1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用空间向量研究距离问题”，核心内容包括点到直线、点到平面的距离求解。课堂以“吊扇中心到地面距离”的生活问题导入，通过知识梳理构建向量法原理，结合例题、变式题及步骤总结，形成从具体到抽象的学习支架，衔接空间向量的应用。 资料特色在于以生活情境激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界。步骤总结规范解题逻辑，提升数学思维的条理性，例题与变式题结合几何体模型，强化用数学语言表达空间关系的能力，分层习题设计助力巩固应用，发展创新意识与实践能力。

1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 学习目标 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 问题观教室地面是平整平面，天花板悬挂的吊扇中心点悬空，不落地，不用卷尺攀爬测量，如何算出吊扇中心到地面的垂直距离？ 一、求点到直线的距离 知识梳理 如图,直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点。设=,则向量在直线上的投影向量=(·)。在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线的距离为 PQ= = 【例1】在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A．3 B． C． D． 步骤总结 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)利用公式计算点到直线的距离。 二、求点到平面的距离 如图,已知平面的法向量为,A是平面α内的定点,P是平面外一点。过点P作平面α的垂线,交平面于点Q,则是直线的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线上的投影的长度。 因此PQ= = = 【例2】在三棱锥S⁃ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示。求点B到平面CMN的距离。 【变式2-1】已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 【变式2-2】在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点。 (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离。 【变式2-3】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.  步骤总结 (1)建立空间直角坐标系； (2)求平面的法向量； (3)点M到平面的距离为(A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)。 【例3】已知正方体的棱长为2，点E为的中点，过B，E，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______． 【变式3-1】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______ 易错点提示（1）点到平面的距离可以用几何法求解：作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离，在三棱锥中用等体积法求解。（2）线面、面面之间的距离转化为点面距离。 巩固加练 1.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知向量=(2,0,1)为平面的法向量,点A(-1,2,1)在内,则点P(1,2,-2)到α的距离为 ( ) A. B. C.2 D. 3.已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ） A． B． C． D． 4.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 5.（多选）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 6.（多选）下列关于空间向量的命题中不正确的是（    ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 7.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BDE的距离为 8.如图，在直三棱柱形木料中，若，，，为的中点，求点到平面的距离． 9.如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，． （1）求证：平面EAC； （2）求直线DM到平面EAC的距离． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 学习目标 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 问题观教室地面是平整平面，天花板悬挂的吊扇中心点悬空，不落地，不用卷尺攀爬测量，如何算出吊扇中心到地面的垂直距离？ 参考答案 我们可以建立空间直角坐标系，标出地面各顶点与吊扇中心的坐标。求出地面平面的法向量，再借助空间向量距离公式，代入点与平面坐标就能算出垂直距离，不用实地测量 一、求点到直线的距离 知识梳理 如图,直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点。设=,则向量在直线上的投影向量=(·)。在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线的距离为PQ== 【例1】在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，得，，， ，， 所以在上的投影为， 所以点到直线的距离为 故选：B 【变式1-1】已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以．设点C到直线AB的距离为d，则 故选：D 步骤总结 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)利用公式计算点到直线的距离。 二、求点到平面的距离 如图,已知平面的法向量为,A是平面α内的定点,P是平面外一点。过点P作平面α的垂线,交平面于点Q,则是直线的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线上的投影的长度。 因此PQ=|·|=||=。 【例2】在三棱锥S⁃ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示。求点B到平面CMN的距离。 【答案】 【解析】取AC的中点O,连接OS,OB。因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SO,AC⊥BO。 因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,所以SO⊥平面ABC。 又BO⊂平面ABC,所以SO⊥BO。 如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz, 则B(0,2,0),C(-2,0,0),A(2,0,0),S(0,0,2,M(1,,0),N(0,,)。 所以=(3,,0), =(-1,0,),=(-1,,0)。 设n=(x,y,z)为平面CMN的法向量, 则取z=1,则x=,y=-, 所以n=(,-,1)为平面CMN的一个法向量。 所以点B到平面CMN的距离为=。 【变式2-1】已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，得，又知平面的一个法向量， 则到平面的距离 故选：B 【变式2-2】在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点。 (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离。 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)证明:连接AB1交A1B于点E,连接DE。因为DE∥B1C,DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。 （2）如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3), =(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3)。 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取x=3,则z=1,所以=(3,0,1)为平面A1BD的一个法向量。故点B1到平面A1BD的距离为=. 【变式2-3】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.  【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)， =(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 步骤总结 (1)建立空间直角坐标系； (2)求平面的法向量； (3)点M到平面的距离为(A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)。 【例3】已知正方体的棱长为2，点E为的中点，过B，E，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】设平面与平面交于，F在上， 又平面与平面交于直线BE， 因为平面∥平面， 所以∥，同理∥， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又E是的中点，所以F是的中点． 以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，连接，如图所示， 则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则． 又， 所以线段长度的最小值，即点到平面的距离． 【变式3-1】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______ 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故答案为 易错点提示（1）点到平面的距离可以用几何法求解：作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离，在三棱锥中用等体积法求解。（2）线面、面面之间的距离转化为点面距离。 巩固加练 1.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】因为=(4,-5,0),=(0,4,-3),则在上的投影向量的长度为==4,又||=,所以AC边上的高BD==5 故选：C 2.已知向量=(2,0,1)为平面的法向量,点A(-1,2,1)在内,则点P(1,2,-2)到α的距离为 ( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为== 故选：A 3.已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则，所以， 故选：C 4.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且是直角三角形，所以. 以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以，，，， 则，. 故点到直线的距离. 故点到直线的距离是. 5.（多选）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为，所以点到直线的距离为 ，故C正确； 对于D：因为，所以点到平面的距离为，故D正确； 6.（多选）下列关于空间向量的命题中不正确的是（    ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 【答案】AC 【解析】对于A：由题意知，，所以与同向共线，夹角为0，不是锐角，A错误. 对于B：，所以点到平面距离为，B正确. 对于C：假设存在实数，使得， 整理得. 因为是空间的一组基底，所以， 存在非零解满足条件，所以三个向量线性相关，故不能作为基底，C错误. 对于D：在上的投影向量为，D正确 7.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BDE的距离为 【答案】1 【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,),=(2,2,0),=(0,2,), 易知AC1∥平面BDE。设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量，则取y=1,则=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量。 又因为=(2,0,0),所以直线AC1到平面BDE的距离==1。 8.如图，在直三棱柱形木料中，若，，，为的中点，求点到平面的距离． 【答案】 【解析】因为，所以，，两两互相垂直，以为原点， 分别以，，所在直线为，，轴建立空向直角坐标系， ，，，， 则，，． 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，，则，取，则， 设点到平面的距离为，则 因此点到平面的距离为． 9.如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，． （1）求证：平面EAC； （2）求直线DM到平面EAC的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，由于平面ABCD，AC，平面ABCD， 所以，，所以PO，AC，BD两两垂直． 以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，故E为PB的靠近B的三等分点， 则，，，，， 所以，，， 设平面EAC的法向量为， 则,取，则，， 则为平面EAC的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面EAC，所以平面EAC． （2）由1）知平面EAC， 所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离． 由（1）知，平面EAC的一个法向量为， 所以点D到平EAC的距离, 故直线DM到平面EAC的距离为． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $