第10章 数的开方（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为华东师大版七年级下册第10章“数的开方”单元拔尖卷，通过数学史情境（如毕达哥拉斯学派）、实际问题（如正方体体积）及跨学科素材（如A系列纸），覆盖平方根、立方根等核心知识，适配单元复习，可量化学生掌握程度与抽象能力、运算能力等核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数概念（第1题）、平方根性质（第2题）|结合数学史（第1题），基础概念辨析| |填空题|6/18|二次根式意义（第11题）、估算（第14题）|表格数据分析（第14题），思维梯度合理| |解答题|7/72|方根综合运算（第17题）、规律探究（第21题）、实际应用（第23题）|跨学科情境（第23题A系列纸），创新应用与逻辑推理结合|

第10章 数的开方·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 5．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）下面各数，与最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期中）如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子有意义，则____________． 12．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知，，则______． 13．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 14．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 15．（25-26九年级下·重庆·开学考试）若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 16．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 18．（8分）（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 19．（10分）（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 20．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 21．（12分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 22．（12分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 23．（14分）（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； B．选项是分数，属于有理数，不符合要求； C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求； D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求． 2．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 3．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为（，棱长为正数），根据正方体的体积和底面积得出，，即可解答； 【详解】解：设正方体的棱长为（，棱长为正数）， 根据正方体体积公式：，因此，即棱长是的立方根，A正确，D错误； 根据正方体底面积公式：，因此，即棱长是的算术平方根，B选项说“的平方根”（平方根含正负，不符合棱长为正）、C选项说“的立方根”，均错误． 5．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）下面各数，与最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∵ ， ∴与最接近的整数是4． 7．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 8．（25-26八年级下·北京·期中）如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再分别求出和的小数部分和，最后计算的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵， ∴的整数部分为，小数部分， ． 9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子有意义，则____________． 【答案】 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 13．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 14．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 15．（25-26九年级下·重庆·开学考试）若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 16．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴的算术平方根为． 18．（8分）（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 19．（10分）（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 20．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 21．（12分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 22．（12分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 23．（14分）（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $