专题07 一元二次方程的概念的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以十类题型为框架，融合解题通法与易错点分析，构建“概念-应用-迁移”的完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4知识点+5易错点|定义判定三要素、二次项系数验证、方程整理规范|从概念（定义、一般形式）到易错警示，夯实基础| |题型归纳|10类（每类1典例+3变式）|根的整体代入、降次法、整体换根、赋值法|从基础应用（求参、列方程）到高阶技巧（估算、换根），层层递进| |压轴挑战|15题|综合概念辨析、跨题型融合|整合十类题型核心方法，提升问题解决与创新意识|

专题07 一元二次方程的概念的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、列一元二次方程 题型四、已知一元二次方程的根求参 题型五、一元二次方程中不含某项 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 题型七、赋值一元二次方程的根 题型八、降次法求值 题型九、一元二次方程的整体换根 题型十、一元二次方程的估算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 3. 判定三要素：①是整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2，三个条件缺一不可 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解 易错点 1. 忽略“整式方程”前提：将分母含未知数的分式方程（如+x²=3）误判定为一元二次方程 2. 忘记验证二次项系数不为0：判定形如(m-1)x²+3x-2=0的方程时，未考虑m=1时方程退化为一元一次方程，直接判定为一元二次方程 3. 确定系数时遗漏符号：将一般形式如2x²-3x+1=0的一次项系数错写为3，实际应为-3 4. 整理方程时出错：未将方程化为一般形式就直接确定次数和系数，如将x(x+2)=4x²-3错整理，误判最高次数 5. 根的验证误区：代入求值时只计算一边，忽略验证方程左右两边是否相等，或者将只满足一边的未知数错认为根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 典例1 下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 变式1-1若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 变式1-2已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 变式1-3关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 类型二、一元二次方程的一般形式 典例2 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 变式2-1一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 变式2-2把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 变式2-3一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 【答案】2，， 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出，，的值． 【详解】解：， 整理得： ∴，，． 题型三、列一元二次方程 典例3 某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 变式3-1如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 变式3-2某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 变式3-3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 题型四、已知一元二次方程的根求参 典例4 已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 变式4-1已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 变式4-2若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 变式4-3已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 题型五、一元二次方程中不含某项 典例5 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 变式5-1若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次项，则m等于（   ） A．0 B．4 C．－4 D．±4 【答案】B 【分析】首先要把方程化成一般形式．不含的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可． 【详解】解：， ， 不含的一次项， 则， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含的一次项，即是一次项系数为0． 变式5-2若方程中不含x的一次项，则________． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键． 根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：∵方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 变式5-3关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 典例6 若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 变式6-1若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 变式6-2若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 变式6-3若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 题型七、赋值一元二次方程的根 典例7 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 变式7-1若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 变式7-2在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 变式7-3对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 题型八、降次法求值 典例8 将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2019即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x+2019=（x+1）2-3x+2019 =x2+2x+1-3x+2019 =x2-x+2020 =1+2020 =2021， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 变式8-1将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到，，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故选：B． 变式8-2将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是_______． 【答案】2020 【分析】先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2018即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x+2018=（x+1）2-3x+2018 =x2+2x+1-3x+2018 =x2-x+2019 =x+1-x+2019 =2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 变式8-3将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ． 【答案】2018 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案． 进行求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 题型九、一元二次方程的整体换根 典例9 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 变式9-1已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 变式9-2已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 变式9-3关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 ，其解为． 将待求解方程 变形为 令，则方程变为 ，可得， 即或， 解得． 题型十、一元二次方程的估算 典例10 根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 变式10-1根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 变式10-2小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 变式10-3探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 4．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 5．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 6．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 7．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 8．若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 9．设α是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，，进行整体代入求值即可． 【详解】解：∵α是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．已知是方程的一个根，则____． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【详解】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 11．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 12．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 13．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 14．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 15．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程的概念的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 题型二、一元二次方程的一般形式 题型三、列一元二次方程 题型四、已知一元二次方程的根求参 题型五、一元二次方程中不含某项 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 题型七、赋值一元二次方程的根 题型八、降次法求值 题型九、一元二次方程的整体换根 题型十、一元二次方程的估算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 3. 判定三要素：①是整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2，三个条件缺一不可 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解 易错点 1. 忽略“整式方程”前提：将分母含未知数的分式方程（如+x²=3）误判定为一元二次方程 2. 忘记验证二次项系数不为0：判定形如(m-1)x²+3x-2=0的方程时，未考虑m=1时方程退化为一元一次方程，直接判定为一元二次方程 3. 确定系数时遗漏符号：将一般形式如2x²-3x+1=0的一次项系数错写为3，实际应为-3 4. 整理方程时出错：未将方程化为一般形式就直接确定次数和系数，如将x(x+2)=4x²-3错整理，误判最高次数 5. 根的验证误区：代入求值时只计算一边，忽略验证方程左右两边是否相等，或者将只满足一边的未知数错认为根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的定义及求参 典例1 下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 变式1-2已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 变式1-3关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 类型二、一元二次方程的一般形式 典例2 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 变式2-1一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2把方程化为一般形式是__________． 变式2-3一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 题型三、列一元二次方程 典例3 某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3-1如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 变式3-2某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 变式3-3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 题型四、已知一元二次方程的根求参 典例4 已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 变式4-1已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 变式4-2若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 变式4-3已知方程的一个根是1，则_____． 题型五、一元二次方程中不含某项 典例5 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 变式5-1若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次项，则m等于（   ） A．0 B．4 C．－4 D．±4 变式5-2若方程中不含x的一次项，则________． 变式5-3关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 题型六、已知一元二次方程的解整体代入求值 典例6 若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 变式6-1若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式6-2若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 变式6-3若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 题型七、赋值一元二次方程的根 典例7 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 变式7-1若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 变式7-2在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 变式7-3对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 题型八、降次法求值 典例8 将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 变式8-1将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 变式8-2将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是_______． 变式8-3将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ． 题型九、一元二次方程的整体换根 典例9 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 变式9-1已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 变式9-2已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 变式9-3关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 题型十、一元二次方程的估算 典例10 根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 变式10-1根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式10-2小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 变式10-3探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 4．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 5．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 6．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 7．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 8．若实数x满足，则______． 9．设α是方程的一个根，则的值为__________． 10．已知是方程的一个根，则____． 11．已知是方程的一个根，试求的值． 12．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 13．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 14．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 15．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $