示出来． （3）与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】（1）图中可以用一个大写字母表示的角是；（2）以A为顶点的角有3个，分别是；（3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 解：（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 【题型 2】基础角的和差计算 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时，并且．如果，那么应等于多少度，才能保证红球直接入袋？ 【答案】应等于60度，才能保证红球直接入袋 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴应等于60度，才能保证红球直接入袋． 【变式1】（2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 解：由图可知，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，若比的4倍还大，则______． 【答案】74 【分析】根据平角的定义可推出，再根据题意可得，则，据此求出的度数即可得到答案． 解：由题意得，， ∴， ∵比的4倍还大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26六年级下·四川成都·期中）已知，，为内部一条射线，，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，结合图形计算即可得出结果． 解：如图，当在的内部时， 此时， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的外部时， 此时， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 【题型 3】角平分线基础计算（必考） 【例题3】（25-26七年级下·云南·期末）如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 解：（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】/120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东茂名·期中）如图，直线和交于点，，平分，．求的度数． 【答案】． 【分析】根据角平分线的定义以及图形中角度之间的和差关系进行计算即可． 解：， ∴， ， 平分， ， ． 【题型 4】角平分线综合计算（中档常考） 【例题4】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解； （2）由题意可设，则，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ （2）解：由可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 【变式3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． （1）求的度数； （2）OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】（1）；（2）是的平分线．理由见分析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 解：（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【题型 5】双角平分线模型 【例题5】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再求出，结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 解：∵是的平分线，， ∴， ∵是直角，即， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，分别平分，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差，根据角平分线的定义可知，，根据角之间的关系可得． 解：，分别平分，， ，， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·重庆江北·周测）如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【答案】 【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解． 解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为_____； 规律探究 （2）若，求的度数； 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． 若，则的度数为_____； 若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角的和差进行求解即可； （2）利用角的和差进行求解即可； （3）①利用角的和差及角平分线的性质求出相关角的度数即可； ②利用角的和差及角平分线的性质表示出相关角的度数即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵， ∴； （3）①∵， ∴， ． ∵平分平分， ∴． ∴． 故答案为：； ②∵， ∴ ∵平分平分， ∴． ∴． 万能结论：角内任意射线分角，两分角平分线的夹角恒为原角的一半，可直接套用。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】射线位置不确定·分类讨论（拔高核心） 【例题6】（25-26七年级上·四川广安·期末）已知，，射线、分别是和的平分线，求的度数．（温馨提示；请同学们结合题意画出图形，然后求解） 【答案】的度数为或 【分析】分两种情况讨论：（1）当在的内部时，（2）当在的外部时，分别作出图形，利用角平分线的定义进行角度计算即可． 解：当在的内部时，如图1所示： ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）当在的外部时，如图2所示： ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 【变式2】（25-26七年级下·四川南充·开学考试）已知，，平分，平分，则的度数是____． 【答案】或 【分析】根据题意画出满足条件的两种情况结合角平分线的定义和角的和差即可求解． 解：如图所示：第一种情况如下图 ∵， ∴ ∵平分平分， ∴， ∴； 第二种情况如图 此时，； 综上所述，的度数是或． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，以为边画，为的角平分线，求的度数．（请根据题意画出图形，并写出解答过程） 【答案】或 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当边在的内部时，②当边在的外面时，逐个分析求解即可． 解：①当边在的内部时，如图 ∵， ， ∴， ∵为的角平分线， ∴； ②当边在的外面时，如图 ∵， ， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 答：的度数或． 重点提醒：无图角度题必分类，射线分内、外两种位置，杜绝漏解。 【题型 7】角的和差与旋转问题（拔高核心） 【例题7】（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，，和均可绕点O进行旋转，点M、O、N在同一条直线上，是的平分线． （1）如图，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数； （2）在（1）的基础上，若从处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为． ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②求出与第一次从相遇到分开所经历的时间． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）首先求出，然后根据角平分线的概念求解即可； （2）①根据，和的旋转速度和方向列式求解即可； ②首先得到，然后列式求解即可． 解：（1）因为，， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以； （2）①∵，从处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为， ∴ ∴与第一次重合的时间为； ②∵，， ∴ ∴第一次从相遇到分开所经历的时间为． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，点O为直线上一点，射线，同时从射线位置出发，分别以，的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转，设运动的时间为，其中．记射线，，中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时刻为，射线，，中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时刻为，则的值为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，第一次平分，即平分，最后一次平分，即靠近，平分，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：第一次平分，即平分，结合题意可得：， 解得：， 最后一次平分，即靠近，平分，由题意可得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，是直线上的一点，，一个直角三角板的直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在三角板绕点旋转一周的过程中，若所在的直线恰好平分，则旋转时间为___________秒． 【答案】5或 【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题．分两种情况讨论，当的延长线平分和平分，分别列式计算即可． 解：旋转时间为秒， 当的延长线平分， ∴，即， 解得； 当平分， ∴，即， 解得； ∴若所在的直线恰好平分，则旋转时间为5秒或秒． 故答案为：5或． 【变式3】（广东省深圳市深圳中学2020-2021学年七年级下学期开学考数学试题）如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中 （1）若时，______°； （2）善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． （3）作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【答案】（1）9；（2），；（3） 【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案； （2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案； （3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的内部，如图，    ∴ ； ∴ ； （3）∵，分别平分和，    ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 【点拨】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算是解本题的关键． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图所示，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角的和差计算，根据得到，进而推出． 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出，再根据求解即可． 解：，， ， ， ． 5．（2026·河南郑州·二模）如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差进行计算即可． 解：∵，， ∴． 6．（2026·河南安阳·二模）如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由图可知：． 7．（2026·河南周口·三模）如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 8．（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 9．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：， ． ， ． 平分， ． ． 10．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 解：∵平分，平分， ∴，， ∴. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·福建泉州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】先根据邻补角定义求出，再根据三角形内角和求出，然后利用角的和差计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据“睦邻友好角”的定义，可得，，进行分类讨论，分别计算的度数即可． 解：设，则， ∵与是“睦邻友好角”， ∴. 解得， ∴， 若在外部，如图，， 若在内部，， ∴的度数为或． 15．（25-26七年级上·重庆江北·周测）如图，，，平分，若，则_____． 【答案】 【分析】先利用直角和求出，再利用角平分线定义将用表示，最后结合列方程求解． 解：，， ，，即， 平分， ， ， ， ， 解得． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 【答案】16 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行七等分，即可得每个小角的度数． 解：∵射线是的七等分线，， ∴每个小角的度数为． 故答案为：16． 17．（25-26七年级上·四川雅安·期末）已知，若平分平分则_______． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，即落在内部与落在外部，结合角平分线的定义与角的和差关系计算即可． 解：分两种情况进行计算： ①当落在的内部时： 平分， ， 平分， ， ． ②当落在的外部时： 平分，平分， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 18．（2026·山东烟台·一模）如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据，设未知数，利用对顶角相等和邻补角定义表示出和，结合角平分线定义表示出，根据列出方程求解，最后计算的度数． 解：，设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 【答案】 解：， ， ， ， 射线平分， ． 20．（本小题满分8分）（2025七年级上·全国·专题练习）已知：如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了角度和差， 先通过角度和差关系得到，，进而可得证． 解：证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图 1，点O在直线上，平分． （1）若，求的度数；小杨的解题过程如下： 解：∵ ． 平分， = °． （2）将按图 2 所示的位置进行放置，请猜想与间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）；65；；25；（2），证明见分析 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差补全过程即可； （2）根据角平分线的定义，角的和差证明即可 解：（1）解：∵ ． 平分， ． ． （2）证明：，理由如下： ∵O是直线上一点， ∴， ∴． ∵平分， ∴ ∵，， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． （1）求线段的长； （2）如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； （3）类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． 【答案】（1）10；（2）6.5；（3） 【分析】（1）根据已知条件求出的长，因为D是的中点，所以，求出即可； （2）根据，分别为，的中点，求出，的长，再求出的长即可； （3）由射线，分别为和的平分线，可以得，，即可求出的大小． 解：（1）解：，， ． 是的中点， ． ． （2）解：由（1）知， ，分别为，的中点， ，． ． （3）解：，， ． 射线，分别为和的平分线， ，． ． ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． （1）图1中的度数为 ； （2）在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． （3）在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）30；；（3）在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 解：（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $