2.2.1 直线的倾斜角与斜率（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦平面解析几何中直线的倾斜角、斜率、方向向量与法向量核心知识点，从倾斜角的几何定义出发，衔接斜率的代数刻画及两点计算公式，再延伸至方向向量与法向量的向量表达，构建几何直观到代数转化的学习支架。 资料通过“知识点+随学随练+题型示例+分层练习”设计，结合具体例题（如过两点求斜率、方向向量求倾斜角）培养数学思维，引入方向向量与法向量强化数学语言表达。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升抽象能力与应用意识。

第二章 平面解析几何 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 课标要点 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 学习重难点 重点： 1. 直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量与法向量的应用． 难点： 1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 知识点直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． (2)范围：[0，π)． 随学随练特别提醒 　　对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断. 【详解】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 知识点　直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 特别提醒 (1)k的大小与A，B两点的位置无关． (2)当直线的斜率存在时，斜率是唯一的． (3)常用斜率表示直线的倾斜程度． 随学随练 3．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得. 【详解】由直线可知，，， 则. 故选：C 4．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 知识点 直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而直线l的斜率k＝，因此可知倾斜角满足tanθ＝． 随学随练 5．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 知识点 直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．一条直线的方向向量与法向量互相垂直． 随学随练 7．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 8．直线的一个法向量为__________. 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，进而根据向量垂直的坐标关系求出它的一个法向量. 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量可以为. 故答案为：. 题型直线的倾斜角 ▌例1（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. ▌对点练1-1．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 题型直线的斜率 ▌例1（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 题型 直线的方向向量和法向量 ▌例1（25-26高三下·上海·阶段检测）直线的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，再根据向量垂直的坐标表示逐一判断即可. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的一个方向向量是. 对于A，，所以与垂直，所以A正确； 对于B，，所以与不垂直，所以B错误； 对于C，，所以与不垂直，所以C错误； 对于D，是直线的一个方向向量，不是法向量，所以D错误. ▌对点练1-1（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 【答案】976 【分析】根据直线法向量定义计算求参. 【详解】因为向量为直线的一个法向量， 则，所以. 故答案为：976. 基础通关 1．直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 4．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 可得斜率，解得， 即直线的倾斜角为. 7．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 8．直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 素养提升 9．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 10．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知直线，则直线的倾斜角为___________. 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，先求出直线的斜率，由，即可得出答案. 【详解】由直线可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，则. 故答案为：. 12．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 迁移创新 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 14．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对称点的性质求出点坐标，再结合图象求解即可. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，的中点一定在上，且设中点为， 由中点坐标公式得，将其代入中， 得到，而可化为， 则其斜率为，可得到，解得，， 故得，我们把的斜率记为，的斜率记为， 由斜率公式得，， 如图，我们得到直线的斜率的取值范围为，故B正确. 故选：B 15．已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 16．（25-26高二上·上海松江·期中）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 【答案】0 【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角，即可得直线的倾斜角，分类讨论即可求解. 【详解】∵直线的斜率为﹣1，它的倾斜角为，直线与直线的夹角为， ∴直线的倾斜角为或0； 若直线的倾斜角为，则； 直线的倾斜角为0，则m不存在； 综上可得，； 故答案为：0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 课标要点 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 学习重难点 重点： 1. 直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量与法向量的应用． 难点： 1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 知识点直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． (2)范围：[0，π)． 随学随练特别提醒 　　对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 知识点　直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 特别提醒 (1)k的大小与A，B两点的位置无关． (2)当直线的斜率存在时，斜率是唯一的． (3)常用斜率表示直线的倾斜程度． 随学随练 3．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 知识点 直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而直线l的斜率k＝，因此可知倾斜角满足tanθ＝． 随学随练 5．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 知识点 直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．一条直线的方向向量与法向量互相垂直． 随学随练 7．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线的一个法向量为__________. 题型直线的倾斜角 ▌例1（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 题型直线的斜率 ▌例1（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 题型 直线的方向向量和法向量 ▌例1（25-26高三下·上海·阶段检测）直线的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 基础通关 1．直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 8．直线过点和，则的斜率为__． 素养提升 9．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 10．过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 11．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知直线，则直线的倾斜角为___________. 12．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 迁移创新 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 16．（25-26高二上·上海松江·期中）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 学科网（北京）股份有限公司 $