第10章 数的开方（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第10章“数的开方”高效培优单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合科学情境与文化素材，适配单元复习，强化抽象能力、运算能力及推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|无理数识别、平方根计算等|第4题结合数轴考查无理数几何意义，体现几何直观| |填空题|6/12|实数性质、新定义运算|第18题定义运算强化抽象思维，培养符号意识| |解答题|8/72|方程求解、实际应用、探究证明|含射击速度计算（模型意识）、华罗庚立方根素材（文化传承），第26题新定义证明发展推理能力|

第10章 数的开方（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D B C C A B B A D C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．2 14．（答案不唯一） 15．9 16． 17．/ 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 20．【答案】 【解析】解：由题意得，， 解之得，． 21．【答案】(1)①③⑨ (2)③④⑥⑦⑧⑩ (3)⑤⑥⑦⑩ (4)①③ 【解析】（1）解：先化简各数：，， 整数集合：{①③⑨}； （2）解：正实数集合：{③④⑥⑦⑧⑩}； （3）解：无理数集合：{⑤⑥⑦⑩}； （4）解：非负整数集合：{①③}． 22．【答案】(1) 的值为6，的值为6 (2) 【解析】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， ∵的立方根是3， ∴，解得， ∴的值为6，的值为6； （2）解：由(1)知， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 23．【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：． （2）解：由题意得， 两边平方得， 解得． 24．【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 25．【答案】(1)45 (2)三，0，840 【解析】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 26．(1)①不是，②是 (2)③，④ (3)证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                    ∵， ， ， ，                                               ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”．                               证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                     ∴， ∵，   ，                                             ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 【分析】（1）根据“倍准平方和数对”的定义，将两组整数分别代入求解，看是否满足“倍准平方和数对”的定义即可求解； （2）利用等量代换即可求解； （3）模仿小问（2）的求解过程即可求解， 【解析】（1）解：根据“倍准平方和数对”的定义， ， 不是的倍数， ∴整数和不是一组“倍准平方和数对”； ∵， 是的倍数， ∴整数和是一组“倍准平方和数对”； （2）证明：因为和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得． 因为 ． 因为是整数，所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． （3）证明：见答案 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．0.25 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．表示的算术平方根，结果为非负数，，∴A错误； B．对任意实数，都有，，∴B错误； C．，C计算正确； D．表示的平方根，，∴D错误． 3．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 4．如图，在数轴上以单位长度为边长画正方形，再以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别相交于，两点．下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设表示线段上的数为，先确定的取值范围，根据是有理数判断A不符合题意，再估算另三个选项，即可得答案． 【详解】解：设表示线段上的数为， 由题意可知， 是有理数，故A选项不符合题意， ∵， ∴，故B选项符合题意， ∵， ∴， ∴，故C选项不符合题意， ，故D选项不符合题意． 5．若，，为连续的整数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应算术平方根越大，找到夹着的两个连续整数，即可得到的值． 【详解】解：， ，即， 又，且，为连续整数， ，． 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 7．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 9．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 10．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 11．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵算术平方根随被开方数增大而增大， ∴，当时取等号， ∴， 即原代数式的最小值是． 12．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出，最后得到的值． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， ∴， ， ． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算：________． 【答案】2 【详解】解： 14．请写出一个比小的整数：____________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合，确定的范围，再推导出的范围，即可得到符合要求的整数． 【详解】解：， ， 则不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 比小的整数可以为．（答案不唯一） 15．已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 16．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 17．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 18．定义运算：表示求不超过的最大整数．如，，． （1）若是整数，且，则________； （2）若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据定义可得，解不等式组即可得到答案； （2）根据题意可得，则可得到，进而得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 20．依据图中呈现的运算关系，求的值． 【答案】 【分析】根据图中呈现的运算关系得出，即可求出a的值． 【详解】解：由题意得，， 解之得，． 21．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①0，②，③，④3.1415926，⑤，⑥，⑦，⑧1.26，⑨，⑩0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1） (1)整数集合：{             }； (2)正实数集合：{             }； (3)无理数集合：{             }； (4)非负整数集合：{             }． 【答案】(1)①③⑨ (2)③④⑥⑦⑧⑩ (3)⑤⑥⑦⑩ (4)①③ 【分析】先化简题中可开方的数，再根据不同类型数的定义分类即可得到结果． 【详解】（1）解：先化简各数：，， 整数集合：{①③⑨}； （2）解：正实数集合：{③④⑥⑦⑧⑩}； （3）解：无理数集合：{⑤⑥⑦⑩}； （4）解：非负整数集合：{①③}． 22．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) 的值为6，的值为6 (2) 【分析】(1)根据平方根与立方根的定义分别列出关于的方程，解方程即可； (2)把(1)中求得的值代入，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， ∵的立方根是3， ∴，解得， ∴的值为6，的值为6； （2）解：由(1)知， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 23．运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知、，直接代入公式，分步计算根号内数值，再开平方求出速度； （2）已知、，直接代入公式计算． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得， 两边平方得， 解得． 24．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 25．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 【答案】(1)45 (2)三，0，840 【详解】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 26．对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． (1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） (2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． (3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 【答案】(1)①不是，②是 (2)③，④ (3)证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                    ∵， ， ， ，                                               ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”．                               证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                     ∴， ∵，   ，                                             ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 【分析】（1）根据“倍准平方和数对”的定义，将两组整数分别代入求解，看是否满足“倍准平方和数对”的定义即可求解； （2）利用等量代换即可求解； （3）模仿小问（2）的求解过程即可求解， 【详解】（1）解：根据“倍准平方和数对”的定义， ， 不是的倍数， ∴整数和不是一组“倍准平方和数对”； ∵， 是的倍数， ∴整数和是一组“倍准平方和数对”； （2）证明：因为和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得． 因为 ． 因为是整数，所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． （3）证明：见答案 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．0.25 2．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 4．如图，在数轴上以单位长度为边长画正方形，再以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别相交于，两点．下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，为连续的整数，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 7．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 9．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 10．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 11．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 12．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算：________． 14．请写出一个比小的整数：____________．（写一个即可） 15．已知实数m，n满足，则________． 16．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 17．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 18．定义运算：表示求不超过的最大整数．如，，． （1）若是整数，且，则________； （2）若，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)； (2)． 20．依据图中呈现的运算关系，求的值． 21．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①0，②，③，④3.1415926，⑤，⑥，⑦，⑧1.26，⑨，⑩0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1） (1)整数集合：{             }； (2)正实数集合：{             }； (3)无理数集合：{             }； (4)非负整数集合：{             }． 22．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 23．运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 24．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 25．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 26．对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． (1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） (2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． (3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $