1.1 集合初步单元自测题-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 沪教版高中数学1.1集合初步基础版单元卷，90分钟100分，覆盖集合概念、表示法、运算及关系，基础巩固与能力梯度结合，适配单元复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/36分|元素互异性（题1）、描述法表示集合（题3）、集合运算（题4）|结合数学抽象，基础概念辨析| |选择题|4题/12分|集合表示辨析（题13）、子集关系（题15）|逻辑推理能力考查，选项区分度高| |解答题|5题/52分|集合分类与表示（题17）、参数求解（题18）、新定义应用（题21）|综合数学思维，分层设计，如题21以新定义集合考查创新意识|

【学生版】 【沪教版】1.1 集合初步自测题（基础版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．已知，则实数a的值是 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 2．已知集合，则集合为 . 3．被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 4．已知集合，，则 5．以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；其中正确的表示的序号是 6．已知集合，若，则实数的值为__________. 7．已知集合，则 8．已知集合，，则 9、若集合，，则中所有元素的和为 10．若集合，且，则实数的取值集合为 11．已知全集，集合，，若，则实数的取值范围 是 12．设是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意、，都有、、，且若，则，则称是一个数域.例如，有理数集是数域.则下列说法正确的是__________（写出所有正确说法的序号）. ①数域必含有0，1两个数. ②整数集是数域. ③若有理数集，则数集一定是数域. ④数域中有无限多个元素. 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列说法中正确的是（     ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 14．若集合，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，，若，则a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 16．已知集合均为的子集，且，则等于（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分，每小题2分） 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集哪些是有限集，哪些是空集： （1）英文单词mathematics的所有字母组成的集合； （2）被4除余3的所有整数组成的集合； （3）方程的所有实数根组成的集合； （4）在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合． 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知集合. （1）若A中只有一个元素，求的值； （2）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知集合,集合. （1）若,求实数a的取值范围; （2）是否存在实数a,使?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 【解析版】 【沪教版】1.1 集合初步自测题（基础版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．已知，则实数a的值是 【提示】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性； 【答案】3； 【解析】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以； 【说明】本题主要考查了集合的关系与集合元素的互异性； 2．已知集合，则集合为 . 【提示】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案； 【答案】； 【解析】因为，且， 所以，为15的因数， 所以，或3或5或15，解得或12或10或0， 所以，集合为. 故答案为：. 【说明】本题主要考查了集合的表示与质因数分解的交汇； 3．被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 【提示】用描述法表示集合即可； 【答案】； 【解析】由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了描述法表示集合； 4．已知集合，，则 【提示】由并集的定义即可求出答案； 【答案】； 【解析】因为集合，， 则. 【说明】本题主要考查了集合的运算； 5．以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；其中正确的表示的序号是 【提示】根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可； 【答案】②④； 【解析】 对于①：是集合与集合的关系，应该是，所以，①不对； 对于②：空集是任何集合的子集，，所以，②对； 对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，所以，③不对； 对于④：根据集合的无序性可知，所以，④对； 对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，所以，⑤不对； 正确的是：②④； 【说明】本题主要考查了集合与元素、集合与集合之间的关系与表示； 6．已知集合，若，则实数的值为__________. 【提示】解方程即得解. 【答案】0； 【解析】因为，所以（舍去）或，所以. 故答案为：0 【说明】本题主要考查了依据集合与集合之间的关系求参数； 7．已知集合，则 【提示】由并集的定义求解； 【答案】； 【解析】集合，则. 【说明】本题考查了并集的概念及运算； 8．已知集合，，则 【提示】由并集与补集的运算可得； 【答案】； 【解析】已知，， 则或， 则. 故答案为：. 【说明】本题考查了补集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数； 9、若集合，，则中所有元素的和为 【提示】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解； 【答案】； 【解析】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 【说明】本题考查了对集合表示法的理解与元素性质的应用； 10．若集合，且，则实数的取值集合为 【提示】先求出集合M，然后分和两种情况求解； 【答案】； 【解析】由，得，解得或， 所以， 当时，满足，此时 当时，即，则， 因为，所以， 所以或， 解得或， 综上，，或，或， 所以实数的取值集合为， 故答案为： 【说明】本题考查了依据集合之间的关系，结合分类讨论思想求参数； 11．已知全集，集合，，若，则实数的取值范围 是 【提示】分集合B是空集和非空集合两种情况，再利用集合之间的包含关系分别求解即可. 【答案】； 【解析】①当时，则，即，因为集合， ，则或， 又，则或，解得或，又，所以； ②当时，则，即，此时，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为或． 故答案为： 【说明】本题考查了依据集合之间的关系求参数； 12．设是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意、，都有、、，且若，则，则称是一个数域.例如，有理数集是数域.则下列说法正确的是__________（写出所有正确说法的序号）. ①数域必含有0，1两个数. ②整数集是数域. ③若有理数集，则数集一定是数域. ④数域中有无限多个元素. 【提示】根据题中的定义直接分析判断得出； 【答案】①④； 【解析】对①：由题意可知，任取、，，令，则，，所以（1）正确； 对②：再令，则、，但，故（2）错误； 对③：令，取，故（3）错误； 对④：因数域必含有0，1两个数，由加法封闭性得，可生成， 再由除法封闭性，可生成等，会生成无穷多个元素，因此数域中有无穷多个元素.故（4）正确. 故答案为：①④； 【说明】本题综合考查了判断元素与集合的关系、集合新定义； 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列说法中正确的是（     ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【提示】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择； 【答案】B； 【解析】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 【说明】本题综合考查了集合的概念及其表示； 14．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【提示】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集； 【答案】D； 【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D； 【说明】本题考查了集合的运算； 15．已知集合，，若，则a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【提示】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可； 【答案】D； 【解析】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D； 【说明】本题考查了依据集合之间的关系求参数； 16．已知集合均为的子集，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【提示】根据题意作出文氏图，结合图形判断即可； 【答案】C； 【解析】作出文氏图如下： 因为. 故选：C； 【说明】本题综合了集合间交并补混合运算与文氏图的应用； 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分，每小题2分） 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集哪些是有限集，哪些是空集： （1）英文单词mathematics的所有字母组成的集合； （2）被4除余3的所有整数组成的集合； （3）方程的所有实数根组成的集合； （4）在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合． 【提示】根据题意，分别用列举法或描述法表述，再指出是无限集，有限集，空集即可； 【答案】（1），是有限集； （2），是无限集； （3），是空集； （4），是无限集； 【解析】（1）英文单词mathematics的所有字母组成的集合为：，是有限集； （2）被4除余3的所有整数组成的集合为：，是无限集； （3）方程的所有实数根组成的集合为：， 因为，方程的，所以，方程没有实数根，则集合为空集； （4）在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合为：，是无限集. 【说明】本题综合考查了描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类、空集的概念以及判断； 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知集合. （1）若A中只有一个元素，求的值； （2）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【提示】（1）针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 （2）确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围； 【答案】（1）或；（2）； 【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， 所以，A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，所以，的取值范围为. 【说明】本题综合考查了集合的表示与依据一元二次方程的解求参数； 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 【提示】（1）由题得，解即得解； （2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解. 【答案】（1）；（2）或； 【解析】（1）由题得. 若是的子集，则， 所以. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程， 得，即，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 【说明】本题综合考查了集合的表示与一元二次方程的根的分布解求参数，以及分类讨论思想； 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知集合,集合. （1）若,求实数a的取值范围; （2）是否存在实数a,使?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【提示】（1）对A可以分为或两种情况来讨论，分别列不等式组求出实数a的取值范围;（2）由列不等式组即可解得； 【答案】（1）或；（2)无解. 【解析】（1）因为,所以集合A可以分为或两种情况来讨论： 当时,； 当时,得. 综上,实数a的取值范围是或. （2）若存在实数a,使,则必有,无解. 故不存在实数a,使. 【说明】本题主要考查了根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数； 21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． （1）若，求集合M，N； （2）若A中有5个元素，求m； （3）证明：． 【提示】（1）根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合； （2）设中5个元素为，，，，，且，根据集合中元素性质可得，再根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合中的元素个数的值； （3）设，根据集合的新定义确定集合的元素，从而得结论. 【答案】（1）， ； （2）19或13； （3）证明见解析； 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． （3）证明：设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 【说明】本题综合考查了利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义； 第6页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $