1.4二次函数与一元二次方程的关系暑假预习同步训练2026—2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 暑假预习同步训练，聚焦二次函数与一元二次方程关系，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶，梯度衔接紧密，强化从概念理解到图像分析再到综合应用的知识路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（求交点坐标、方程根）|选择1-4、填空9-10、解答13-15，夯实概念理解与基本运算，体现运算能力| |提升层|知识综合（图像性质分析、含参问题）|选择5-6、填空11、解答16-17(1)(2)，培养推理能力与几何直观，发展数学思维| |综合层|复杂情境应用（平移变换、结论证明）|选择7-8、填空12(2)、解答17(3)、18，发展模型意识与创新思维，强化数学语言表达|

1.4二次函数与一元二次方程的关系暑假预习同步训练浙教版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知r是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知抛物线与轴交于点，则关于的方程的解是(   ) A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与轴无交点 C．与轴交点是 D．对称轴是直线 5．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线 的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向下平移2个单位 8．如图，抛物线经过，对称轴为直线．有如下结论：①；②；③对于任意实数m，总有；④对于a的每一个确定的值，若一元二次方程（P为常数，且）的根为整数，则满足条件的P的值有且只有三个．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．抛物线与轴的交点坐标是___________． 10．二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 11．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 12．已知函数与轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 14．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 15．已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 16．已知二次函数的图象经过点，且． (1)求二次函数的对称轴； (2)当，且该二次函数的图象与坐标轴恰有3个交点时，求的取值范围； (3)当时，证明：． 17．已知二次函数． (1)若当时，该函数有最小值，求k的值； (2)若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值； (3)若，当时，y随着x的增大而增大，求m的范围． 18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个公共点． (1)求的取值范围； (2)若取满足条件的最小的整数， ①求这个二次函数的解析式，并写出此时二次函数的顶点坐标； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； ③将此抛物线平移，使其图象经过原点．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 参考答案 1．D 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0， ∴将代入，计算得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 2．A 【详解】解：令，即，即， 解得， ∴抛物线与x轴的交点为， ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴令，即，解得， ∴关于的方程的解是， 故选：C 4．B 【详解】解：由可知，则抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，故A，D不正确； 令，则， ∴， ∴方程无解， ∴抛物线与轴无交点，故B选项正确； 当时，， ∴抛物线与轴交点是，故C不正确． 故选：B． 5．D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ， 故A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ∴，故B错误，不符合题意； ∵抛物线与轴有两个的交点， ∴，故C错误，不合题意； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， ∴当时，， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 6．D 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， ∴关于直线对称的点为， 即抛物线与轴另一个交点为， ∴当或时，， 故选：D． 7．C 【详解】解：∵二次函数为， 当函数向下平移5个单位时，函数解析式变为：， 此时与x轴有两个交点分别为：与，相距2个单位， ∴当函数向下平移5个单位时，能够满足题意； 故选：C． 8．D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， 9． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 10．和 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 11．或 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 12． 2 【详解】解：（1）函数与轴的一个交点坐标为 ∴方程有一个根为， ∵方程其中一个根为， 13．【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为，令，则， 则顶点坐标为，因此，二次函数图象如下： 14．【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 15．【详解】（1）解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 16．【详解】（1）解：， 该二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，． ，解得，且，即， 且； （3）解： ， ． 又， ， ． 17．【详解】（1）解：由题得：， ∵当时，函数有最小值， ∴， 解得：； （2）解：由题得：由题平移后， 抛物线， ∵此时与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或； （3）解：由题得：当时，抛物线对称轴为： ， ∵当时，y随着x的增大而增大，且抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴． 18．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴方程根的判别式，且， 解得且． （2）解：①∵且，取满足条件的最小的整数， ∴， ∴二次函数的解析式为，化成顶点式为， ∴此时二次函数图象的顶点坐标为． ②当时，， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，函数值的取值范围是， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． ③∵函数平移后的图象对应的函数表达式为， ∴， ∴平移后的图象对应的函数表达式为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵函数的图象经过原点， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $