1.2 集合间的基本关系（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义与符号含义，空集的特性，有限集合子集个数公式，以及依托包含关系求解参数取值范围。学习支架从概念辨析（如元素与集合、集合与集合符号的区别）到数量计算，再到含参问题的分类讨论，层层递进。 资料通过“特别提醒”“易错提醒”强化关键概念，如区分空集与{∅}，培养数学思维中的推理意识。题型涵盖列举子集、判断包含关系、求参数等，结合数轴工具与分类讨论，帮助学生用数学语言精确表达集合关系。课中辅助教师系统教学，课后通过随学随练和拓展题助力学生查漏补缺，提升解决问题的能力。

第一章： 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 课标要点 1理解子集·真子集·相等集合·空集的定义与数学符号含义 2能够准确使用··=·等符号书写集合间关系 3掌握有限集合子集个数公式会列举一个集合的全部子集与真子集 4依托集合包含关系求解参数取值范围 学习重难点 重点：子集、真子集、集合相等的概念辨析集合关系符号规范书写各类子集数量运算 难点：区分（元素与集合）和（集合与集合）两种符号含参集合问题的范围推导包含关系题型中空集的分类讨论 知识点 子集，真子集，集合相等 1．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集___ ，记作___ (或____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B___ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 特别提醒：1.表示集合A中所有元素都属于集合B .表示A为B的子集且B含有不属于A的元素 2.集合相等依靠双向包含关系判定.且 3.元素与集合之间使用.集合与集合之间使用包含相等符号.两类符号严禁混用 易错提醒：1.容易混淆与的使用场景.互为相等的两个集合不能标注真子集符号 2.解题时常混淆集合本体和集合内部元素的层级关系 3.判定集合相等只验证单向包含关系.会造成结论判断出错 教材延伸：1.集合包含关系具备传递性. 2.任意一个集合都是自身的子集.任意一个集合都不是自身的真子集 随学随练 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 知识点 空集的概念 1.空集：___没有元素_____的集合叫空集，记作________.空集也是有限集. 2．空集包含于__任一______集合，是____任一____集合的子集. 特别提醒：1.代表不含任何元素的集合.是所有集合的子集.是非空集合的真子集 2.空集内部不存在任何元素.空集没有真子集 3.求解含参数的子集类题目.解题优先讨论子集为空集的情况 易错提醒：1.不可将数字0 .集合.空集混为一谈. 0属于元素.是含一个元素的集合.为无元素集合 2.该命题成立.集合的唯一元素就是空集 3.求解参数范围时不可默认子集不为空集.极易遗漏空集对应的参数解 教材延伸：1.空集交并运算关系式.. 2.全集的补集是空集.空集的补集为全集 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 知识点 子集真子集非空真子集个数 有限集合子集个数公式：______________   真子集个数：______________   非空真子集个数：______ ________ 特别提醒：1. 集合含有个元素 . 子集总个数为 2. 集合含有个元素 . 真子集总个数为 3. 集合含有个元素 . 非空子集总个数为 4. 集合含有个元素 . 非空真子集总个数为 易错提醒：1. 计算个数公式适用前提为有限集合 . 无限集合无法使用该公式计算子集数量 2. 真子集剔除集合自身 . 非空子集剔除空集 . 非空真子集同时剔除空集与集合本身 3. 也就是空集时 . 子集数量等于1 . 真子集数量等于0 随学随练 1．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若集合，则有______个非空真子集.   拓展 根据集合的包含关系求参数 核心释义 已知、这类包含关系式.集合内带有未知参数m、a、k等量.求解参数取值范围的题型.常结合一元一次不等式、一元二次方程解集出题 通用解题步骤 1.优先讨论的情况.空集是任意集合的子集.极易漏掉该情况造成答案不全 2.若.在数轴上画出两个集合对应区间.依照包含关系列出端点大小不等式 3.仔细核验区间端点能否取等号.代入边界数值验证集合是否依旧满足包含关系 4.合并空集、非空集合两种情况的取值范围.写出最终参数解集 常见易错点 1.直接默认集合不为空集.缺失空集对应的参数取值 2.端点不等号方向写错.等号取舍判断失误 3.解不等式组时范围计算出错 活学活用 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 拓展 空集的性质及其应用 核心释义 依托空集两条核心性质出题.一是（任意集合）.二是（任意非空集合）.多用于子集参数求解、方程无解、不等式无解类问题 空集基础公式结论 1.方程无解解集为空集 一元二次方程无实根 2.不等式恒不成立解集为空集 开口向上二次函数恒小于0、开口向下二次函数恒大于0时解集为空集 3.子集问题中.含参集合为空集是必不可少的讨论分支 解题方法 1.判定题干出现“子集、真子集”.第一步固定验算集合为空集的成立条件 2.看到解集不存在、方程无解、不等式无解.直接转化为对应判别式、系数不等式列式计算 3.多个集合运算出现空集结果.结合交集、并集定义反向推导参数范围 易错提醒 1.二次式首先区分二次项系数等于0（一次方程/一次不等式）和不等于0两种情形 2.判别式小于0才是无实数解.判别式等于0存在唯一解.解集不是空集 活学活用 1．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 2．已知集合，则实数k的取值范围是__________. 题型 求已知集合的子集，真子集 解题贴士 1.书写子集遵循书写顺序.先写空集.再依次写出单元素子集.双元素子集.直至集合本身.避免出现漏写、重复书写的问题 2.真子集书写范围为全部子集剔除集合自身.空集是所有非空集合的真子集 3.元素无序.子集内部元素不用区分排列顺序.相同元素只保留一种组合形式 4.元素数量偏少的有限集合.采用枚举法逐条罗列最为稳妥 ▌例1 （25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． ▌对点练1-1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． ▌对点练1-2．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型 判断两个集合的包含关系 解题贴士 1.定义判定法.集合中任意一个元素都属于集合.即可判定.若同时存在内元素不在中.则为 2.列举判定法.离散数集直接写出全部元素.比对元素归属即可快速判断包含关系 3.区间判定法.连续数集借助数轴标注取值区间.内层区间被外层区间包裹即为子集关系 4.特殊规则.空集包含于一切集合.空集是所有非空集合的真子集 ▌例1（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 题型 求集合的子集，真子集，非空真子集个数 解题贴士 1.设有限集合含有个元素 子集总个数公式 真子集总个数公式 非空子集总个数公式 非空真子集总个数公式 2.对应空集.子集数量为.真子集数量为.不能套用计算非空真子集 3.公式仅适用于元素个数确定的有限集合.无限集合无法使用该公式统计数量 ▌例1（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 ▌对点练1-2（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 题型 判断两个集合是否相等 解题贴士 1.集合相等判定依据.且同时成立时. 2.离散有限集合.两个集合元素完全一致即为相等.集合具备无序性与互异性.元素排列顺序不同不影响集合相等判定 3.描述法集合.对比两个集合代表元素类型与取值范围.代表元素相同且取值范围完全重合则两集合相等 4.区分易错形式.、、三者互不相等 ▌例1（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. ▌对点练1-1（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 题型 由两个集合相等求参数 解题贴士 1.有限数集相等.两组元素一一对应相等.分多种配对情况列出方程组求解参数 2.求解完成后必须依据集合互异性检验.剔除会造成集合出现重复元素的参数解 3.有序方程类集合.对应位置表达式直接相等列式计算即可 4.多解情形下逐个回代原式核验集合是否完全一致.舍去不符合题意的数值 ▌例1（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. ▌对点练1-2（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 题型 空集的概念及及判断 解题贴士 1.空集定义.不含任何元素的集合记作.. 2.方程解集为空集.一元二次方程无实根满足且.一次方程不会出现解集为空的情况 3.不等式解集为空集.开口向上二次函数恒小于0 .开口向下二次函数恒大于0 .对应判别式小于0 4.是任意集合的子集.是任意非空集合的真子集.做题优先考虑含参集合为空集的情况 ▌例1（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ ▌对点练1-1已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-2若集合，则实数a的值的集合为____________． 题型7 由集合的包含关系求参数 解题贴士 1.第一步必讨论子集为空集的情形.空集恒包含于任意集合.漏解是空集题型最常见错误 2.集合均不为空时.连续区间集合借助数轴标注区间范围.根据包含关系书写端点不等式组 3.端点取值严格验证.把边界数值代入集合检验是否依旧满足包含关系.确定不等号是否添加等号 4.分别算出空集、非空集合两种情况下参数范围.取并集得到最终取值区间 5.题干为真子集关系时.两个集合区间不能完全重合.端点处需要额外加以限制 ▌例1已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. ▌对点练1-1（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． ▌对点练1-2（2025高一上·全国·专题练习）设集合，已知，求实数a的取值范围． 基础通关 1．已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 2．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 3．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 7．（24-25高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 8．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 素养提升 11．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 13．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 14．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 15．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 迁移创新 16．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 18．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 20．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有___________种． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章： 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 课标要点 1理解子集·真子集·相等集合·空集的定义与数学符号含义 2能够准确使用··=·等符号书写集合间关系 3掌握有限集合子集个数公式会列举一个集合的全部子集与真子集 4依托集合包含关系求解参数取值范围 学习重难点 重点：子集、真子集、集合相等的概念辨析集合关系符号规范书写各类子集数量运算 难点：区分（元素与集合）和（集合与集合）两种符号含参集合问题的范围推导包含关系题型中空集的分类讨论 知识点 子集，真子集，集合相等 1．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集___ ，记作___ (或____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B___ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 特别提醒：1.表示集合A中所有元素都属于集合B .表示A为B的子集且B含有不属于A的元素 2.集合相等依靠双向包含关系判定.且 3.元素与集合之间使用.集合与集合之间使用包含相等符号.两类符号严禁混用 易错提醒：1.容易混淆与的使用场景.互为相等的两个集合不能标注真子集符号 2.解题时常混淆集合本体和集合内部元素的层级关系 3.判定集合相等只验证单向包含关系.会造成结论判断出错 教材延伸：1.集合包含关系具备传递性. 2.任意一个集合都是自身的子集.任意一个集合都不是自身的真子集 随学随练 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由 ， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 知识点 空集的概念 1.空集：___没有元素_____的集合叫空集，记作________.空集也是有限集. 2．空集包含于__任一______集合，是____任一____集合的子集. 特别提醒：1.代表不含任何元素的集合.是所有集合的子集.是非空集合的真子集 2.空集内部不存在任何元素.空集没有真子集 3.求解含参数的子集类题目.解题优先讨论子集为空集的情况 易错提醒：1.不可将数字0 .集合.空集混为一谈. 0属于元素.是含一个元素的集合.为无元素集合 2.该命题成立.集合的唯一元素就是空集 3.求解参数范围时不可默认子集不为空集.极易遗漏空集对应的参数解 教材延伸：1.空集交并运算关系式.. 2.全集的补集是空集.空集的补集为全集 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，， ，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 知识点 子集真子集非空真子集个数 有限集合子集个数公式：______________   真子集个数：______________   非空真子集个数：______ ________ 特别提醒：1. 集合含有个元素 . 子集总个数为 2. 集合含有个元素 . 真子集总个数为 3. 集合含有个元素 . 非空子集总个数为 4. 集合含有个元素 . 非空真子集总个数为 易错提醒：1. 计算个数公式适用前提为有限集合 . 无限集合无法使用该公式计算子集数量 2. 真子集剔除集合自身 . 非空子集剔除空集 . 非空真子集同时剔除空集与集合本身 3. 也就是空集时 . 子集数量等于1 . 真子集数量等于0 随学随练 1．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【答案】 【详解】集合的元素个数为4， 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若集合，则有______个非空真子集.   【答案】 【分析】根据集合中元素可直接求得其非空真子集的个数. 【详解】有个元素，有个非空真子集. 故答案为：. 拓展 根据集合的包含关系求参数 核心释义 已知、这类包含关系式.集合内带有未知参数m、a、k等量.求解参数取值范围的题型.常结合一元一次不等式、一元二次方程解集出题 通用解题步骤 1.优先讨论的情况.空集是任意集合的子集.极易漏掉该情况造成答案不全 2.若.在数轴上画出两个集合对应区间.依照包含关系列出端点大小不等式 3.仔细核验区间端点能否取等号.代入边界数值验证集合是否依旧满足包含关系 4.合并空集、非空集合两种情况的取值范围.写出最终参数解集 常见易错点 1.直接默认集合不为空集.缺失空集对应的参数取值 2.端点不等号方向写错.等号取舍判断失误 3.解不等式组时范围计算出错 活学活用 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 2．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】讨论集合B是否为空集，由此列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】当，则，即，此时满足； 当时，，即， 此时要满足，需，结合，得， 综合上述可知实数的取值范围是 拓展 空集的性质及其应用 核心释义 依托空集两条核心性质出题.一是（任意集合）.二是（任意非空集合）.多用于子集参数求解、方程无解、不等式无解类问题 空集基础公式结论 1.方程无解解集为空集 一元二次方程无实根 2.不等式恒不成立解集为空集 开口向上二次函数恒小于0、开口向下二次函数恒大于0时解集为空集 3.子集问题中.含参集合为空集是必不可少的讨论分支 解题方法 1.判定题干出现“子集、真子集”.第一步固定验算集合为空集的成立条件 2.看到解集不存在、方程无解、不等式无解.直接转化为对应判别式、系数不等式列式计算 3.多个集合运算出现空集结果.结合交集、并集定义反向推导参数范围 易错提醒 1.二次式首先区分二次项系数等于0（一次方程/一次不等式）和不等于0两种情形 2.判别式小于0才是无实数解.判别式等于0存在唯一解.解集不是空集 活学活用 1．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 2．已知集合，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 题型 求已知集合的子集，真子集 解题贴士 1.书写子集遵循书写顺序.先写空集.再依次写出单元素子集.双元素子集.直至集合本身.避免出现漏写、重复书写的问题 2.真子集书写范围为全部子集剔除集合自身.空集是所有非空集合的真子集 3.元素无序.子集内部元素不用区分排列顺序.相同元素只保留一种组合形式 4.元素数量偏少的有限集合.采用枚举法逐条罗列最为稳妥 ▌例1 （25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【详解】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. ▌对点练1-1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. ▌对点练1-2．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型 判断两个集合的包含关系 解题贴士 1.定义判定法.集合中任意一个元素都属于集合.即可判定.若同时存在内元素不在中.则为 2.列举判定法.离散数集直接写出全部元素.比对元素归属即可快速判断包含关系 3.区间判定法.连续数集借助数轴标注取值区间.内层区间被外层区间包裹即为子集关系 4.特殊规则.空集包含于一切集合.空集是所有非空集合的真子集 ▌例1（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B ▌对点练1-1（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解． 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． ▌对点练1-2已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 题型 求集合的子集，真子集，非空真子集个数 解题贴士 1.设有限集合含有个元素 子集总个数公式 真子集总个数公式 非空子集总个数公式 非空真子集总个数公式 2.对应空集.子集数量为.真子集数量为.不能套用计算非空真子集 3.公式仅适用于元素个数确定的有限集合.无限集合无法使用该公式统计数量 ▌例1（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. ▌对点练1-1（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． ▌对点练1-2（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 题型 判断两个集合是否相等 解题贴士 1.集合相等判定依据.且同时成立时. 2.离散有限集合.两个集合元素完全一致即为相等.集合具备无序性与互异性.元素排列顺序不同不影响集合相等判定 3.描述法集合.对比两个集合代表元素类型与取值范围.代表元素相同且取值范围完全重合则两集合相等 4.区分易错形式.、、三者互不相等 ▌例1（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. ▌对点练1-1（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B ▌对点练1-2（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 题型 由两个集合相等求参数 解题贴士 1.有限数集相等.两组元素一一对应相等.分多种配对情况列出方程组求解参数 2.求解完成后必须依据集合互异性检验.剔除会造成集合出现重复元素的参数解 3.有序方程类集合.对应位置表达式直接相等列式计算即可 4.多解情形下逐个回代原式核验集合是否完全一致.舍去不符合题意的数值 ▌例1（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. ▌对点练1-2（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 题型 空集的概念及及判断 解题贴士 1.空集定义.不含任何元素的集合记作.. 2.方程解集为空集.一元二次方程无实根满足且.一次方程不会出现解集为空的情况 3.不等式解集为空集.开口向上二次函数恒小于0 .开口向下二次函数恒大于0 .对应判别式小于0 4.是任意集合的子集.是任意非空集合的真子集.做题优先考虑含参集合为空集的情况 ▌例1（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】BCD 【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断 【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：. ▌对点练1-1已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C ▌对点练1-2若集合，则实数a的值的集合为____________． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 题型7 由集合的包含关系求参数 解题贴士 1.第一步必讨论子集为空集的情形.空集恒包含于任意集合.漏解是空集题型最常见错误 2.集合均不为空时.连续区间集合借助数轴标注区间范围.根据包含关系书写端点不等式组 3.端点取值严格验证.把边界数值代入集合检验是否依旧满足包含关系.确定不等号是否添加等号 4.分别算出空集、非空集合两种情况下参数范围.取并集得到最终取值区间 5.题干为真子集关系时.两个集合区间不能完全重合.端点处需要额外加以限制 ▌例1已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. ▌对点练1-1（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． ▌对点练1-2（2025高一上·全国·专题练习）设集合，已知，求实数a的取值范围． 【答案】，或 【分析】已知，要根据是否为空集分两种情况来讨论. 【详解】当时，，解得； 当时，解得； 综上所述，的取值范围为，或． 基础通关 1．已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【答案】子集8个，真子集7个，非空真子集6个 【分析】非空集合中有个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为. 【详解】集合，有3个元素， 所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个. 综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个. 2．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 【答案】7 【分析】利用列举法表示集合，再利用给定的包含关系求出集合个数. 【详解】依题意，， 则符合条件的集合的个数为个. 故答案为：7 3．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 6．（25-26高二下·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 【答案】1 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 7．（24-25高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 8．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 10．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】C 【分析】应用集合与集合，元素与集合之间的关系，结合集合中元素的无序性判断各个小题. 【详解】对①， 集合有无序性，故①正确； 对②，任何集合是自身的子集，故②正确； 对③，空集不包含任何元素，故③错误； 对④，空集不包含任何元素，故④错误； 对⑤， 空集是任何非空集合的子集，故⑤正确； 对⑥，元素0属于集合，故⑥正确. 故选：C. 素养提升 11．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 13．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】A 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A 14．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 15．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 迁移创新 16．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 17．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先根据集合非空，得出，然后根据当时，有，得到集合之间的包含关系，计算不等式即可得出答案. 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为 18．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算 得解. 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以 ， 因为，所以，故③正确. 故选：D. 19．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 【答案】211 【分析】根据集合的互异性和无序性，只需考虑集合真包含于集合的情况即可，可根据集合中元素的数量进行分类讨论. 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 故答案为：211. 20．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有___________种． 【答案】49 【分析】先由题意得到则，接着分集合中最小的元素为1或2或3或4时进行分析即可求解. 【详解】集合，集合和集合是的两个非空子集， 且中最小的数大于中最大的数，则， 当集合中最小的元素为1时，， 此时不同的选择方法数等于集合中子集的个数为个； 当集合中最小的元素为2时，则集合中最大的元素为1， 此时集合的可能个数等于集合中子集的个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个， 所以此时不同的选择方法数为个； 当集合中最小的元素为3时，则集合中最大的元素为2， 此时集合的可能个数等于集合中子集的个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个， 所以此时不同的选择方法数为个； 当集合中最小的元素为4时，则集合中最大的元素为3， 此时集合的可能个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个， 所以此时不同的选择方法数为个； 综上所述，不同的选择方法共有个. 故答案为：49. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $