2.2.1 直线的倾斜角与斜率（第2课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的方向向量与法向量，通过衔接倾斜角、斜率等旧知，搭建从“斜率-倾斜角”到“向量描述直线”的知识桥梁，引导学生理解向量工具对直线的全新描述方式。 其亮点在于结合互动探究与知识精讲，培养数学抽象、逻辑推理素养，如通过方向向量求斜率、判定三点共线等实例，系统梳理核心知识与易错点，帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 2.2.1 直线的倾斜角与斜率（2） 2.2 直线及其方程 学 习 目 标 1 2 准确理解直线方向向量、法向量的定义与核心性质，能根据直线上两点、倾斜角、斜率等条件快速求出对应的方向向量与法向量，掌握利用方向向量判定三点共线的方法，理清方向向量与法向量互相垂直的内在关联。 通过旧知衔接、探究推导的过程，搭建从“斜率-倾斜角”到“向量描述直线”的知识桥梁，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养，学会用向量工具转化解析几何问题的思维方法。 新课引入 同学们，咱们之前学过用倾斜角、坡比（斜率）来描述斜坡的陡峭程度，也见过导航里显示道路的走向、建筑图纸里标注墙面的垂直方向。大家想想，除了用“倾斜多少度、斜率多大”来描述一条直线，我们刚学过的平面向量，能不能给我们提供两种全新的描述直线的方式？一种是顺着直线延伸的方向，一种是垂直于直线的方向， 今天我们就一起解锁这两个新工具——直线的方向向量与法向量，看看它们能帮我们解决哪些之前不好处理的直线问题。 目标一：直线方向向量 互动探究 直线方向向量概念 思考 平面内两个非零向量平行，则这两个向量所在的直线一定平行吗？ 提示 不一定.可以平行，也可以重合. 给定平面直角坐标系中的一条直线，在上任取A，B两个不同的点，显然，向量 也能描述直线相对于x轴的倾斜程度，如图所示.此时，称AB是直线的一个方向向量. 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线/的一个方向向量，记作//l. 互动探究 直线的方向向量的性质 如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数 λ≠0 ，向量 λ 都是的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线； 如图所示，设 是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为 ，设 是直线 的一个方向向量，且 ，你能写出 的坐标吗？ 简单应用 如图所示，因为 ，所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，因此 目标二：坐标法求直线方向向量 知识精讲 1. 已知直线上两点坐标 如果，是直线上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量。 这也是直线方向向量的性质 简单应用 已知直线 经过点 A(1,0) ， ，则直线 的一个方向向量为 ? 解析：由方向向量的定义，直线 的一个方向向量为 ，故答案为： （答案不唯） 已知 是直线 的一个方向向量，点 和点 均在直线 上，则 的值是？ 解析：由题意可知， ， 且 ，解得 ， 知识精讲 2. 已知直线倾斜角 一般地，如果直线的倾斜角为 θ ，斜率为 k ，你能写出直线的一个方向向量吗？ 一般地，如图(1)(2)所示，当 为直线 的倾斜角时，如果 是直线 的一个方向向量，而且 ，则根据三角函数的定义可知点 的坐标为 . 这就是说，此时 一定是直线 的一个方向向量。 知识精讲 3. 已知直线的斜率 ：直线/的方向向量与斜率有什么关系？ 对于任意的实数 ， 也是直线 的一个方向向量.当 时，直线的斜率 是存在的，而且 因此，此时如果令 则可知 也一定是直线 的一个方向向量. 简单应用 直线 的倾斜角为 则 是直线 的一个方向向量； 另一方面，因为直线的斜率为 所以 也是直线 的一个方向向量. 目标三：直线方向向量的简单应用 知识精讲 1. 由方向向量求斜率与倾斜角 （1）如图所示，如果 α=(-1,1) 为直线的一个方向向量，你能写出/的斜率k和倾斜角吗？ 当 是/的一个方向向量时，若直线/的斜率为k，则 也是直线/的一个方向向量，因此 与 共线从而 ，从而可求得斜率 然后再根据tan 可知 知识精讲 一般地，如果已知 =(u,v) 为直线 的一个方向向量，你能由此写出的斜率 k 和倾斜角 θ 吗？ 一般地，如果已知 =(u,v) 为直线 l 的一个方向向量，则： 条件 斜率情况 倾斜角情况 推导说明 u = 0 斜率不存在 倾斜角为 90° 直线垂直于 x 轴 u ≠ 0 斜率存在， 与 都是直线 的方向向量，由两方向向量共线得 ，故 已知直线通过点A(0,1)与B(1,1- )，求直线/的一个方向向量，并确定直线的斜率与倾斜角. 解：由已知可得 是直线/的一个方向向量，因此，直线的斜率 直线的倾斜角 满足 ，从而可知 已知点 ， ，若向量 是直线 的方向向量，则直线 的倾斜角为（）A. B. C. D. 解析：直线的斜率 ，所以直线 的倾斜角为 .故选：A. 知识精讲 2.研究三点共线 通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，而且一条直线的所有方向向量都共线，因此也可得到：如果 A ， B ， C 是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是： 与 共线 已知 A(-3,-1) ， B(1,3) ， C(5,8) ，判断 A ， B ， C 是否共线。 因为=(1-(-3),3-(-1))=(4,4),=(5-(-3),8-(-1))=(8,9),又因为 4×9≠4×8 ，所以 与 不共线，从而 A ， B ， C 不共线。 目标四：直线法向量 知识精讲 1.概念 一般地，如果表示非零向量 ν 的有向线段所在直线与直线 l 垂直，则称向量 ν 为直线 l 的一个法向量，记作 ν⟂l 2.求法 一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地，当 与 不全为0时，因为向量 与 是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线 的一个方向向量，则另一个一定是直线 的一个法向量. 直线的法向量 知识精讲 如果 α=(1,2) 是直线 的方向向量, 则 ν=(2,-1) 就是直线 的法向量; 如果 ν=(-2,-3) 是的法向量, 则 α=(-3,2) 就是的方向向量. 已知直线 l 的方向向量为 (1,5) , 则直线 l 的法向量为 ( ) A.(5,1) B.(-1,5) C.(5,-1) D.(-5,-1) 解析: 因为直线 l 的方向向量为 (1,5) , 所以直线 l 的法向量可以是 (-5,1) 或 (5,-1) . 故选 C. 目标五：针对训练 举一反三 1.已知向量 是直线 的一个方向向量, 则直线 的倾斜角为 ( ) A. B. C. D. 解析: 由直线的方向向量为 可知直线斜率 , 又因为倾斜角 , 且 , 所以 . 故选: C 举一反三 2.已知直线 倾斜角为 , 方向向量 , 则 ( ) A. B. C.1 D.2 解析: 由直线 的倾斜角为 可得直线的斜率为 , 又方向向量 , 即 , 解得 . 故选: D 3.已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（）A. B.-45° C.135° D.315° 解析：因为直线 的一个方向向量为 所以 也是直线 的一个方向向量.因为 ，所以直线 的倾斜角为 .故选C. 举一反三 4.已知直线 过点 和点 , 则下列说法正确的是 ( ) A.直线 的倾斜角为 B.直线 的倾斜角为 C.直线 的方向向量可以为 D.直线 的方向向量可以为 解析：由题意得直线 的斜率 ，设直线 的倾斜角为 ， ，则 ，故 ，故 A 正确，B 错误；当直线的方向向量为 时，其斜率为 ，故 C 错误；当直线的方向向量为 时，其斜率为 ，故 D 错误。 举一反三 5. 若直线 的一个方向向量是 ，则直线 的斜率 为______倾斜角 为______。 答案： ； 解析：由题意知直线 的斜率 ，所以 ，又 所以 。 6.已知直线 经过点 和点 ，直线 的一个方向向量为 ，则直线 的斜率为______，实数 的值为______。______。 解析:由直线 的一个方向向量为(2,4)得,直线 的斜率为 ,因此 解得 . 目标六：小结 学海拾贝 一、 核心知识梳理 直线的方向向量 若直线上两点 直线的法向量 与直线方向向量垂直的向量，叫做直线的法向量。 若直线一个方向向量，可取一个法向量（或）； 几何意义：法向量垂直于直线，代表直线垂线的方向。 学海拾贝 二、 课堂强调易错点 ✅ 方向向量不唯一 不要误以为一条直线只有一个方向向量；(2u,2v)、(-u,-v)都是同一个直线的方向向量，同向反向均可。 ✅ 斜率与方向向量的对应陷阱 成立的前提：； 当 ，，方向向量，，，直线竖直，不能用这个公式算斜率，斜率不存在，严禁写。 学海拾贝 ✅ 方向向量倾斜角斜率逻辑顺序 倾斜角刻画直线倾斜程度；斜率是倾斜角的正切；方向向量是斜率的向量表达。 已知斜率，立刻可以写出一组方向向量，，一组法向量。 ✅ 向量视角的通用优势 倾斜角斜率无法描述竖直线（斜率不存在）；但方向向量法向量可以统一描述所有直线，不存在特例，后续学习直线方程会大量使 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $