1.2.3 反证法（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.2.3反证法 题型一 反证法的概念辨析 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（    ） （1）结论的否定；（2）已知条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论. A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 【答案】C 【详解】由反证法的定义， 知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用， 所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等. 故选：C. 2．下列关于用反证法证明一个命题的说法中，正确的是（    ） A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 【答案】B 【详解】反证法是：肯定条件，假设结论不正确，通过推理得到矛盾，故A错误，B正确； 对于C选项，经过推理得出的结论与原题条件矛盾，或者与公理矛盾，或者与正确的定理，定义矛盾，也是反证法的正确使用方式，故C错误； 对于D，原题的条件也能当做条件使用，故D错误； 故选：B. 题型二 命题的否定 1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 2．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 【答案】B 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 3．用反证法证明时，否定结论“至多有一个解”的说法中，正确的是（    ） A．没有解 B．有一个解 C．至少有两个解 D．至少有一个解 【答案】C 【详解】因为“至多有一个解”意思为：解的个数小于等于一个，所以用反证法否定结论时，取他的反面，可设解的个数大于一个，又因为解的个数必须为整数个，所以假设至少有两个解. 故选：C 4．利用反证法证明“若，则”时，应假设为（    ） A．且 B．且x，y都不为0 C．且x，y不都为0 D．或 【答案】D 【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设或 故选：D 5．一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 或 至少有2个 所有的满足性质 所有的不满足性质 【答案】 且 最多有1个 至少存在1个不满足性质 至少存在1个满足性质 【详解】略 6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为 ． 【答案】a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数. 【详解】解：∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数． 故答案为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数. 7．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 8．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 9．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 【答案】、、至少有一个为 【详解】用反证法证明命题“若，则、、都不为”时, 应假设、、至少有一个为. 故答案为：、、至少有一个为. 10．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是 ． 【答案】a，b，c，d全是负数 【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”， 故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数， 即a，b，c，d全是负数”． 故答案为：a，b，c，d全是负数 11．写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； (4)所有整数都不满足． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）解：否定为：． （2）否定为：且． （3）否定为：至多有两个实数满足方程． （4）否定为：至少存在一个整数满足． 题型一 用反证法证明 1．设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 【答案】证明见解析 【详解】证明：假设方程有整数根，，则，即． ①若为偶数，则与均为偶数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾； ②若为奇数，则与均为奇数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程无整数根． 2．用反证法证明：“已知，若，则.” 【答案】证明见解析 【详解】假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立. 3．已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【答案】证明见解析 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 4．使用科学、正确的方法证明. (1)已知，试用分析法证明：. (2)已知，，求证与中至少有一个小于2. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）要证 即证 只要证 即证 即证 只要证 而上式显然成立 所以成立 （2）假设与都大于或等于2. ，故可化为且， 两式相加，得，与已知矛盾. 故假设不成立，即原命题成立. 5．已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1． 【答案】证明见解析 【详解】假设a，b，c中至少有两个数不小于1， 由m，n，p都是正整数 不妨设，则 ， ． 两式相加，得， 从而， 与条件p是正整数矛盾． 所以命题成立． 6．（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】解：（1）假设均大于等于， 则， 则， 且互不相同， ， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 这与均大于等于矛盾， 故假设不成立， 则且互不相同时， 中至少有一个小于． （2）， ， ， ， 则， 故， 假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于. 1．已知集合是集合的一个含有8个元素的子集. (1)当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值； (2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）(i)方程的解为：，， (ii) 以下规定两数的差均为正，则： 列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4，5，6，6，5，4； 中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12； 中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16． 这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次， 所以k的可能取值有4，6． （2）证明：不妨设， 记，，共13个差数， 假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1，两个2，两个3，两个4，两个5，两个6，则， 又 ，这与上式矛盾. 所以假设错误，原命题成立. 2．设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或． (1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值； (2)若，证明：； (3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)集合M中元素的个数只可能是2 【详解】（1）解：因为若，则称A，B互为相反元素，记作或， 所以， 所以. （2）解：设， 由，可得 所以， 当且仅当，即时上式“=”成立 由题意可知 即 所以 （3）解：解法1：假设为集合M中的三个不相同的元素． 则 即 又由题意可知或1，i=1，2，，n 恰有k个1，与n－k个0 设其中k个等于1的项依次为 n－k个等于0的项依次为 由题意可知 所以， 同理 所以 即 因为 由（2）可知 因为 所以， 设，由题意可知. 所以，得与为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2 解法2：假设为集合M中的三个不相同的元素． 则 即 又由题意可知 恰有k个1，与n－k个0 设其中k个等于1的项依次为 n－k个等于0的项依次 由题意可知 所以① 同理② 因为 所以， ①—②得 又因为为奇数 与矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3反证法 题型一 反证法的概念辨析 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（    ） （1）结论的否定；（2）已知条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论. A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 2．下列关于用反证法证明一个命题的说法中，正确的是（    ） A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 题型二 命题的否定 1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 2．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 3．用反证法证明时，否定结论“至多有一个解”的说法中，正确的是（    ） A．没有解 B．有一个解 C．至少有两个解 D．至少有一个解 4．利用反证法证明“若，则”时，应假设为（    ） A．且 B．且x，y都不为0 C．且x，y不都为0 D．或 5．一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 或 至少有2个 所有的满足性质 所有的不满足性质 6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为 ． 7．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 8．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 9．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 10．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是 ． 11．写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； 题型一 用反证法证明 1．设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 2．用反证法证明：“已知，若，则.” 3．已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 4．使用科学、正确的方法证明. (1)已知，试用分析法证明：. (2)已知，，求证与中至少有一个小于2. 5．已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1． 6．（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 1．已知集合是集合的一个含有8个元素的子集. (1)当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值； (2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解. 2．设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或． (1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值； (2)若，证明：； (3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$