第1章 二次函数 暑期自主练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级数学上册二次函数单元暑期自主练习卷，覆盖二次函数定义、性质、图象变换及应用，注重基础巩固与创新应用结合，适配暑期自主复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|开口方向、对称轴、最值（如第3题含参数最值讨论）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|6/18|函数定义（第11题）、不等式解集（第13题）、几何综合（第14题直角三角形）|知识综合应用，渗透空间观念| |解答题|8/72|解析式求解（第17题）、实际建模（第21题投掷实心球、第22题利润问题）、创新定义（第23题“k倍距函数”）|突出数学建模与创新思维，培养应用意识与推理能力|

2026-2027学年浙教版九年级数学上册 第1章二次函数暑期自主练习卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 2．（本题3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 4．（本题3分）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 8．（本题3分）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 9．（本题3分）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 10．（本题3分）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若是二次函数，则________． 12．（本题3分）二次函数的最小值为__________． 13．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 15．（本题3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 16．（本题3分）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 18．（本题8分）二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 19．（本题8分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 20．（本题8分）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（本题9分）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 22．（本题9分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 23．（本题10分）我们约定：如果一个函数的图象与轴、轴都相交，并且各只有一个交点，设交点分别为、，若，我们就说该函数是“倍距函数”．例如函数与轴交于点，与轴交于点，，我们就说函数是“倍距函数”．根据约定，解答下列问题： (1)下列函数是“倍距函数”的有____________（填序号）； ①；②；③；④ (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数，）是“倍距函数”，求的值； (3)已知二次函数（，）是“倍距函数”，该函数的图象经过点，试求该二次函数的解析式． 24．（本题12分）如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B B A D C C D 1．C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 2．D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 3．D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 4．B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 5．B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 6．A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 7．D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 8．C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 9．C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 10．D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 11． 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 12． 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 13． 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 14． 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到，确定直角顶点为A，利用等腰直角三角形的性质求出的值，再用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：将代入得， 因此， 抛物线的对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式得顶点的纵坐标为， 因此， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 若为直角三角形，则直角顶点只能为， 如图，设中点为，连接， 则，， 由等腰直角三角形性质得， 即， 整理得， 当时，，此时三点重合，舍去， 因此，所以，即， 由勾股定理得， 代入得． 15．或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 16． 【分析】先求出，，设第一次反弹后的抛物线的解析式 得，设第二次反弹后的抛物线的解析式，得，得出即可． 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 17．(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 18．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据题意得出函数的对称轴为，然后分两种情况分析：当时，，当时，，求解不等式即可； （3）根据题意得出抛物线经过点和两点，分三种情况分析：时，时，③当抛物线的顶点在线段上时，画出相应函数图象，然后结合图象及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， ， 将点代入，得， ， 二次函数的解析式为． （2）由（1）得，函数的解析式为， 函数的对称轴为， 当时，若二次函数满足随的增大而减小， 当时，， 当时，， 解得：或， 的取值范围为或； （3）解：当时，，当时，， 即抛物线过， ①如图1，当时，，若抛物线与线段只有一个交点，则必有， ， ； ②当时，， 若抛物线顶点在线段下方，则抛物线与线段无交点，不合题意； 若抛物线顶点在线段上方，则抛物线与线段有两个交点，不合题意； 若抛物线的顶点恰在线段上时，则顶点的纵坐标， 由（2）得函数的对称轴为， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍去）或； 综上，抛物线与线段只有一个公共点时，的取值范围是或． 19．(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 20．(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 21．(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 22．(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 23．(1)②④ (2) (3)该函数解析式为或 【分析】（1）根据“倍距函数”的定义逐个判断即可； （2）由函数的解析式可知，根据“倍距函数”的定义可知一次函数与轴的交点为或者，可得方程与，解方程即可求出的值； （3）因为二次函数（，）是“倍距函数”，所以二次函数与轴、轴都只有一个交点，所以二次函数的顶点式为，根据“倍距函数”的定义可得：该二次函数与轴的交点坐标是，与轴交于点，可得：，根据二次函数经过点，可得方程，整理可得：，解方程组求出、的值即可得到函数解析式． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， 函数的图象与轴有两个交点， 故①不符合题意； 当时，， 函数与轴的交点坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 函数与轴的交点坐标是， ， ， 函数是“倍距函数”， 故②符合题意； 反比例函数与坐标轴没有交点， 故③不符合题意； 当时，可得：， 解得：， 函数的图象与轴的交点坐标是， ， 当时，可得：， 函数的图象与轴的交点坐标是， ， ， 故④符合题意； 综上所述，是“倍距函数”的有②④； （2）解：当时，， ， 一次函数是“倍距函数”， 一次函数与轴的交点为或者， 将其代入一次函数中，得到方程与， 解方程：， 可得：， 整理，可得：， 方程无解， 综上所述， ； （3）解：，， 对称轴， 又二次函数是“倍距函数”， 二次函数的顶点在轴的正半轴上． 设该二次函数的顶点式为（）， 又， 该二次函数与轴交于点， 代入得；①， 二次函数经过点， ， 化简得：②， 将方程①代入方程②得：③， 由③可得：， 把代入， 可得：， 解得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 该函数解析式为或． 24．(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $