第三十章 《圆与直线的位置关系》单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦《圆与直线的位置关系》，以切线性质、内切圆、正多边形与圆为核心，通过乡村研学、攀岩挑战等现实情境，融合作图、证明与实际应用，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|切线判定（3题）、内切圆性质（6题）、正六边形计算（7题）|结合钟表表盘（11题）考查几何直观，体现数学眼光| |填空题|4/12|正六边形面积（13题）、切线角度（14题）、内切圆半径（15题）|基础与能力结合，强化符号意识| |解答题|7/56|内切圆作图（17题）、内心与外接圆证明（18题）、实际测量应用（22题）、海伦公式应用（23题）|综合推理（19题）与模型构建（22题），发展推理能力与应用意识|

第三十章《圆与直线的位置关系》单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是． A. B. C. D. 2.如图，的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切于点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 垂直于的半径，则是的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过切点的直线是圆的切线 D. 圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 4.如图，是正方形的外接圆，点在上，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是外一点，射线，分别与相切于点，，与相切于点，分别交，于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，为的内切圆，，，，，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，点为的内心，，点，分别为，上的点，，且，则的度数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 9.年是我国“十四五”规划收官之年，不少青少年参与了“乡村振兴青春助力”的实践活动在一次乡村研学中，同学们在如图所示的三角形农田里开展测绘工作，测得，是的内切圆，为了给农田安装智能喷灌系统则喷灌系统中心与农田两边，形成的的度数为． A. B. C. D. 10.如图，四边形的各边与分别相切于点，，，若四边形的周长为，则(    ) A. B. C. D. 11.如图是一个钟表表盘，连接整点时与整点时的，两点并延长，交过整点时的切线于点，若表盘的半径为，则为(    ) A. B. C. D. 12.两个边长为的正六边形按如图所示方式放置，则点的坐标是   ． A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.正六边形的边长等于，则这个正六边形的面积为          ． 14.如图，是的切线，是切点，连接，若，则的度数是          ． 15.如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为          ． 16.如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，，为弦的中点，连接，若，，则的长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知，其面积为，其周长为． 求作：的内切圆 求的半径． 18.本小题分 如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于点． 求证：． 19.本小题分 如图，是的外接圆，为的直径，为的内心，连接并延长交于点，连接． 求证：． 若过点的切线与的延长线交于点，已知，则与线段，围成的阴影部分的面积为          结果保留 20.本小题分 如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，连接，． 求证： 连接，若，，求的长． 21.本小题分 如图，是的内切圆，切点分别是，，． 若，，则的度数为          ． 若，求的度数． 22.本小题分 年月日，美国攀岩传奇人物亚历克斯霍诺德成功徒手攀登中国台北大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时分钟就登顶米高的大楼顶端，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点，如图，在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点，他在距离楼底点的点处观察，用测倾器测得攀登难点的仰角为，然后沿斜坡向上走到点处观察，测得攀登难点的仰角为，的延长线交水平地面于点，已知点，，在同一条水平直线上，斜坡的铅直高度与水平宽度的比为：于点，求观察点的铅直高度测倾器高度忽略不计，参考数据： 23.本小题分 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积古希腊数学家海伦在他的著作度量一书中给出了一种计算公式海伦公式，即，其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积． 例如，在中，，，所以． 所以． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中，，，． 求的面积 求的内切圆的半径． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章《圆与直线的位置关系》单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 2.如图，的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切于点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 垂直于的半径，则是的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过切点的直线是圆的切线 D. 圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 【答案】D  【解析】略 4.如图，是正方形的外接圆，点在上，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.如图，是外一点，射线，分别与相切于点，，与相切于点，分别交，于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 6.如图，为的内切圆，，，，，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】如图，连接，． 的面积为， 的半径为． 六边形为正六边形， ． ， 为等边三角形， ，故选D． 8.如图，点为的内心，，点，分别为，上的点，，且，则的度数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 【答案】A  【解析】连接，过点作于，于，如图． 点为的内心， 是的平分线． 又，，． 在和中， ， ． 在四边形中，， ． 又，，即， ，． 9.年是我国“十四五”规划收官之年，不少青少年参与了“乡村振兴青春助力”的实践活动在一次乡村研学中，同学们在如图所示的三角形农田里开展测绘工作，测得，是的内切圆，为了给农田安装智能喷灌系统则喷灌系统中心与农田两边，形成的的度数为． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 10.如图，四边形的各边与分别相切于点，，，若四边形的周长为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 11.如图是一个钟表表盘，连接整点时与整点时的，两点并延长，交过整点时的切线于点，若表盘的半径为，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设钟表表盘的中心为点，连接，，易得点在上，，．与相切于点，．，故选B． 12.两个边长为的正六边形按如图所示方式放置，则点的坐标是   ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】如图，设左边正六边形的中心为，连接，． 由题意，得，， 是等边三角形， ． 正六边形的一个内角度数为， ， ，，，三点共线． ， ， ，． ，点的坐标为故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.正六边形的边长等于，则这个正六边形的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，是的切线，是切点，连接，若，则的度数是          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，，为弦的中点，连接，若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】解：延长至点，使，连接． 因为点是的内心，所以，． 又因为，， 所以，所以． 所以，． 又因为，所以． 所以，所以． 又因为为弦的中点，所以是的中位线， 所以． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知，其面积为，其周长为． 求作：的内切圆 求的半径． 【答案】(1)如图所示.   (2)设O的半径为r,连接OA,OB,OC,=​​​​​​​++=rAB+rAC+rBC=r(AB+AC+BC)=.又AB+AC+BC=24,r=.  【解析】 略  略 18.本小题分 如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于点． 求证：． 【答案】解：连接． 点是的内心，，．，．，，，． ，，，．   【解析】略 19.本小题分 如图，是的外接圆，为的直径，为的内心，连接并延长交于点，连接． 求证：． 若过点的切线与的延长线交于点，已知，则与线段，围成的阴影部分的面积为          结果保留 【答案】(1)解:证明:E是ABC的内心, BAE=CAE,EBA=EBC. BED=BAE+EBA,DBE=EBC+DBC,DBC=EAC, DBE=DEB. DB=DE.  (2)-​​​​​​​  【解析】 略  略 20.本小题分 如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，连接，． 求证： 连接，若，，求的长． 【答案】(1)如图(1),连接OD. AC是O的切线, ODAC,即ODC=ABC=. OD=OB,OC=OC, RtDOCRtBOC(HL), DOC=BOC,DOB=2BOC. DOB=2DEB, BOC=DEB, ​​​​​​​OC//DE.   (2)如图(2),连接CE. ADE=,ADO=,ODE=. OD=OE,ODE是等边三角形,DOE=, A=. 由(1),知RtDOCRtBOC(HL), DOC=BOC=. 在RtAOD中,A=,OA=2OD. A=,ADE=,AE=DE. ODE是等边三角形,AE=DE=OD=OE. AE=2,OD=OE=OB=. 在RtBOC中,BOC=,OB=2, BC=OB=2. 在RtBCE中,BE=OB+OE=2+2=4,BC=2, CE====2.   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，是的内切圆，切点分别是，，． 若，，则的度数为          ． 若，求的度数． 【答案】(1)  (2)连接ID,IE.DFE=,DIE=. AB,AC分别与I相切于点D,E, ADI=AEI=. ​​​​​​​A=---=.  【解析】 略  略 22.本小题分 年月日，美国攀岩传奇人物亚历克斯霍诺德成功徒手攀登中国台北大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时分钟就登顶米高的大楼顶端，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点，如图，在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点，他在距离楼底点的点处观察，用测倾器测得攀登难点的仰角为，然后沿斜坡向上走到点处观察，测得攀登难点的仰角为，的延长线交水平地面于点，已知点，，在同一条水平直线上，斜坡的铅直高度与水平宽度的比为：于点，求观察点的铅直高度测倾器高度忽略不计，参考数据： 【答案】米．  【解析】解：如图，过点作交于点，交于点， 在中，，米，， 米， ， 四边形是矩形， ，， 设米， 米， 在中，斜坡的斜面坡度为：， ， 米， 米， 在中，， ， 米，米， ， 解得， 故观察点的铅直高度为米． 如图，过点作交于点，交于点，解直角三角形求出，设米，再根据，构建方程求出即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 23.本小题分 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积古希腊数学家海伦在他的著作度量一书中给出了一种计算公式海伦公式，即，其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积． 例如，在中，，，所以． 所以． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中，，，． 求的面积 求的内切圆的半径． 【答案】解：如图： ，，， ， 故的面积为 ， ， 解得：， 故的内切圆半径为．   【解析】先根据、、的长求出，再代入到公式即可求得的值 根据公式，代入可得关于的方程，解方程得的值． 本题主要考查三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $