第五单元 圆 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

本讲义系统梳理圆的核心知识，从圆的定义、半径直径特征、对称性，到圆周率与周长公式、面积推导及圆环计算，再到扇形认识，构建从概念理解到公式应用的完整学习支架。 资料以“知识梳理+考点讲练+综合训练”设计，典例结合生活情境（如“圆中方”窗户、土楼面积），变式训练分层进阶。通过画圆、组合图形计算培养几何直观（数学眼光），借助推导过程发展推理能力（数学思维），用生活实例强化模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第五单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、圆的认识 1 二、扇形的认识 2 三、圆的周长 3 四、圆的面积 3 考点讲练 4 考点一、 圆的概念及特点 4 考点二、 画圆 4 考点三、 与圆相关的轴对称图形 5 考点四、 圆的周长 6 考点五、 半圆的周长 7 考点六、 圆的周长的应用 8 考点七、 含圆的组合图形的周长 9 考点八、 圆的面积及应用 11 考点九、 圆环的面积 12 考点十、 含圆的组合图形的面积 14 综合训练 15 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在 同一个圆（或等圆） 中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 5. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 6. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一、 圆的概念及特点 【典例精讲】用长6.5厘米，宽5厘米的长方形纸，最多可以剪出( )个半径是1厘米的圆。 【变式训练】在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有______户居民是“开心户”。 【变式训练】战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 【变式训练】下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是( )厘米。 考点二、 画圆 【典例精讲】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【变式训练】（1）先画一个长6cm，宽3cm的长方形，然后在长方形内画一个最大的半圆，标出圆心和半径。 （2）求出这个半圆的周长和面积。 【变式训练】作图计算。 (1)先画一个长4厘米，宽2厘米的长方形，再在长方形里画一个最大的半圆。 (2)计算长方形里除半圆以外部分的面积。 【变式训练】古色于都的“寒信古村”保留有一口珍贵的方形古井（如图）。为保障安全，村委会计划为古井定制一个圆形护栏盖。请你用直尺和圆规，画出恰好能盖住整个井口的最小圆形盖子，并保留作图痕迹。 考点三、 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】画出下面各图形的所有对称轴。 【变式训练】请画出轴对称图形的2条对称轴。 【变式训练】画出下面图形的对称轴。 【变式训练】画出下列图形的对称轴。（有几条就画几条） 考点四、 圆的周长 【典例精讲】一个挂钟分针长12cm，时针长8cm，分针的尖端转一圈走过的路程是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 【变式训练】在一张正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形（如图），恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为8厘米，那么圆的半径为( )厘米。 【变式训练】如图长方形的长是圆O半径的( )倍，如果长方形的长是10cm。圆O的周长是( )cm。（图中所有圆和半圆的半径相等） 【变式训练】一只挂钟的分针长10cm，时针长6cm，45分钟后，分针的尖端所走的路程是( )cm；120分钟后，时针的尖端所走的路程是( )cm。 考点五、 半圆的周长 【典例精讲】一个周长是50.24厘米的圆，圆的面积是( )平方厘米。将这个圆沿着一条直径对折，得到一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【变式训练】由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度( )路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是( )米。 【变式训练】如图从甲地到乙地有A，B两条路可走，这两条路的长度( )。 【变式训练】计算下面图形涂色部分的周长。    考点六、 圆的周长的应用 【典例精讲】运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【变式训练】古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【变式训练】淘气去乘坐游乐场的摩天轮，这个摩天轮的半径为55米，淘气坐在摩天轮上转动一周，大约转过多少米？如果摩天轮上大约每7.2米安装一个透明座舱，那么大约可以安装多少个透明座舱？ 【变式训练】客家春节有“踩高跷、耍单车”的民俗表演，一只小猴子骑着独轮车在客家围龙屋前的表演绳上表演，表演绳全长31.4米，独轮车车轮的直径是1米，猴子骑完全程时，车轮一共要转多少周？ 考点七、 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】已知空白部分小半圆的直径是4cm，求涂色部分的周长。 【变式训练】巧求下面阴影的周长。 (1) (2) 【变式训练】看图计算。（单位：cm）求涂色部分的周长。 【变式训练】求下图中阴影部分的周长。 考点八、 圆的面积及应用 【典例精讲】杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【变式训练】游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【变式训练】如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 考点九、 圆环的面积 【典例精讲】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【变式训练】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【变式训练】为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 【变式训练】某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 考点十、 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】求阴影部分的面积。 【变式训练】计算下图阴影部分的面积。 【变式训练】计算涂色部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】求下图中阴影部分的面积。 综合训练 1．用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离是（    ）厘米。 A．3 B．6 C．9 D．11 2．一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，它的周长增加了（    ）厘米。 A．2π B．4π C．6π D．8π 3．在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 4．在一张长8分米，宽3分米的长方形纸上剪最大的圆，最多可以剪（    ）个这样的圆。 A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图，图②是将图①中半圆BMO以点O为中心旋转得到的。若AO＝10cm，则图①中涂色部分的周长是（    ）cm。 A．62.8 B．31.4 C．51.4 D．41.4 6．中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是（    ）。 A．π＋ B．（1÷2）2π＋ C．2×π D．2×π＋ 7．刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板（厚度忽略不计）的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 8．如图所示，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是2cm，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 9．从边长10厘米的正方形里剪掉一个最大的圆，剩下面积是( )平方厘米。 10．一辆自行车的前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，车轮直径是70厘米。蹬一圈这辆自行车大约前进( )米。（得数保留两位小数） 11．一张长方形纸长26cm，宽20cm，用它剪半径3cm圆，最多可以剪( )个。 12．一个钟表的时针长4厘米，分针长6厘米，从12时到15时，分针走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 13．用圆规画一个直径是10cm的圆，圆的位置由( )决定，圆规两脚间的距离是( )cm，圆的面积是( )cm2。 14．如图，丽丽用圆规设计了一幅心形祝福卡，她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线，算一算贴一圈需要( )cm长的金丝线。 15．如下图。圆内有一个正方形，正方形的四个顶点都在圆上。正方形两条对角线相交在圆心，与正方形各边形成四个完全相同的三角形。若每个三角形的面积是5平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 16．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是( )平方厘米。 17．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 18．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 19．如图，已知AD是半圆的直径，AD＝10厘米，AB＝8厘米，BC＝3厘米，求阴影部分面积是多少平方厘米。 20．如图是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆周运动的精彩画面。女运动员的冰鞋滑过一周，形成的圆的周长和面积各是多少？ 21．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 22．如下图所示，一枚直径是1厘米的游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 23．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 24．我国港珠澳大桥海底隧道全长5.6千米，是世界上最长的公路沉管隧道。一辆车轮外直径是60厘米的小汽车，按照每分钟转1000圈计算，通过这个隧道大约需要多少分钟？（得数保留一位小数） 25．一座雕塑的基座是圆形，其周长是94.2米，在它周围种植了5米宽的环形草坪。如果种植1平方米草坪的成本是30元，那么种植这块草坪的成本是多少元？ 26．某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、圆的认识 1 二、扇形的认识 2 三、圆的周长 2 四、圆的面积 3 考点讲练 4 考点一、 圆的概念及特点 4 考点二、 画圆 6 考点三、 与圆相关的轴对称图形 9 考点四、 圆的周长 12 考点五、 半圆的周长 14 考点六、 圆的周长的应用 16 考点七、 含圆的组合图形的周长 19 考点八、 圆的面积及应用 22 考点九、 圆环的面积 25 考点十、 含圆的组合图形的面积 28 综合训练 31 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在 同一个圆（或等圆） 中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 5. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 6. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一、 圆的概念及特点 【典例精讲】用长6.5厘米，宽5厘米的长方形纸，最多可以剪出( )个半径是1厘米的圆。 【答案】6 【分析】长6.5厘米，宽5厘米的长方形纸，最多剪出半径是1厘米的几个圆，半径是1厘米，可以求得圆的直径是2厘米。用6.5除以2，求得长里面有几个圆的直径，也就是沿着长边最多可以剪出几个圆；再用5除以2，求得宽里有几个圆的直径，即沿宽边最多可以剪出几个圆，沿着长边最多可以剪出的圆的个数×沿着宽边最多可以剪出圆的个数＝可剪出的圆的总个数。 【详解】（1）（厘米） （个） 因为圆的个数是整数，所以沿着长边最多可以剪出3个圆。 （2）（个） 同样圆的个数是整数，所以沿着宽边最多可以剪出2个圆。 （3）（个） 所以用长6.5厘米，宽5厘米的长方形纸，最多剪出6个半径是1厘米的圆。 【变式训练】在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有______户居民是“开心户”。 【答案】4 【分析】构造情况如下图．若为“开心户”，则到点距离最短的5个居民分散在以为圆心，为半径的圆上。所以圆的圆周上有个点，并且圆A的内部不能再有多余的点。此时圆上其他的点都不是开心户，若需要新增加一个“开心户”，则需要尽可能多利用圆上已有的点，即若希望使为“开心户”，则最多可以利用个点，即点和圆、圆的交点和，所以在圆上再取两个点，则也是“开心户”；此时距离点距离最短的有个点，所以在圆的圆周上再增加一个点即可使居民成为“开心户”。同理，距离点距离最短的有个点，在圆D的圆周上再新增加一个点也可使居民成为“开心户”，此时“开心户”数量最多为户。 【详解】在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有4户居民是“开心户”。 【变式训练】战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 【答案】 圆心 半径 【分析】本题考查圆的特征及数学文化常识。“一中”指圆的中心点，“同长”指从中心到圆上任意一点的距离相等。 【详解】“一中”表示圆有一个中心点，在数学中该点称为圆心。 “同长”表示从圆心到圆上任意一点的线段长度相等。 连接圆心和圆上任意一点的线段定义为半径。 因此，这句话表示圆上任意一点到圆心的距离相等，也就是同一个圆的半径都相等。 【变式训练】下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是( )厘米。 【答案】16 【分析】根据图示，3条直径的长度加上（8＋8）等于2条直径的长度加上（18＋12＋18）。把直径设为厘米，列方程求解，再除以2算出半径。 【详解】解：设半圆直径的长度是厘米。 半径：32÷2＝16（厘米） 半圆的半径是16厘米。 考点二、 画圆 【典例精讲】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【答案】 （以实际测量为准） 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】直径4厘米的圆，半径为厘米，先以任意一点为圆心，用圆规有针尖的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，最后标注圆心，画出半径和直径。 【变式训练】（1）先画一个长6cm，宽3cm的长方形，然后在长方形内画一个最大的半圆，标出圆心和半径。 （2）求出这个半圆的周长和面积。 【答案】（1）见详解 （2）周长：15.42cm；面积：14.13cm2 【分析】（1）先画一个长方形，长6cm、宽3cm，长方形的长是宽的2倍，所以以长方形的长的中点为圆心，以长方形的宽为半径画半圆，该半圆即为长方形内最大的半圆，之后标注圆心和半径。 （2）半圆的周长是圆周长的一半加直径，先根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，再加上直径的长度即可得到半圆的周长。 半圆的面积是圆面积的一半，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2即可得到半圆的面积。 【详解】（1）如图： （2）周长：2×3.14×3÷2＋3×2 ＝6.28×3÷2＋6 ＝18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（cm） 面积：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 【变式训练】作图计算。 (1)先画一个长4厘米，宽2厘米的长方形，再在长方形里画一个最大的半圆。 (2)计算长方形里除半圆以外部分的面积。 【答案】(1)图见详解 (2)1.72平方厘米 【分析】（1）先依据长4厘米、宽2厘米的尺寸，用直尺规范画出长方形，再确定长方形内最大半圆的直径等于长方形的长4厘米，对应半径为2厘米，以长方形长的中点为圆心，2厘米为半径，在长方形内部画出半圆； （2）先利用长方形面积公式，代入长4厘米、宽2厘米的数据计算出长方形的总面积，再利用圆的面积公式计算出对应半圆的面积，最后用长方形的总面积减去半圆的面积，即可求出长方形里除半圆以外部分的面积，据此解答。 【详解】（1） （2）计算长方形的面积：4×2＝8（平方厘米） 确定半圆的半径并计算半圆面积：长方形内最大半圆的直径等于长方形的长4厘米，半径为4÷2＝2（厘米） 半圆面积＝3.14×半径²÷2 3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（平方厘米） 计算剩余部分的面积：8－6.28＝1.72（平方厘米） 【变式训练】古色于都的“寒信古村”保留有一口珍贵的方形古井（如图）。为保障安全，村委会计划为古井定制一个圆形护栏盖。请你用直尺和圆规，画出恰好能盖住整个井口的最小圆形盖子，并保留作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】用直尺连接正方形的两条对角线，两条对角线会相交于一点，该点即为正方形的中心。以对角线的交点为圆心，以对角线长度的一半为半径，用圆规画圆。这个圆就是能恰好盖住整个井口的最小圆形盖子。 【详解】画图如下： 考点三、 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】画出下面各图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】对称轴定义：沿一条直线对折图形，折叠后两侧能完全重合，这条直线就是该图形的对称轴，两个图形的对称轴情况如下： 左图（1个大圆＋左右两个相等小圆） 一共有条对称轴： ① 经过三个圆的圆心的水平直线； ② 过中间大圆的圆心、垂直于上述水平连线的竖直直线。 右图（圆内接正方形） 一共有条对称轴： 分别是正方形对边中点连线所在的水平直线、竖直直线（都过圆心），以及正方形的两条对角线所在直线，共4条。 【详解】 【变式训练】请画出轴对称图形的2条对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此解答。 【详解】如图：（画法不唯一） 【变式训练】画出下面图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称及对称轴：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。可先观察所给图形，想象这个图形沿着哪一条直线对折后，两侧能够完全重合，然后再着手描画对称轴。 【详解】如图： 【点睛】本题所涉及图形均与圆有关，可结合圆的具体性质来分析，同时也要符合现有图形的特征，注意对称轴要画成点画线。 【变式训练】画出下列图形的对称轴。（有几条就画几条） 【答案】见详解 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。 第一个图形是由左、右2个大小相同的圆相切组成的，可以横着画1条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有2条对称轴。 第二个图形是由左、右2个大小相同的圆相交组成的，可以横着画1条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有2条对称轴。 第三个图形是由3个大小相同的圆组成的，把其中任意1个圆的圆心和另外2个圆的相交处相连并延长，都可以画出对称轴，因此它有3条对称轴。 【详解】如图。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 考点四、 圆的周长 【典例精讲】一个挂钟分针长12cm，时针长8cm，分针的尖端转一圈走过的路程是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 【答案】 75.36 200.96 【分析】分针的尖端转一圈走过的路程是以钟面的中心为圆心，分针的长度为半径圆的周长，利用求出分针尖端走过的路程；时针转一圈扫过的面积是以钟面的中心为圆心，时针的长度为半径圆的面积，利用求出时针转一圈扫过的面积，据此解答。 【详解】 （cm） （） 分针的尖端转一圈走过的路程是cm，时针转一圈扫过的面积是。 【变式训练】在一张正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形（如图），恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为8厘米，那么圆的半径为( )厘米。 【答案】2 【分析】根据圆的周长公式，求出扇形所在圆的周长，再除4，求出扇形的周长，根据扇形的周长即为底面圆的周长，根据圆的周长公式，即可求出圆的半径。圆的周长公式为：C＝2πr。 【详解】3.14×2×8 ＝6.28×8 ＝50.24（厘米） 50.24÷4＝12.56（厘米） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 【变式训练】如图长方形的长是圆O半径的( )倍，如果长方形的长是10cm。圆O的周长是( )cm。（图中所有圆和半圆的半径相等） 【答案】 5 12.56 【分析】观察图形可知，长方形的宽等于圆的直径，长方形的长由三部分组成：左边半圆的半径、中间圆的直径、右边圆的直径。据此设半径为r，则直径为2r，进而求得长方形长的字母表达式，再根据“求一个数是另一个数的几倍用除法”，求出长是半径的几倍；再根据字母表达式的结果等于10cm，求出半径的值，最后代入圆的周长公式C＝2πr中，求出圆O的周长。 【详解】设半径为r，则直径为2r。根据题意可得长为2r＋2r＋r＝5r。 5r÷r＝5，因此长方形的长是圆O半径的5倍。 当5r＝10时，根据一个因数＝积÷另一个因数，得： r＝10÷5 ＝2（cm） 圆的周长：2×3.14×2＝12.56（cm） 【变式训练】一只挂钟的分针长10cm，时针长6cm，45分钟后，分针的尖端所走的路程是( )cm；120分钟后，时针的尖端所走的路程是( )cm。 【答案】 47.1 6.28 【分析】分针、时针的尖端走过的路程是对应圆的弧长，先根据圆的周长公式C＝2πr算出完整一圈的周长，再根据经过的时间算出走过的圈数占比，用周长乘占比得到最终走过的路程。分针走一圈是60分钟，时针走一圈是12小时。 【详解】45分钟分针尖端走的路程： 2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（cm） 45÷60＝ 62.8×＝47.1（cm） 120分钟时针尖端走的路程： 120分钟＝2小时 2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（cm） 2÷12＝ 37.68×＝6.28（cm） 考点五、 半圆的周长 【典例精讲】一个周长是50.24厘米的圆，圆的面积是( )平方厘米。将这个圆沿着一条直径对折，得到一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 200.96 41.12 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，可得r＝C÷π÷2，据此求出半径；再根据圆的面积公式：S＝πr，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】圆的半径：50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 圆的面积：3.14×8 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 半圆的周长：3.14×8＋8×2 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 【变式训练】由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度( )路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是( )米。 【答案】 ＝ 62.8 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr＝πd计算并比较，完成填空即可。O点到C点的距离是20米，也就是路径①的圆弧的半径是20米。 【详解】设路径②的圆弧的直径是d，则路径①的圆弧的直径是3d。 路径①的长度：3πd÷2＝1.5πd 路径②的长度：πd÷2×3＝1.5πd 所以路径①和路径②相等。 3.14×20×2÷2 ＝62.8×2÷2 ＝62.8（米） 路径①的长度＝路径②的长度；路径①的长是62.8米。 因此，由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度＝路径②的长度。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是62.8米。 【变式训练】如图从甲地到乙地有A，B两条路可走，这两条路的长度( )。 【答案】一样长 【分析】圆的周长的计算公式：，半圆弧的长度是圆的周长的一半，即。由图大半圆弧的直径等于两个小半圆弧的直径之和，那么大半圆弧的半径等于两个小半圆弧的半径之和，可以通过设两个半圆弧的半径为和，分别表示出A、B两条半圆弧的长度，再比较小即可。据此解答。 【详解】设两个小半圆弧的半径分别为和 A路线的长度： B路线的长度： 所以两条路的长度一样长。 【变式训练】计算下面图形涂色部分的周长。    【答案】22.84厘米 【分析】观察图形可知：大圆直径是8厘米，小圆直径等于大圆半径。 涂色部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆半径，圆的周长＝πd； 【详解】（厘米） （厘米） 考点六、 圆的周长的应用 【典例精讲】运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【答案】 157盏 【分析】地灯安装的位置是环形小路的外边缘，广场半径加上小路宽度即为外圆的半径；然后根据圆的周长公式求出外边缘的总长度；封闭线路，灯的盏数等于间隔数，用总周长除以间隔距离即可求出地灯的数量。 【详解】 （盏） 答：一共要装157盏地灯。 【变式训练】古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 【变式训练】淘气去乘坐游乐场的摩天轮，这个摩天轮的半径为55米，淘气坐在摩天轮上转动一周，大约转过多少米？如果摩天轮上大约每7.2米安装一个透明座舱，那么大约可以安装多少个透明座舱？ 【答案】345.4米；48个 【分析】摩天轮的运动轨迹是圆形，淘气坐摩天轮转一周的路程就是这个圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），代入半径55米，求出周长。因为摩天轮是封闭的圆形，装挂座舱的数量用总周长除以每个座舱的间隔距离，得到的结果取整数。 【详解】2×3.14×55 ＝6.28×55 ＝345.4（米） 345.4÷7.2≈48（个） 答：转动一周大约转过345.4米；大约可以安装48个透明座舱。 【变式训练】客家春节有“踩高跷、耍单车”的民俗表演，一只小猴子骑着独轮车在客家围龙屋前的表演绳上表演，表演绳全长31.4米，独轮车车轮的直径是1米，猴子骑完全程时，车轮一共要转多少周？ 【答案】 10周 【分析】根据圆的周长公式C＝πd求出车轮的周长，这个周长就是车轮每转一周前进的距离；然后用表演绳的总长度除以车轮的周长，即可得到车轮转动的周数。 【详解】3.14×1＝3.14（米） 31.4÷3.14＝10（周） 答：车轮一共要转10周。 考点七、 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】已知空白部分小半圆的直径是4cm，求涂色部分的周长。 【答案】25.12cm 【分析】通过观察图形可知，涂色部分的周长＝半径为4cm的半圆的弧长＋直径为4cm的两个半圆的弧长，两个小半圆的弧长之和等于直径为4cm的圆的周长。圆的周长公式是或，代入直径或半径计算即可。 【详解】3.14×4＋2×3.14×4÷2 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 所以涂色部分的周长是25.12cm。 【变式训练】巧求下面阴影的周长。 (1) (2) 【答案】(1)20.56dm (2)31.4cm 【分析】（1）阴影部分的周长等于正方形的两条边长，加上直径是4dm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 （2）阴影部分的周长等于直径为（8＋2）cm的圆的周长的一半，再加上直径为8cm和2cm的两个小圆的周长的一半，也就是阴影部分的周长相当于一个直径是（8＋2）cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 【详解】（1）4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝20.56（dm） （2）8＋2＝10（cm） 3.14×10＝31.4（cm） 【变式训练】看图计算。（单位：cm）求涂色部分的周长。 【答案】 【分析】涂色部分的周长由个半圆弧组成，这个半圆的直径均为，合起来正好是个完整圆的周长。根据圆周长公式来计算涂色部分的周长。 【详解】直径： 半径： 【变式训练】求下图中阴影部分的周长。 【答案】12.56cm 【分析】看图可知，1格表示1cm，大圆的半径＝小半圆的直径＝2cm，两个小半圆可以拼成一个完整的圆，阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋拼成的小圆周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【详解】3.14×2＋3.14×2 ＝3.14×（2＋2） ＝3.14×4 ＝12.56（cm） 阴影部分的周长是12.56cm。 考点八、 圆的面积及应用 【典例精讲】杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】根据题意，圆形波纹的最大直径为12米，用直径除以2，求出半径的长度，再根据圆的面积公式＝πr2，代入计算求出这个圆形波纹的面积。 【详解】12÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这个圆形波纹的面积是113.04平方米。 【变式训练】游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】87.92平方米 【分析】小圆半径为6米，大圆半径为小圆半径加小路的宽，小路为环形，用大圆的面积－小圆的面积，圆的面积公式：S＝πr2，可以求得小路的面积。 【详解】6＋2＝8（米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 200.96－113.04＝87.92（平方米） 答：这条环形小路的占地面积是87.92平方米。 【变式训练】如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】秒针转完整一圈是60秒，经过30秒，秒针刚好转半圈，秒针的长度就是扫过图形的半径，即半径r＝4厘米，扫过的面积是半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：秒针所扫过的面积是25.12平方厘米。 【变式训练】土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 【答案】2826平方米 【分析】这座土楼外围的底面周长是188.4米，已知圆的周长求面积，先根据：求出半径，再根据圆的面积：，即可求得占地面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：它的占地面积是2826平方米。 考点九、 圆环的面积 【典例精讲】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 【变式训练】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【答案】21.98平方米 【分析】先用花坛半径加上小路宽度，求出外圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），代入数值，即可求出小路的面积。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 【变式训练】为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 【答案】34.54平方米 【分析】小路的面积是圆环的面积，根据圆环面积公式“面积＝π×（外圆半径2－内圆半径2）”计算。先求出内圆半径，再用内圆半径加小路宽度得到外圆半径，最后代入公式计算。 【详解】内圆半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋1＝6（米） 小路面积： 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：小路的面积是34.54平方米。 【变式训练】某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【分析】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 考点十、 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】求阴影部分的面积。 【答案】37.74平方厘米 【分析】如图，梯形内的圆刚好与梯形的上下底接触，所以圆的直径就是梯形的高。 阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，S梯＝（a＋b）×h÷2，S圆＝πr2。 【详解】梯形的面积： （8＋14）×6÷2 ＝22×6÷2 ＝132÷2 ＝66（平方厘米） 圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 阴影部分的面积： 66－28.26＝37.74（平方厘米） 【变式训练】计算下图阴影部分的面积。 【答案】16cm2 【分析】 如图所示：，阴影部分面积＝长是8cm，宽是（8÷2）cm长方形面积－底是8cm，高是（8÷2）cm的三角形面积，根据长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】 8÷2＝4（cm） 8×4－8×4÷2 ＝32－32÷2 ＝32－16 ＝16（cm2） 【变式训练】计算涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】86平方厘米 【分析】正方形面积＝边长×边长，4个空白部分可以拼成一个完整的圆，半径是正方形边长的一半，根据圆的面积公式求出空白部分的面积；最后用正方形的面积减去空白部分的面积即可求出涂色部分的面积。 【详解】20×20＝400（平方厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 400－314＝86（平方厘米） 【变式训练】求下图中阴影部分的面积。 【答案】11.61 【分析】看图可知，长方形的长÷3＝圆的半径，圆的半径×2＝长方形的宽，阴影部分的面积＝长方形面积－圆的面积－半圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方，半圆的面积＝圆的面积÷2，据此列式计算。 【详解】9÷3＝3（dm） 3×2＝6（dm） 9×6－3.14×－3.14×÷2 ＝54－3.14×9－3.14×9÷2 ＝54－28.26－14.13 ＝11.61（） 阴影部分的面积是11.61。 综合训练 1．用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离是（    ）厘米。 A．3 B．6 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长公式的应用。用圆规画圆时，圆规两脚间的距离等于所画圆的半径。已知圆的周长，根据圆的周长公式，可推导出半径。取，将周长数据代入公式计算即可求解。 【详解】 ＝6÷2 （厘米） 用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离是3厘米。 2．一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，它的周长增加了（    ）厘米。 A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式，分别算出半径变化前后的周长，再利用减法求出周长增加了多少厘米。 【详解】原来的周长：2π×3＝6π（厘米） 现在的周长：2π×5＝10π（厘米） 增加的周长：10π－6π＝4π（厘米） 3．在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 【答案】D 【分析】要在长方形中画一个最大的半圆，需考虑半圆的直径落在长方形的长或宽上。若以长5厘米为直径，半径为2.5厘米，所需宽度为2.5厘米，小于实际宽3厘米，符合条件；若以宽3厘米为直径，半圆较小。因此最大半圆的直径为5厘米。半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，据此计算即可。 【详解】所画半圆的直径是5厘米。 （厘米） 这个半圆的周长是12.85厘米。 4．在一张长8分米，宽3分米的长方形纸上剪最大的圆，最多可以剪（    ）个这样的圆。 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】长方形内剪最大的圆，圆的直径等于长方形较短的边。先确定圆的直径，再用长方形的长÷圆的直径，求出可剪出圆的数量。 【详解】长方形宽为3分米，所以剪出最大圆的直径是3分米。 8÷3＝2……2（分米） 余下的长度不足3分米，无法再剪出一个完整的圆。 结合排列方式，该长方形纸上最多可以剪2个圆。 5．如图，图②是将图①中半圆BMO以点O为中心旋转得到的。若AO＝10cm，则图①中涂色部分的周长是（    ）cm。 A．62.8 B．31.4 C．51.4 D．41.4 【答案】A 【分析】观察图形可得：图①涂色部分的周长＝直径为10cm的圆的周长＋半径为10cm的圆的周长，然后再根据圆的周长公式C＝πd或C＝2πr进行解答。 【详解】3.14×10＋×2×3.14×10 ＝31.4＋31.4 ＝62.8（cm） 图①中涂色部分的周长是62.8cm。 6．中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是（    ）。 A．π＋ B．（1÷2）2π＋ C．2×π D．2×π＋ 【答案】D 【分析】由图可知，海棠门的面积等于边长是1m的正方形的面积与半径是1÷2＝0.5m的两个圆的面积和，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π解答即可。 【详解】1×1＋2×π＝2×π＋ 所以海棠门的面积是[2×π＋]m2。 7．刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板（厚度忽略不计）的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 20.56 25.12 【分析】圆的周长C＝πd，代入计算出圆的周长。再除以2加上直径就是半圆的周长。用直径除以2，算出半径。圆的面积＝πr2，代入计算出圆的面积，再除以2即可得到半圆形的面积。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 8．如图所示，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是2cm，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】9.42 【分析】长方形的面积和圆的面积相等，看图可知，长方形和圆都减去重叠部分，剩余部分的面积也相等，即阴影部分的面积＝圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】3.14×22× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝9.42（平方厘米） 9．从边长10厘米的正方形里剪掉一个最大的圆，剩下面积是( )平方厘米。 【答案】21.5 【分析】剪掉一个最大的圆的直径等于正方形边长，根据直径与半径之间的关系：半径＝直径÷2，求出圆的半径，再根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝，π取3.14，分别计算出正方形和圆的面积，最后相减得到剩余面积。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 所以，剩下面积是21.5平方厘米。 10．一辆自行车的前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，车轮直径是70厘米。蹬一圈这辆自行车大约前进( )米。（得数保留两位小数） 【答案】6.59 【分析】蹬一圈，是前齿轮转一圈，后齿轮不止转一圈，因前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，所以蹬一圈，后齿轮转动圈。已知车轮直径是70厘米，圆的周长（d代表直径），求出的周长即为后齿轮转一圈自行车前进的距离，后齿轮转动3圈，车轮也会转动3圈，所以前进的距离等于车轮周长乘3，求出得数后，将厘米转化为以米为单位，并且按照“四舍五入”保留两位小数即可。 【详解】根据分析： （圈） （厘米） （厘米） 因， 即一辆自行车的前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，车轮直径是70厘米。蹬一圈这辆自行车大约前进6.59米 11．一张长方形纸长26cm，宽20cm，用它剪半径3cm圆，最多可以剪( )个。 【答案】12 【分析】求一个长方形里可以剪几个圆，需先利用求出圆的直径，再用长方形的长和宽分别除以圆的直径求出长里面有几个这样的直径，宽里面有几个这样的直径，再将长和宽里面的直径数量相乘。 【详解】 4（个）…… 3（个）…… 最多能剪的圆的数量：（个） 12．一个钟表的时针长4厘米，分针长6厘米，从12时到15时，分针走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 113.04 12.56 【分析】①1时分针走一圈，从12时到15时，分针走了（15－12）圈；圆的周长＝（是分针长度）；分针走的长度＝圆的周长×圈数。 ②1时时针走1大格，钟面上有12大格，从12时到15时时针走过了3大格，3÷12＝。所以时针扫过的面积是半径4厘米的圆面积的。圆的面积＝（是时针长度）；时针扫过的面积＝圆的面积×。 【详解】分针走的长度： 2×3.14×6×（15－12） ＝2×3.14×6×3 ＝2×6×3×3.14 ＝12×3×3.14 ＝36×3.14 ＝113.04（厘米） 时针扫过的面积： （平方厘米） 13．用圆规画一个直径是10cm的圆，圆的位置由( )决定，圆规两脚间的距离是( )cm，圆的面积是( )cm2。 【答案】 圆心 5 78.5 【分析】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆规两脚间的距离是所画圆的半径，同一个圆中半径长度是直径的一半，圆的面积计算公式为S＝πr2。据此解答。 【详解】圆的位置由圆心决定。 圆规两脚间的距离：10÷2＝5（cm） 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 14．如图，丽丽用圆规设计了一幅心形祝福卡，她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线，算一算贴一圈需要( )cm长的金丝线。 【答案】25.12 【分析】由图可知：需要的金丝线的长度相当于两个半径是2cm的圆的周长之和。圆的周长＝2πr（r是圆的半径），需要的金丝线的长度＝圆的周长×2。 【详解】2×3.14×2×2 ＝6.28×2×2 ＝12.56×2 ＝25.12（cm） 15．如下图。圆内有一个正方形，正方形的四个顶点都在圆上。正方形两条对角线相交在圆心，与正方形各边形成四个完全相同的三角形。若每个三角形的面积是5平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 【答案】31.4 【分析】首先根据图形可知四个三角形为等腰直角三角形，且直角边长为圆的半径；然后设圆的半径为r，根据三角形公式：S＝×底×高，这里的底和高都是圆的半径r，即5，由此可得出的值，利用圆的面积S＝π即可解决问题。 【详解】根据分析，解答如下： r2＝5 r2＝10 S＝π＝3.14×10＝31.4（平方厘米） 16．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】414.48 【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积＝半径是（8＋3×2）厘米圆的面积－半径是8厘米的圆的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【详解】8＋3×2 ＝8＋6 ＝14（厘米） 3.14×（142－82） ＝3.14×（196－64） ＝3.14×132 ＝414.48（平方厘米） 17．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 【答案】56.52平方分米；18.24平方分米 【分析】三个涂色扇形半径均为6分米，圆心角之和等于三角形内角和180°，可拼接成一个半径6分米的半圆，直接利用半圆面积公式计算涂色面积； 先依据圆的面积公式算出直径8分米的圆的面积，把内部正方形沿对角线拆成2个底为8分米、高为4分米的三角形求出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到涂色面积。 【详解】左图： 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方分米） 右图： 3.14×（8÷2）2－8×（8÷2）÷2×2 ＝3.14×16－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（平方分米） 18．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）29.76平方厘米；（2）6.28平方厘米 【分析】（1）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积。由图可知，梯形的高为8厘米。分别求出梯形和圆的面积后，用梯形面积减去圆的面积。 （2）如图，将左侧的阴影部分剪下，拼接在右侧空白处，正好拼成一个完整的半圆，利用求出半圆的面积。计算时需先根据直径等于4厘米，利用求出半圆的半径。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 第一个图阴影部分的面积是29.76平方厘米。 （2）（厘米） （平方厘米） 第二个图阴影部分的面积是6.28平方厘米。 19．如图，已知AD是半圆的直径，AD＝10厘米，AB＝8厘米，BC＝3厘米，求阴影部分面积是多少平方厘米。 【答案】27.25平方厘米 【分析】先根据圆的面积公式可知半圆的面积为算出半圆的面积，再根据三角形的面积公式求出直角三角形ABC的面积，用“半圆的面积－三角形的面积”即可得到阴影部分的面积。 【详解】 （平方厘米） 8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 39.25－12＝27.25（平方厘米） 答：阴影部分的面积是27.25平方厘米。 20．如图是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆周运动的精彩画面。女运动员的冰鞋滑过一周，形成的圆的周长和面积各是多少？ 【答案】周长9.42米；面积7.065平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】周长：2×3.14×1.5 ＝6.28×1.5 ＝9.42（米） 面积：3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 答：形成的圆的周长是9.42米，面积是7.065平方米。 21．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 【答案】 314平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，算出圆的半径；再根据圆的面积公式，代入数值计算即可求出这个圆形场地的面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个圆形场地的面积大约是314平方米。 22．如下图所示，一枚直径是1厘米的游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】12.785平方厘米 【分析】游戏币扫过的面积为长是4厘米，宽是1厘米的2个长方形面积加上长是2厘米，宽是1厘米的2个长方形面积加上以1厘米为直径的圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2。 【详解】1×4×2＋2×1×2＋3.14×（1÷2）2 ＝8＋4＋3.14×0.52 ＝12＋3.14×0.25 ＝12＋0.785 ＝12.785（平方厘米） 答：它扫过的面积是12.785平方厘米。 23．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 【答案】95.36厘米 【分析】本题需运用圆的周长公式，计算出砧板的周长，再加上预留做提手的铁条长度，得到所需铁条的总长度。 【详解】 （厘米） 答：需要的铁条至少是95.36厘米。 24．我国港珠澳大桥海底隧道全长5.6千米，是世界上最长的公路沉管隧道。一辆车轮外直径是60厘米的小汽车，按照每分钟转1000圈计算，通过这个隧道大约需要多少分钟？（得数保留一位小数） 【答案】3.0分钟 【分析】根据圆的周长公式计算车轮周长，即车轮转动一圈的路程；车轮周长×每分钟转动圈数＝每分钟行驶路程；将厘米换算成千米，除以进率100000；隧道全长÷每分钟行驶路程＝需要的时间；保留一位小数，若百分位数字≥5，向十分位进1之后省略十分位后的尾数，若百分位数字＜5，直接省略十分位后的尾数。 【详解】3.14×60＝188.4（厘米） 188.4×1000＝188400（厘米） 188400÷100000＝1.884（千米） 5.6÷1.884≈3.0（分钟） 答：通过这个隧道大约需要3.0分钟。 25．一座雕塑的基座是圆形，其周长是94.2米，在它周围种植了5米宽的环形草坪。如果种植1平方米草坪的成本是30元，那么种植这块草坪的成本是多少元？ 【答案】16485元 【分析】首先根据圆的周长公式，利用基座周长求出基座半径。将基座半径加上草坪宽度，得到外圆半径。根据圆环面积公式求出草坪面积。最后用草坪面积乘每平方米的成本，即可求出总成本。 【详解】 （米） 外圆半径：（米） 草坪面积： （平方米） 总成本：549.5×30＝16485（元） 答：种植这块草坪的成本是16485元。 26．某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 【答案】65.94平方米；1978.2元 【分析】根据公式求出圆形花坛的内圆半径。根据路宽，利用“外圆半径＝内圆半径＋路宽”求出外圆半径。圆环面积公式计算水泥路的面积，再根据“总价＝单价×面积”计算买道砖所需的费用，计算中取值3.14。 【详解】 （米） （米） （平方米） 65.94×30＝1978.2（元） 答：铺水泥道的面积是65.94平方米。买道砖用了1978.2元。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $