第六单元 放大与缩小-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+6个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共50题）2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“放大与缩小”单元知识体系，知识梳理部分分四个知识点详细呈现，包括放大缩小的概念与性质、方格纸画图步骤、比例尺定义及应用等，用实例和判断依据明确重难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于“考点讲练+奥数拓展+分层演练”的三阶设计，如高频考点中“图形放大后面积按比例平方变化”的规律总结，培养几何直观与推理意识，奥数拓展题提升思维深度，分层真题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，学生自主复习效率高。

2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 放大与缩小『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共50题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 放大和缩小 3 知识点二 在方格纸上画放大或缩小后的图形 4 知识点三 比例尺 4 知识点四 综合练习要点与规律 5 考点讲练 真题汇编 6 高频考点一 图形的放大与缩小 6 高频考点二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 7 高频考点三 比例尺的意义 7 高频考点四 图上距离与实际距离的换算 8 高频考点五 比例尺应用 9 高频考点六 应用比例尺画图 9 难点突破 奥数拓展 11 奥数拓展一 图形的放大与缩小 11 奥数拓展二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 12 奥数拓展三 比例尺的意义 12 奥数拓展四 图上距离与实际距离的换算 12 奥数拓展五 比例尺应用 13 奥数拓展六 应用比例尺画图 13 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 16 知识点一 放大和缩小 1. 从生活实例认识图形变化 在日常生活中，我们经常会对照片或图形进行处理。以长方形照片的变化为例，我们可以观察到不同的变化情况： 形状发生改变：如果仅将长方形的长放大到原来的2倍，而宽保持不变，或者仅改变长或宽中的一个维度，图形的整体形状就会发生改变（例如变得狭长或扁平）。 形状保持不变：如果将长方形的长和宽同时放大到原来的2倍，虽然图形的大小改变了，但它的形状并没有发生变化。 判断依据：判断图形放大或缩小后形状是否改变，关键在于长与宽的比是否保持不变。例如，原图长宽比为 6:4，化简后为 3:2；如果放大后的长宽比为 12:8，化简后依然是 3:2，这就说明形状没有改变。 2. 核心定义与比的含义 图形的放大：把长方形的每条边都放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 2:1，这就是把原来的长方形按 2:1 的比放大。 图形的缩小：同理，如果按 1:2 的比缩小，意味着长和宽都变为原来的。 比的意义：在表示放大或缩小的比中，比的前项表示放大或缩小后的长度，比的后项表示原来的长度。 3. 图形放大与缩小的重要性质 图形经过放大或缩小后，具有以下两个核心性质： 大小变了，形状不变：这是最本质的特征。 对应关系：放大或缩小前后的图形，对应边长的比相等，且对应角的大小保持不变。 知识点二 在方格纸上画放大或缩小后的图形 1. 画图基本步骤 在方格纸上绘制放大或缩小后的图形，需要遵循以下规范步骤： 确定比：明确题目要求的放大或缩小的比（如 2:1 或 1:2）。 算边长：根据比，计算出原图形各条边放大或缩小后的新长度。 画新图：在方格纸上，按照计算出的新长度画出新的图形。 4. 检验核对：检查新图形的形状是否改变；核对每条边是否符合比例要求；确认每个角的大小是否保持不变。 2. 操作示例与检验 放大示例：按 2:1 的比把直角梯形 ABCD 放大。需将梯形的上底、下底和高分别乘以 2，画出新的直角梯形。 缩小示例：按 1:2 的比把梯形缩小。需将梯形的上底、下底和高分别除以 2（或乘以），画出缩小后的梯形。 检验方法：观察新图形与原图形是否相似；验证每条边是否准确变成了原来的几倍或几分之几；确认各个角的度数没有发生变化。 知识点三 比例尺 1. 比例尺的定义与公式 定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 计算公式： 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 或 图上距离 ÷ 实际距离 = 比例尺 2. 比例尺的具体含义 以比例尺 1:1000 为例，它包含以下三层含义： - 图上距离是实际距离的 1/1000。 - 实际距离是图上距离的 1000 倍。 - 图上距离 1 厘米表示实际距离 1000 厘米（即 10 米）。 3. 比例尺的表示方法 数字比例尺：直接用数字比的形式表示，如 1:1000。 线段比例尺：在图上附有一条标有数量的线段，如 0—10—20—30 m，表示图上 1 厘米的长度相当于实际 10 米的距离。 4. 比例尺的应用与计算 在实际应用中，比例尺常用于以下三种情况的计算： 已知图上距离和比例尺，求实际距离： 方法一：实际距离 = 图上距离 × 比例尺的后项 方法二：列比例式解答 已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺：比例尺 = 图上距离 : 实际距离。 5. 单位换算注意事项 在进行比例尺计算时，必须统一单位。常见的长度单位换算关系如下： - 1 米 = 100 厘米 - 1 千米 = 1000 米 = 100000 厘米 知识点四 综合练习要点与规律 1. 基础判断与作图 能够准确判断图形放大或缩小的比。 熟练在方格纸上按指定比例画出放大或缩小后的图形。 2. 面积变化规律（重点拓展） 图形在放大或缩小时，边长按比例变化，而面积按比例的平方变化： 按 n:1 放大，面积变为原来的 n² 倍。 按 1:n 缩小，面积变为原来的 1/n²。 3. 角度不变性 牢记：无论图形如何放大或缩小，图形中各个角的度数始终保持不变。 知识点六 国家基本比例尺地图 在我国，国家基本比例尺地图共有 11 种标准规格，了解这些有助于建立空间尺度感： 1:500，1:1000，1:2000，1:5000，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000，1:500000，1:1000000。 高频考点一 图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽六安·期末）按要求画一画。 （1）把下图中的三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把下图中的梯形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【变式训练1】（25-26六年级下·安徽合肥·期末） （1）将图中平行四边形向上平移3格，再向右平移2格后，点A的对应点可以用数对表示为（ ， ）。 （2）画出平行四边形按2∶1放大后的图形；放大后的图形面积与原来图形面积的比为（    ）。 【变式训练2】（25-26六年级下·福建泉州·期末） (1)点A的位置用数对表示是______。 (2)画出把三角形向右平移5格后的图形。 (3)画出把三角形绕点C逆时针旋转90°后的图形。 (4)如果把三角形按2∶1放大，放大后的面积与原来的面积比是( )∶( )。 高频考点二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南常德·期末）把一个底是5cm、高是4cm的平行四边形按放大，得到图形的面积是( )。 【变式训练1】（25-26六年级下·山东潍坊·期末）如图是“潍坊国际风筝会”会标，小华要使用这个图案，他将这个图案放在一个边长为3厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大），已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了（    ）平方厘米。 A．40 B．30 C．20 D．10 【变式训练2】（25-26六年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知小圆的直径和大圆半径相等，那么大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。 高频考点三 比例尺的意义 【典例精讲】（2026·甘肃兰州·小升初模拟）中国天眼的全称是500米口径（直径）球面射电望远镜，简称FAST，是具有中国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜。 (1)中国天眼球面口的周长是( )米。 (2)如果在设计“中国天眼”时，设计图纸上的球面口径是50厘米，那么这幅设计图纸的比例尺是( )。 【变式训练1】（25-26六年级下·广东清远·期末）下面是以学校为观测点画出的平面图。（测量时取整厘米数） (1)图书馆在学校的正东方向1200米处，这幅平面图的比例尺是( )。 (2)青少年宫在学校( )偏( )( )方向( )米处。 (3)军军家在学校北偏东45°方向900米处，请你在平面图上标出军军家的位置。 【变式训练2】（24-25六年级下·辽宁沈阳·期末）一幅地图的比例尺为，下列说法正确的是（    ）。 A． 图上1厘米表示实际距离120米。 B．实际距离是图上距离的40倍。 C．改写成数值比例尺是1∶4000。 高频考点四 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）“神舟13号”飞船实际高度约是58米，厂家按1∶200的比例定制飞船模型，模型的高度是( )厘米。每个模型售价是20元，“六一”儿童节商场做“买五送一”促销活动，王老师买了30个飞船模型送给“航模班”同学，她一共要付( )元。 【变式训练1】（25-26六年级下·广东汕尾·期末）青岛胶州湾隧道全长约8km，限速80千米/时；总投资约为四十亿五千九百万元人民币。 (1)横线上的数写作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 (2)在不超速的情况下，一辆汽车通过该隧道最快需要( )分钟。 (3)在一幅平面图上量得该隧道的长度是16cm，那么这幅图的比例尺是( )。 【变式训练2】（25-26六年级下·河南周口·期末）第十三届全国少数民族传统体育运动会将于2027年9月在湘西土家族苗族自治州和张家界市举办。在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得武汉到张家界的公路长是10.5厘米。张叔叔自驾车从武汉开往张家界，平均每小时行75千米，需要几小时？ 高频考点五 比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南安阳·期末）学过比例尺后，我们能通过地图知距离。在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，甲乙两地间的公路大约长5.4厘米。一辆货车和一辆旅游客车分别从两地同时相向而行，3小时后相遇，已知货车和客车的速度比是4∶5，这两辆车的速度各是多少？ 【变式训练1】（25-26六年级下·河北张家口·期末）在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得宣化与石家庄两地的距离是7.2厘米，这两地的实际距离是( )千米。 【变式训练2】（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）一幅地图上，5cm代表实际25km，这幅图的比例尺是( )。若实际距离140km，图上距离是( )cm；若图上距离12cm，实际距离是( )km。 高频考点六 应用比例尺画图 【典例精讲】（24-25六年级下·河南郑州·期末）某小区有一个长方形的儿童乐园，周长是200米，长和宽的比是3∶2。（下图中，每个小正方形的边长代表厘米） (1)这个长方形乐园的长是( )米，宽是( )米。 (2)请你确定一个合适的比例尺，并在方格图中画出这个儿童乐园的平面图，这个儿童乐园的平面图的比例尺是：（    ）。 【变式训练1】（25-26六年级下·浙江宁波·期末）宁波至慈溪市城际铁路正在加速建设，此线起于江北孔浦站，止于慈溪高铁站，共设13个车站。孔浦站在慈溪高铁站东偏南方向45km处，请在下图中标出孔浦站的位置。 【变式训练2】（25-26六年级下·广东广州·阶段检测）完成下列各题。 （1）表示图上距离1厘米相当于实际距离（    ）米，将它改写成数值比例尺是（    ）。 （2）电影院在学校正西方900米处，汽车站在学校正南方750米处。在下图中标出电影院和汽车站的位置。 （3）少月家离学校有多远？（量图距取整厘米） 奥数拓展一 图形的放大与缩小 【典例精讲】（25-26六年级下·四川广元·期末）下图每个小正方形的面积是1平方厘米。请按要求画一画，算一算。 (1)以边所在的直线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。 (2)画出梯形绕点B顺时针旋转后的图形。 (3)如果把梯形按放大，放大后梯形的面积是多少平方厘米？ (4)若将图中的梯形绕线段所在的直线旋转一周，求旋转一周后图形的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 【变式训练】操作题。（下图中的每小格表示边长1厘米的正方形） ①过点A做梯形ABCD的高AP，则点P用数对表示是（        ）。 ②画出按2∶1将梯形ABCD放大后的图形，放大后的梯形面积是（    ）平方厘米。 奥数拓展二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（24-25六年级下·山东·单元测试）把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形面积的比是( )。想一想长方体和正方体都按n∶1的比放大，放大后与放大前体积的比是( )。 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 奥数拓展三 比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地在比例尺是的地图上量得的距离比在比例尺是的地图上量得的距离长3cm。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【变式训练】（25-26六年级下·山东济宁·期末）嘉祥县一家电子公司生产的一种长度为的手机核心计时元件芯片，画在设计图纸上的长度是，这幅图纸的比例尺是( )。该图纸上画有一段长的电路，这段电路实际长( )。 奥数拓展四 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级下·河南南阳·期末）小方在研究“生活中的数学问题”时获得了以下信息。 ①甲、乙两队合作修一条公路，10天修完。②这条公路在比例尺是的图纸上量得的长度是8cm。③甲、乙两队工作效率之比为2∶3。 根据以上信息，你能求出乙队比甲队每天多修多少米吗？ 【变式训练】（25-26六年级下·河南平顶山·期末）在一幅地图上，图上距离4厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是( )，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是6.5厘米，那么甲、乙两地实际相距( )千米。 奥数拓展五 比例尺应用 【典例精讲】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地相距7.2厘米。一辆货车和一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车每小时行50千米，货车每小时行多少千米？ 【变式训练】下图是小明坐出租车从家去展览馆的路线图。已知出租车在以内（含）按起步价6元计算，超出以后，每增加，车费就增加1.4元。小明从家出发，坐出租车去展览馆，一共要花费多少钱？ 奥数拓展六 应用比例尺画图 【典例精讲】（2026·江苏徐州·小升初模拟）某设计者用比例是的比例尺将一广场画在图纸上，如图所示，广场是由一个正方形和4个半圆组成的。（π取3.14） （1）该广场的实际面积是多少平方米？ （2）如果小东每天绕广场边沿跑2圈，那么他每天跑多少米？ 【变式训练】（23-24六年级下·江西九江·期末）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·江西上饶·期末）把一个长方形按放大后，下列说法正确的是（    ）。 A．周长扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。 B．周长扩大到原来的9倍，面积扩大到原来的3倍。 C．周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。 D．周长和面积都不变。 2．（25-26六年级下·江苏宿迁·期末）在比例尺是（    ）的平面图上，图上4厘米长的线段表示实际距离0.5毫米。 A．8∶1 B．1∶8 C．80∶1 D．1∶80 3．（25-26六年级下·广东珠海·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，在一幅地图上量得其长度为11厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶5 B．1∶5000 C．1∶500000 D．1∶5000000 4．（25-26六年级下·湖南邵阳·期末）一幅地图的比例尺是1∶6000000，在图上量得甲乙两地的距离4.5厘米，实际两地相距( )千米。轩轩的爸爸开车从甲地去乙地，汽车每小时行驶120千米，全程需要( )小时。 5．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）比例尺1∶3000000，图上5厘米代表实际距离( )千米；实际距离240千米，图上距离是( )厘米。 6．（2026·宁夏固原·小升初真题）把一个底9cm，高6cm的三角形按的比缩小，缩小后的三角形面积与原来三角形面积的比是。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·安徽合肥·期中）把下图中左边的图形按比例缩小后得到右边的图形，求未知数。 8．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，A城与B城的图上距离是24厘米。一辆汽车从A城开往B城，每小时行驶80千米，几小时可以到达？ 9．（25-26六年级下·河南驻马店·期末）阳阳一家准备假期自驾去北京游玩，在一幅比例尺为的地图上量得正阳到北京的直线距离约7厘米，如果自驾车以平均100千米/时的速度，10小时能到达北京吗？ 10．（24-25六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺为1∶30000000的地图上，量得上海浦东机场和乌鲁木齐地窝堡机场某航线的距离为12cm，一架飞机以900千米/时的速度从上海浦东机场飞往乌鲁木齐地窝堡机场，需要飞行多长时间？ 【能力提升】 1．两张中国地图。甲图的比例尺是，乙图的比例尺是，甲图上北京到上海的图距是乙图上这两地之间图距的（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山西大同·期末）北京与大同相距350千米，在一幅地图上量得北京到大同之间的距离是7厘米，这幅地图的比例尺是( )；同样在这幅地图上大同到包头的距离是9厘米，大同到包头的实际距离是( )千米。 3．（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）按2∶1将一个长方形放大后，放大后的长方形面积是原长方形面积的2倍。( )（判断对错） 4．（25-26六年级下·江西上饶·期末）在比例尺是的地图上，量得重庆到成都的高速公路图上距离是17厘米。小明爸爸以85千米/时的速度于上午8时整从重庆出发，到达成都的时间是几时？ 5．（25-26六年级下·山东菏泽·期末）在一幅比例尺是的地图上，一条路的长度约是5厘米。甲、乙两个修路队同时从这条路的两端开始施工，若干天后修完，已知甲、乙两个修路队的修路长度的比是，甲修路队比乙修路队多修了多少千米？ 6．（25-26六年级下·江苏苏州·期末）画一画，填一填。 (1)把图形①绕M点逆时针旋转90°，在图中画出旋转后的图形；P点旋转后的对应点用数对表示是（    ）。 (2)在图中画一个等腰梯形，使它的面积是图形①的2倍，并画出等腰梯形的对称轴。 (3)把图形②按2∶1放大，画出放大后的图形；放大后图形的面积与原图形面积的比是（    ）。 (4)图形③中O点是圆心，BC是圆的直径，AO＝AC。如果每个小方格的边长为2厘米，那么A点在O点( )偏( )( )°方向( )厘米处。 7．按要求画图并回答问题。 （1）把图①移动到圆心是（2，9）的位置。 （2）以虚线为对称轴，画出图②的另一半。 （3）先画出图③绕点A顺时针旋转90°后的图形，再画出图③按1∶2缩小后的图形。缩小后图形的面积是原来图形面积的（    ）。 8．（1）下图中B点的位置是 。 （2）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形，并画出旋转后图形的一条对称轴、一条高。 （3）画出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的图形。 （4）在方格纸上按1∶2画出梯形ABCD缩小后的图形，原梯形与缩小后梯形的面积的最简比是（    ）。 9．（24-25六年级下·江苏常州·期末） (1)图形①的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向( )平移( )格就转化成了长方形。 (2)画出将图形②的长方形绕点B逆时针旋转90°后的图形。 (3)画出图形③的另一半，使它成为轴对称图形。 (4)以图形④的点O为圆心，画出这个圆按2∶1放大后的图形，放大后与放大前两个圆的面积比是（     ）。 10．（25-26六年级下·辽宁营口·期末）按要求画一画，填一填。 (1)画出图形A向右平移5格后的图形。 (2)以虚线l为对称轴，画出图形B的另一半。 (3)三角形的顶点M的位置是，顶点O的位置是( )。 (4)画出图形C绕点O沿顺时针方向旋转90°后的图形。 (5)画出图形D按放大后的图形。 (6)放大后的图形与原来图形的面积之比是______。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 放大与缩小『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+6个奥数拓展+真题难度分层演练 共50题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 放大和缩小 3 知识点二 在方格纸上画放大或缩小后的图形 4 知识点三 比例尺 4 知识点四 综合练习要点与规律 5 考点讲练 真题汇编 6 高频考点一 图形的放大与缩小 6 高频考点二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 9 高频考点三 比例尺的意义 11 高频考点四 图上距离与实际距离的换算 13 高频考点五 比例尺应用 15 高频考点六 应用比例尺画图 17 难点突破 奥数拓展 20 奥数拓展一 图形的放大与缩小 20 奥数拓展二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 23 奥数拓展三 比例尺的意义 24 奥数拓展四 图上距离与实际距离的换算 25 奥数拓展五 比例尺应用 26 奥数拓展六 应用比例尺画图 27 优选真题 实战演练 29 【基础通关】 29 【能力提升】 33 知识点一 放大和缩小 1. 从生活实例认识图形变化 在日常生活中，我们经常会对照片或图形进行处理。以长方形照片的变化为例，我们可以观察到不同的变化情况： 形状发生改变：如果仅将长方形的长放大到原来的2倍，而宽保持不变，或者仅改变长或宽中的一个维度，图形的整体形状就会发生改变（例如变得狭长或扁平）。 形状保持不变：如果将长方形的长和宽同时放大到原来的2倍，虽然图形的大小改变了，但它的形状并没有发生变化。 判断依据：判断图形放大或缩小后形状是否改变，关键在于长与宽的比是否保持不变。例如，原图长宽比为 6:4，化简后为 3:2；如果放大后的长宽比为 12:8，化简后依然是 3:2，这就说明形状没有改变。 2. 核心定义与比的含义 图形的放大：把长方形的每条边都放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 2:1，这就是把原来的长方形按 2:1 的比放大。 图形的缩小：同理，如果按 1:2 的比缩小，意味着长和宽都变为原来的。 比的意义：在表示放大或缩小的比中，比的前项表示放大或缩小后的长度，比的后项表示原来的长度。 3. 图形放大与缩小的重要性质 图形经过放大或缩小后，具有以下两个核心性质： 大小变了，形状不变：这是最本质的特征。 对应关系：放大或缩小前后的图形，对应边长的比相等，且对应角的大小保持不变。 知识点二 在方格纸上画放大或缩小后的图形 1. 画图基本步骤 在方格纸上绘制放大或缩小后的图形，需要遵循以下规范步骤： 确定比：明确题目要求的放大或缩小的比（如 2:1 或 1:2）。 算边长：根据比，计算出原图形各条边放大或缩小后的新长度。 画新图：在方格纸上，按照计算出的新长度画出新的图形。 4. 检验核对：检查新图形的形状是否改变；核对每条边是否符合比例要求；确认每个角的大小是否保持不变。 2. 操作示例与检验 放大示例：按 2:1 的比把直角梯形 ABCD 放大。需将梯形的上底、下底和高分别乘以 2，画出新的直角梯形。 缩小示例：按 1:2 的比把梯形缩小。需将梯形的上底、下底和高分别除以 2（或乘以），画出缩小后的梯形。 检验方法：观察新图形与原图形是否相似；验证每条边是否准确变成了原来的几倍或几分之几；确认各个角的度数没有发生变化。 知识点三 比例尺 1. 比例尺的定义与公式 定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 计算公式： 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 或 图上距离 ÷ 实际距离 = 比例尺 2. 比例尺的具体含义 以比例尺 1:1000 为例，它包含以下三层含义： - 图上距离是实际距离的 1/1000。 - 实际距离是图上距离的 1000 倍。 - 图上距离 1 厘米表示实际距离 1000 厘米（即 10 米）。 3. 比例尺的表示方法 数字比例尺：直接用数字比的形式表示，如 1:1000。 线段比例尺：在图上附有一条标有数量的线段，如 0—10—20—30 m，表示图上 1 厘米的长度相当于实际 10 米的距离。 4. 比例尺的应用与计算 在实际应用中，比例尺常用于以下三种情况的计算： 已知图上距离和比例尺，求实际距离： 方法一：实际距离 = 图上距离 × 比例尺的后项 方法二：列比例式解答 已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 已知图上距离和实际距离，求比例尺：比例尺 = 图上距离 : 实际距离。 5. 单位换算注意事项 在进行比例尺计算时，必须统一单位。常见的长度单位换算关系如下： - 1 米 = 100 厘米 - 1 千米 = 1000 米 = 100000 厘米 知识点四 综合练习要点与规律 1. 基础判断与作图 能够准确判断图形放大或缩小的比。 熟练在方格纸上按指定比例画出放大或缩小后的图形。 2. 面积变化规律（重点拓展） 图形在放大或缩小时，边长按比例变化，而面积按比例的平方变化： 按 n:1 放大，面积变为原来的 n² 倍。 按 1:n 缩小，面积变为原来的 1/n²。 3. 角度不变性 牢记：无论图形如何放大或缩小，图形中各个角的度数始终保持不变。 知识点六 国家基本比例尺地图 在我国，国家基本比例尺地图共有 11 种标准规格，了解这些有助于建立空间尺度感： 1:500，1:1000，1:2000，1:5000，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000，1:500000，1:1000000。 高频考点一 图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽六安·期末）按要求画一画。 （1）把下图中的三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把下图中的梯形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【答案】 【思路引导】（1）按2∶1放大，三角形各边长度都扩大到原来的2倍。先数原三角形底和高各占几格，分别乘2得到新底和新高的格数。放大后形状不变。 （2）梯形绕点O逆时针旋转90度，点O不动。找出梯形其他各顶点，分别绕点O逆时针旋转90度确定新位置。旋转时，每个点与O连成的线段逆时针转90度，长度不变。找到新顶点后连线画出旋转后的梯形。 【规范解答】原三角形的边长和高为：2格；放大后为2×2＝4（格）；图略。 【变式训练1】（25-26六年级下·安徽合肥·期末） （1）将图中平行四边形向上平移3格，再向右平移2格后，点A的对应点可以用数对表示为（ ， ）。 （2）画出平行四边形按2∶1放大后的图形；放大后的图形面积与原来图形面积的比为（    ）。 【答案】（1）；（4，4） （2）；4∶1 【思路引导】（1）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。数对的第一个数表示列，第二个数表示行，中间用逗号隔开。 （2）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。平行四边形面积＝底×高，两数相除又叫两个数的比，写出放大后的图形面积与原来图形面积的比，化简即可。 【规范解答】（1）画图略；点A的对应点在第4列第4行，用数对表示为（4，4）。 （2）画图略； （6×4）∶（3×2） ＝24∶6 ＝（24÷6）∶（6÷6） ＝4∶1 放大后的图形面积与原来图形面积的比为4∶1。 【变式训练2】（25-26六年级下·福建泉州·期末） (1)点A的位置用数对表示是______。 (2)画出把三角形向右平移5格后的图形。 (3)画出把三角形绕点C逆时针旋转90°后的图形。 (4)如果把三角形按2∶1放大，放大后的面积与原来的面积比是( )∶( )。 【答案】(1)（7，7） (2) (3) (4) 4 1 【思路引导】（1）用数对表示位置时，第一个数是列，第二个数是行。 （2）先把三角形的顶点向右平移5格，再依次连接即可。 （3）根据旋转的特征，旋转中心点C位置不变，把三角形的顶点和边绕点C逆时针旋转90°。 （4）根据放大比例尺的意义，放大后的三角形的底和高是原来的2倍，算出放大后的三角形的底和高；根据三角形的面积＝底×高÷2，算出放大后三角形的面积和原来三角形的面积；再求出它们的比即可。 【规范解答】（1）点A的位置在第7列，第7行，用数对表示是（7，7）。 （2）把三角形的顶点向右平移5格，再依次连接。图略。 （3）把三角形的顶点和边绕点C逆时针旋转90°。图略。 （4）放大后三角形的底：2×2＝4 放大后三角形的高：4×2＝8 放大后三角形的面积：4×8÷2＝16 原来三角形的面积：2×4÷2＝4 16∶4＝（16÷4）∶（4÷4）＝4∶1 高频考点二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南常德·期末）把一个底是5cm、高是4cm的平行四边形按放大，得到图形的面积是( )。 【答案】 320 【思路引导】平行四边形按放大，底与高都扩大到原来的4倍，再求扩大后平行四边形的面积，平行四边形的面积公式 【规范解答】（） （） （） 【变式训练1】（25-26六年级下·山东潍坊·期末）如图是“潍坊国际风筝会”会标，小华要使用这个图案，他将这个图案放在一个边长为3厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大），已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了（    ）平方厘米。 A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【思路引导】先确定正方形边长的缩放比例，正方形从边长3厘米拉伸到6厘米，可得到边长的缩放倍数。利用相似图形面积比等于相似比的平方这一性质，图案是等比例放大，属于相似图形，可得到图案面积的缩放倍数。根据拉伸前的图案面积，计算出拉伸后的图案面积，再减去拉伸前的面积，即可得到面积增加量，对比选项就可得到正确的答案。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） 【变式训练2】（25-26六年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知小圆的直径和大圆半径相等，那么大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。 【答案】 【思路引导】先设定小圆半径，因为小圆直径和大圆半径相等，所以可推导出大圆半径和小圆半径的数量关系。 计算周长倍数时，因为圆的周长公式为，周长和半径成正比，所以代入两者半径关系即可得到周长的倍数关系，或者根据周长的变化规律，圆的周长比与半径比相等，得出两个圆周长的关系。 计算面积比时，因为圆的面积公式为，面积和半径的平方成正比，所以代入两者半径的平方关系即可得到面积的比，或者根据面积的变化规律，圆的面积比是半径比的平方，得出两个圆面积的关系。。 【规范解答】圆周长公式为小圆周长，则大圆周长，，因此大圆周长是小圆周长的2倍，或者根据大圆周长小圆周长大圆半径小圆半径，得出大圆周长是小圆周长的2倍。 圆面积公式为小圆面积，则大圆面积，，因此小圆面积是大圆面积的，或者根据小圆面积大圆面积小圆半径平方大圆半径平方，得出小圆面积是大圆面积的。 高频考点三 比例尺的意义 【典例精讲】（2026·甘肃兰州·小升初模拟）中国天眼的全称是500米口径（直径）球面射电望远镜，简称FAST，是具有中国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜。 (1)中国天眼球面口的周长是( )米。 (2)如果在设计“中国天眼”时，设计图纸上的球面口径是50厘米，那么这幅设计图纸的比例尺是( )。 【答案】(1)1570 (2)1∶1000/ 【思路引导】（1）根据圆的周长＝πd，已知直径是500米，代入数据，即可求出中国天眼球面口的周长。 （2）根据1米＝100厘米，将中国天眼的实际口径的单位换算成厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，即可求出这幅设计图纸的比例尺。 【规范解答】（1）500×3.14＝1570（米） （2）500米＝50000厘米 50∶50000 ＝（50÷50）∶（50000÷50） ＝1∶1000 【变式训练1】（25-26六年级下·广东清远·期末）下面是以学校为观测点画出的平面图。（测量时取整厘米数） (1)图书馆在学校的正东方向1200米处，这幅平面图的比例尺是( )。 (2)青少年宫在学校( )偏( )( )方向( )米处。 (3)军军家在学校北偏东45°方向900米处，请你在平面图上标出军军家的位置。 【答案】(1)1∶30000/ (2) 北 西 30° 600 (3) 【思路引导】（1）先量出图书馆与学校的图上距离，再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1米＝100厘米”，求出这幅平面图的比例尺。 （2）先量出青少年宫与学校的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1米＝100厘米”，求出青少年宫与学校的实际距离。 然后以图上的“上北下南，左西右东”为准，以学校为观测点，结合方向、角度和距离得出青少年宫与学校的位置关系。 （3）先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出军军家与学校的图上距离，再结合方向、角度和距离在图中画出军军家的位置。 【规范解答】（1）量得图上图书馆与学校相距4厘米。 4厘米∶1200米 ＝4厘米∶（1200×100）厘米 ＝4∶120000 ＝（4÷4）∶（120000÷4） ＝1∶30000 （2）量得图上青少年宫与学校相距2厘米。 90°－60°＝30° 2÷ ＝2×30000 ＝60000（厘米） 60000厘米＝600米 青少年宫在学校北偏西30°方向600米处。（方向不唯一） （3）军军家在学校北偏东45°方向900米处，请你在平面图上标出军军家的位置。 900米＝90000厘米 90000×＝3（厘米） 在学校北偏东45°方向上画3厘米长的线段，即是军军家。 【变式训练2】（24-25六年级下·辽宁沈阳·期末）一幅地图的比例尺为，下列说法正确的是（    ）。 A．图上1厘米表示实际距离120米。 B．实际距离是图上距离的40倍。 C．改写成数值比例尺是1∶4000。 【答案】C 【思路引导】这是一个线段比例尺，图上1厘米代表实际距离40米；根据1米＝100厘米，乘进率将厘米换算成米，用除法求出实际距离是图上距离的倍数；根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出数值比例尺。据此逐项分析。 【规范解答】A．根据题意可得，图上1厘米表示40米，并非120米，因此选项A错误； B．40米＝4000厘米，4000÷1＝4000，因此实际距离是图上距离的4000倍，并非40倍，选项B错误； C．统一单位后，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可得数值比例尺为1∶4000，因此选项C正确。 说法正确的是改写成数值比例尺是1∶4000。 高频考点四 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）“神舟13号”飞船实际高度约是58米，厂家按1∶200的比例定制飞船模型，模型的高度是( )厘米。每个模型售价是20元，“六一”儿童节商场做“买五送一”促销活动，王老师买了30个飞船模型送给“航模班”同学，她一共要付( )元。 【答案】 29 500 【思路引导】先换算单位，将58米换算成5800厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求模型的高度。 “买五送一”，即买5个可以得到（5＋1）个，用30个除以（5＋1）就是买的次数，买的次数乘5就是要付钱的个数，再乘单价就是一共要付的钱数。 【规范解答】58米＝5800厘米 580029（厘米） 20× ＝20× ＝20×25 ＝500（元） 模型的高度是29厘米，她一共要付500元。 【变式训练1】（25-26六年级下·广东汕尾·期末）青岛胶州湾隧道全长约8km，限速80千米/时；总投资约为四十亿五千九百万元人民币。 (1)横线上的数写作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 (2)在不超速的情况下，一辆汽车通过该隧道最快需要( )分钟。 (3)在一幅平面图上量得该隧道的长度是16cm，那么这幅图的比例尺是( )。 【答案】(1) 4059000000 40.59 (2)6 (3)1∶50000/ 【思路引导】（1）写数时从高位写起，哪一位是几就写几，哪一位上一个单位也没有，就用0占位。四十亿五千九百万元人民币，十亿位上是4，亿位上是0，千万位上是5，百万位上是9，其余位上是0，根据以上写出对应的数即可；改写成用“亿”作单位的数，就是要在亿的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面写上“亿”字。 （2）已知隧道全长8km，限速80千米/时，根据时间路程速度，可求得通过隧道最快需要的时间（按照限速行驶时最快），再将小时转化为分钟即可（1小时60分钟）。 （3）已知隧道全长约8km，一幅平面图上量得该隧道的长度是16cm。因为1km100000cm，将高级单位转化为低级单位要乘进率，将单位统一为cm后，根据比例尺图上距离实际距离，可求出这幅图的比例尺。 【规范解答】（1）根据分析：四十亿五千九百万写作：4059000000；亿，即用“亿”作单位的数是40.59亿。 （2）（小时），（分钟），即在不超速的情况下，一辆汽车通过该隧道最快需要6分钟。 （3）,比例尺 ，即这幅图的比例尺是。 【考点剖析】 【变式训练2】（25-26六年级下·河南周口·期末）第十三届全国少数民族传统体育运动会将于2027年9月在湘西土家族苗族自治州和张家界市举办。在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得武汉到张家界的公路长是10.5厘米。张叔叔自驾车从武汉开往张家界，平均每小时行75千米，需要几小时？ 【答案】7小时 【思路引导】根据比例尺＝图上距离÷实际距离，得出实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数值求出实际距离，将单位换算为千米；再根据“时间＝路程÷速度”计算所需时间。 【规范解答】实际距离：10.5÷ ＝10.5×5000000 ＝52500000（厘米） 52500000厘米＝525千米 行驶时间：（小时） 答：需要7小时。 高频考点五 比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南安阳·期末）学过比例尺后，我们能通过地图知距离。在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，甲乙两地间的公路大约长5.4厘米。一辆货车和一辆旅游客车分别从两地同时相向而行，3小时后相遇，已知货车和客车的速度比是4∶5，这两辆车的速度各是多少？ 【答案】货车的速度是40千米/时，客车的速度是50千米/时。 【思路引导】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，算出甲乙两地的实际距离；再根据1千米＝100000厘米，除以进率将厘米换算成千米；接着用路程和除以相遇时间得到两车速度和；最后用速度和乘两车速度比的总份数，求出一份的速度，用一份的速度分别乘两车速度对应的份数，分别求出两车速度。 【规范解答】 ＝5.4×5000000 ＝27000000（厘米） 90÷（4＋5） ＝90÷9 ＝10（千米/时） 货车：10×4＝40（千米/时） 客车：10×5＝50（千米/时） 答：货车的速度是40千米/时，客车的速度是50千米/时。 【变式训练1】（25-26六年级下·河北张家口·期末）在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得宣化与石家庄两地的距离是7.2厘米，这两地的实际距离是( )千米。 【答案】360 【思路引导】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出实际厘米数，再把算出的厘米数值转化为千米，即可求出两地的实际距离。 【规范解答】7.2÷ ＝7.2×5000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 【变式训练2】（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）一幅地图上，5cm代表实际25km，这幅图的比例尺是( )。若实际距离140km，图上距离是( )cm；若图上距离12cm，实际距离是( )km。 【答案】 1∶500000/ 28 60 【思路引导】先把实际距离的单位换算为cm，再代入公式计算。 求实际距离140km对应的图上距离时，根据统一单位后代入计算。 求图上距离12cm对应的实际距离时，根据计算后将单位换算为km。 【规范解答】 这幅图的比例尺是。若实际距离140km，图上距离是28cm；若图上距离12cm，实际距离是60km。 高频考点六 应用比例尺画图 【典例精讲】（24-25六年级下·河南郑州·期末）某小区有一个长方形的儿童乐园，周长是200米，长和宽的比是3∶2。（下图中，每个小正方形的边长代表厘米） (1)这个长方形乐园的长是( )米，宽是( )米。 (2)请你确定一个合适的比例尺，并在方格图中画出这个儿童乐园的平面图，这个儿童乐园的平面图的比例尺是：（    ）。 【答案】(1) 60 40 (2)（答案不唯一） （长方形的位置不唯一） 【思路引导】（）根据，用长方形的周长除以即可求出长方形儿童乐园的长和宽之和，再根据长和宽的比是，可知儿童乐园的长占长方形长宽之和的分率为，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用长方形长宽之和乘儿童乐园的长占长方形长宽之和的分率即可求出儿童乐园的长，进而求出儿童乐园的宽。 （）小方格边长是厘米，可以把厘米表示米，米＝厘米，选择比例尺是。然后根据比例尺和实际距离求出图上距离，画图即可。 【规范解答】（）周长是米，长和宽的比是。 （米） （米） （米） 这个长方形乐园的长是米，宽是米。 （）图中每个小方格的边长代表厘米 厘米表示米，米＝厘米，选择比例尺是：（答案不唯一） 米＝厘米，（厘米） 米＝厘米，（厘米） 图略：长方形的位置不唯一。 【变式训练1】（25-26六年级下·浙江宁波·期末）宁波至慈溪市城际铁路正在加速建设，此线起于江北孔浦站，止于慈溪高铁站，共设13个车站。孔浦站在慈溪高铁站东偏南方向45km处，请在下图中标出孔浦站的位置。 【答案】 【思路引导】先统一单位，根据1千米＝100000厘米，可得45千米＝4500000厘米； 已知图上的比例尺为1∶900000，根据图上距离＝实际距离×比例尺，利用乘法计算出图上的距离，4500000×＝5（厘米）； 以慈溪高铁站为观测基点，正东为基准向南偏转30°，沿着这个30°的方向，从慈溪高铁站出发画一条长5厘米的线段，线段的终点就是孔浦站的位置。 【变式训练2】（25-26六年级下·广东广州·阶段检测）完成下列各题。 （1）表示图上距离1厘米相当于实际距离（    ）米，将它改写成数值比例尺是（    ）。 （2）电影院在学校正西方900米处，汽车站在学校正南方750米处。在下图中标出电影院和汽车站的位置。 （3）少月家离学校有多远？（量图距取整厘米） 【答案】（1）300；1∶30000（2）（3）1200米 【思路引导】（1）线段比例尺上1厘米对应300米，改数值比例尺要把单位统一成厘米，300米等于30000厘米，所以写成1∶30000。 （2）先确定学校在图上的位置。电影院在学校正东方，实际距离900米，用比例尺算图上距离，900除以300得3厘米，从学校往正东方向量3厘米，点上标记写电影院； 汽车站在学校正南方750米，750除以300得2.5厘米，从学校往正南方向量2.5厘米，点上标记写汽车站。 （3）量取少月家到学校的图上距离，取整厘米数，乘比例尺300米，就是实际距离。 【规范解答】 （1）表示图上距离1厘米相当于实际距离300米，将它改写成数值比例尺是1∶30000。 （2）图略 （3）量得少月家到学校的图上距离是4厘米。300×4＝1200（米） 答：少月家离学校有1200米远。 奥数拓展一 图形的放大与缩小 【典例精讲】（25-26六年级下·四川广元·期末）下图每个小正方形的面积是1平方厘米。请按要求画一画，算一算。 (1)以边所在的直线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。 (2)画出梯形绕点B顺时针旋转后的图形。 (3)如果把梯形按放大，放大后梯形的面积是多少平方厘米？ (4)若将图中的梯形绕线段所在的直线旋转一周，求旋转一周后图形的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 【答案】(1) (2) (3)24平方厘米 (4)33.49立方厘米 【思路引导】（1）对称轴是边DC所在的直线，找A点的对称点：点A在点D的左边2格，因为对称轴DC是斜着的，所以点A的对称点应该在点D的上方2格；找点B的对称点：点B在点C的左边4格，同理点B的对称点在点C的上方4格，连接几个对称点即可得到轴对称图形的另一半； （2）根据图形旋转的特征，梯形ABCD绕点B顺时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相同的度数，先确定线段AB、BC绕点B顺时针旋转90°后的位置，再依次连接各点得到旋转后的图形； （3）根据图形放大的特征，梯形ABCD的各边扩大到原来的2倍，根据梯形面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求解； （4）将图中的梯形绕线段所在的直线旋转一周，得到一个上面是圆锥，下面是圆柱的组合图形，圆柱和圆锥的底面半径是2厘米，圆柱的高是2厘米，圆锥的高是2厘米，根据圆柱体积公式：，圆锥体积公式：，代入数据即可求解。 【规范解答】（1）图略 （2）图略 （3）AD：2×2＝4（厘米） BC：4×2＝8（厘米） AB：2×2＝4（厘米） 放大后梯形的面积： （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 答：放大后梯形的面积是24平方厘米。 （4）3.14×22×2＋3.14×22×2× ＝3.14×4×2＋3.14×4×2× ＝25.12＋25.12× ＝25.12×（1＋） ＝25.12× 33.49（立方厘米） 答：旋转一周后图形的体积是33.49立方厘米。 【变式训练】操作题。（下图中的每小格表示边长1厘米的正方形） ①过点A做梯形ABCD的高AP，则点P用数对表示是（        ）。 ②画出按2∶1将梯形ABCD放大后的图形，放大后的梯形面积是（    ）平方厘米。 【答案】①见详解；（2，2） ②见详解；20平方厘米 【思路引导】①根据“梯形的高是上底与下底之间的距离”，据此过点A向BC作垂线，与BC相交于点P，AP即为梯形的高； 然后根据用数对表示位置的方法“数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行”，据此用数对表示点P的位置。 ②梯形ABCD按2∶1放大，那么梯形的上底、下底、高都乘2，即是放大后梯形的上底、下底和高，据此画出放大后的图形； 然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出放大后梯形的面积。 【规范解答】①过点A做梯形ABCD的高AP，如下图； 则点P用数对表示是（2，2）。 ②放大后梯形的上底是：1×2＝2（厘米） 放大后梯形的下底是：4×2＝8（厘米） 放大后梯形的高是：2×2＝4（厘米） 放大后的梯形如下图： （2＋8）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 放大后梯形的面积是20平方厘米。 【考点剖析】本题考查作梯形的高、数对与位置、作放大后的图形、梯形面积公式的运用。明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 奥数拓展二 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（24-25六年级下·山东·单元测试）把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形面积的比是( )。想一想长方体和正方体都按n∶1的比放大，放大后与放大前体积的比是( )。 【答案】 【思路引导】将平面图形按比例放大，放大后与放大前面积的比是这个比的平方；将立体图形按比例放大，放大后与放大前体积的比是这个比的立方。 【规范解答】 把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形面积的比是。 长方体和正方体都按n∶1的比放大，放大后与放大前体积的比是。 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【思路引导】把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，周长扩大的倍数等于边长扩大的倍数，面积扩大的倍数等于边长扩大的倍数的平方。 【规范解答】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的2×2＝4倍。 奥数拓展三 比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地在比例尺是的地图上量得的距离比在比例尺是的地图上量得的距离长3cm。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【答案】 16千米 【思路引导】根据减法的意义，列出减法算式，求出两个比例尺的差，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，把数据代入公式，求出实际距离，最后换算单位。即可解答。 【规范解答】 （厘米） 厘米＝16千米 答：甲、乙两地的实际距离是16千米。 【考点剖析】本题考查了比例尺，掌握图上距离和实际距离的换算方法是解题的关键。 【变式训练】（25-26六年级下·山东济宁·期末）嘉祥县一家电子公司生产的一种长度为的手机核心计时元件芯片，画在设计图纸上的长度是，这幅图纸的比例尺是( )。该图纸上画有一段长的电路，这段电路实际长( )。 【答案】 / / 【思路引导】比例尺是指图上距离与实际距离的比。计算比例尺时，必须先统一图上距离与实际距离的单位。求出比例尺后，再根据“实际距离图上距离比例尺”的关系，求出电路的实际长度。（解题时注意厘米和毫米之间的换算） 【规范解答】因为1cm＝10mm，所以24cm＝240mm，这幅图的比例尺为：； 图纸上画有一段长的电路，这段电路实际长为：（cm）。 这幅图纸的比例尺是。该图纸上画有一段长的电路，这段电路实际长0.1。 奥数拓展四 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级下·河南南阳·期末）小方在研究“生活中的数学问题”时获得了以下信息。 ①甲、乙两队合作修一条公路，10天修完。②这条公路在比例尺是的图纸上量得的长度是8cm。③甲、乙两队工作效率之比为2∶3。 根据以上信息，你能求出乙队比甲队每天多修多少米吗？ 【答案】 64米 【思路引导】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出公路的实际总长度，再用总长度除以合作天数得到甲、乙两队每天共修的长度。由于甲、乙工作效率比是2∶3，所以每天的工作量之比也是2∶3，用每天共修的长度乘乙比甲多修的分率，即可求出乙队每天比甲队多修的长度。 【规范解答】（厘米） 320000厘米＝3200米 （米） （米） 答：乙队比甲队每天多修64米。 【变式训练】（25-26六年级下·河南平顶山·期末）在一幅地图上，图上距离4厘米表示实际距离120千米，这幅地图的比例尺是( )，在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是6.5厘米，那么甲、乙两地实际相距( )千米。 【答案】 1∶3000000 195 【思路引导】先统一单位，120千米＝12000000厘米，比例尺＝图上距离∶实际距离，写出对应的比，再根据比的基本性质，将其化简为最简整数比； 由比例尺得到图上1厘米表示的实际距离，再用图上1厘米表示的实际距离乘甲、乙两地的图上距离即可求出对应的实际距离。 【规范解答】120千米＝12000000厘米 4∶12000000＝（4÷4）∶（12000000÷4）＝1∶3000000 这幅地图的比例尺是1∶3000000。 3000000厘米＝30千米 30×6.5＝195（千米） 甲、乙两地实际距离是195千米。 奥数拓展五 比例尺应用 【典例精讲】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地相距7.2厘米。一辆货车和一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车每小时行50千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】40千米 【思路引导】首先依据实际距离∶图上距离＝比例尺，求得甲、乙两地实际距离。再根据速度和＝路程÷相遇时间，求得货车和客车的速度和，用速度和减去客车的速度，即是货车的速度。 【规范解答】解： （千米/时） （千米/时） 答：货车每小时行40千米。 【考点剖析】此题考查学生对比例尺的意义的运用以及相遇问题的基本数量关系。 【变式训练】下图是小明坐出租车从家去展览馆的路线图。已知出租车在以内（含）按起步价6元计算，超出以后，每增加，车费就增加1.4元。小明从家出发，坐出租车去展览馆，一共要花费多少钱？ 【答案】22.8元 【思路引导】根据图上距离和比例尺，先求出实际距离，然后再分段计算所需的费用。 【规范解答】（cm） （元） 答：一共要花费22.8元。 【考点剖析】比例尺指的是图上距离与实际距离的比，再计算的时候注意单位换算。 奥数拓展六 应用比例尺画图 【典例精讲】（2026·江苏徐州·小升初模拟）某设计者用比例是的比例尺将一广场画在图纸上，如图所示，广场是由一个正方形和4个半圆组成的。（π取3.14） （1）该广场的实际面积是多少平方米？ （2）如果小东每天绕广场边沿跑2圈，那么他每天跑多少米？ 【答案】（1）102800平方米 （2）2512米 【思路引导】（1）首先根据买际距离＝图上距离÷比例尺，求出正方形的实际边长，再根据正方形的面积公式、圆的面积公式：，把数据分别代入公式解答。 （2）小东跑一圈的长度等于两个圆的周长，根据圆的周长公式：，求出跑一圈的距离，再乘2即可。 【规范解答】（1） （厘米） （米 （平方米） 答：该广场的实际面积是102800平方米。 （2） （米） 答：小东每天跑2512米。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及正方形的面积公式、圆的面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式训练】（23-24六年级下·江西九江·期末）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 【答案】画图见详解 【思路引导】由高级单位米转换成低级单位厘米，乘进率100，据此把该长方形的长和宽分别转化成以厘米为单位； 根据图上距离＝实际距离×比例尺，将数据代入计算出画在图上的长方形长和宽的厘米数，据此画图即可。 【规范解答】由分析可得： 140米＝（140×100）厘米＝14000厘米 120米＝（120×100）厘米＝12000厘米 14000×＝3.5（厘米） 12000×＝3（厘米） 画图如下： 【基础通关】 1．（25-26六年级下·江西上饶·期末）把一个长方形按放大后，下列说法正确的是（    ）。 A．周长扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。 B．周长扩大到原来的9倍，面积扩大到原来的3倍。 C．周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。 D．周长和面积都不变。 【答案】C 【思路引导】长方形按3∶1放大，即长和宽都扩大到原来的3倍，周长和边长变化倍数相同，面积变化倍数是边长变化倍数的平方。 【规范解答】设原长方形长为a，宽为b。 原周长：（a＋b）×2＝2（a＋b） 原面积：a×b＝ab 放大后长为3a，宽为3b。 新周长：（3a＋3b）×2＝2（a＋b）×3 即周长扩大到原来的3倍。 新面积：3a×3b＝9ab 即面积扩大到原来的9倍。 2．（25-26六年级下·江苏宿迁·期末）在比例尺是（    ）的平面图上，图上4厘米长的线段表示实际距离0.5毫米。 A．8∶1 B．1∶8 C．80∶1 D．1∶80 【答案】C 【思路引导】根据比例尺的定义：比例尺 = 图上距离∶实际距离，先将单位换算一致，再写出比并化简为最简整数比。 【规范解答】厘米＝毫米 在比例尺是80∶1的平面图上，图上4厘米长的线段表示实际距离0.5毫米。 3．（25-26六年级下·广东珠海·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，在一幅地图上量得其长度为11厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶5 B．1∶5000 C．1∶500000 D．1∶5000000 【答案】C 【思路引导】根据1千米＝100000厘米，将实际距离的单位换算为厘米，再根据比例尺的意义，写出图上距离与实际距离的比，再化简即可。 【规范解答】千米＝5500000厘米 11∶5500000 ＝（11÷11）∶（5500000÷11） ＝1∶500000 这幅地图的比例尺是1∶500000。 4．（25-26六年级下·湖南邵阳·期末）一幅地图的比例尺是1∶6000000，在图上量得甲乙两地的距离4.5厘米，实际两地相距( )千米。轩轩的爸爸开车从甲地去乙地，汽车每小时行驶120千米，全程需要( )小时。 【答案】 270 2.25// 【思路引导】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出实际距离，根据1千米＝100000厘米，把实际距离转化为千米。根据路程＝速度×时间，可以求出全程需要的时间。 【规范解答】6000000×4.5＝27000000（厘米） 27000000厘米＝27000000÷100000＝270（千米） 270÷120＝2.25（小时） 5．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）比例尺1∶3000000，图上5厘米代表实际距离( )千米；实际距离240千米，图上距离是( )厘米。 【答案】 150 8 【思路引导】比例尺1∶3000000的意思是：图上1厘米对应实际3000000厘米，厘米数除以进率100000换算为千米，1厘米表示的实际距离×5＝5厘米表示的实际距离；240千米÷1厘米代表的实际距离＝240千米的图上距离。 【规范解答】3000000厘米＝30千米，图上1厘米代表实际距离30千米，则： 5厘米表示：30×5＝150（千米） 240千米的图上距离是：240÷30＝8（厘米） 6．（2026·宁夏固原·小升初真题）把一个底9cm，高6cm的三角形按的比缩小，缩小后的三角形面积与原来三角形面积的比是。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据缩小的意义，把三角形的底和高分别缩小到原来的，求出缩小后三角形的底和高；根据三角形面积＝底×高÷2，求出缩小后的三角形面积和原来的三角形面积，再根据比的意义，用缩小后三角形面积∶原来三角形面积，求出它们的面积比，再进行比较。 【规范解答】缩小后三角形的底：9×＝3（cm）；高：6×＝2（cm） （3×2÷2）∶（9×6÷2） ＝（6÷2）∶（54÷2） ＝3∶27 ＝（3÷3）∶（27÷3） ＝1∶9 把一个底9cm，高6cm的三角形按的比缩小，缩小后的三角形面积与原来三角形面积的比是1∶9。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·安徽合肥·期中）把下图中左边的图形按比例缩小后得到右边的图形，求未知数。 【答案】 【思路引导】根据“图形按比例缩小，对应边的比相等”可知原三角形的底和高，与缩小后三角形的底和高的比值相等，据此列出比例式并求解。 【规范解答】解：设缩小后三角形的底是cm。 4.5∶1.5＝6∶ 4.5＝1.5×6 4.5＝9 ＝9÷4.5 ＝2 8．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，A城与B城的图上距离是24厘米。一辆汽车从A城开往B城，每小时行驶80千米，几小时可以到达？ 【答案】6小时 【思路引导】根据比例尺和图上距离求出A、B两城的实际距离，换算成千米单位后，用路程除以速度计算行驶时间。 【规范解答】（厘米） （千米） （小时） 答：6小时可以到达。 9．（25-26六年级下·河南驻马店·期末）阳阳一家准备假期自驾去北京游玩，在一幅比例尺为的地图上量得正阳到北京的直线距离约7厘米，如果自驾车以平均100千米/时的速度，10小时能到达北京吗？ 【答案】 不能 【思路引导】先通过已知的图上距离和比例尺，计算出正阳到北京的实际距离；再用距离除以速度，求出时间，再和计划时间相比较判断是否可以到达。 【规范解答】（千米） 1050÷100＝10.5（小时） 10.5＞10 答：10小时不能到达北京。 10．（24-25六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺为1∶30000000的地图上，量得上海浦东机场和乌鲁木齐地窝堡机场某航线的距离为12cm，一架飞机以900千米/时的速度从上海浦东机场飞往乌鲁木齐地窝堡机场，需要飞行多长时间？ 【答案】4小时 【思路引导】利用图上距离除以比例尺求出实际路程，再利用实际路程除以速度即可求出飞机飞行的时间（注意要将厘米换算成千米，1千米1000米100000厘米）。 【规范解答】解： （厘米） 厘米千米 （小时） 答：需要飞行4小时。 【能力提升】 1．两张中国地图。甲图的比例尺是，乙图的比例尺是，甲图上北京到上海的图距是乙图上这两地之间图距的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】图上距离∶实际距离＝比例尺，因为实际距离不变，所以图上距离与实际距离成正比，则甲图上北京到上海的图距是乙图上这两地之间图距的几分之几，用甲图的比例尺除以乙图的比例尺即可。 【规范解答】 故答案为：B 2．（25-26六年级下·山西大同·期末）北京与大同相距350千米，在一幅地图上量得北京到大同之间的距离是7厘米，这幅地图的比例尺是( )；同样在这幅地图上大同到包头的距离是9厘米，大同到包头的实际距离是( )千米。 【答案】 / 【思路引导】先统一单位，350千米＝35000000厘米；比例尺＝图上距离∶实际距离，写出对应的比，再根据比的基本性质将其化简为最简整数比就是比例尺。 实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，再把厘米换算成千米。 【规范解答】7厘米∶350千米 ＝7厘米∶35000000厘米 ＝（7÷7）∶（35000000÷7） ＝1∶5000000 9÷ ＝45000000（厘米） 45000000厘米＝450千米 所以这幅地图的比例尺是；同样在这幅地图上大同到包头的距离是9厘米，大同到包头的实际距离是450千米。 3．（25-26六年级下·贵州黔西南·期末）按2∶1将一个长方形放大后，放大后的长方形面积是原长方形面积的2倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据图形放大与缩小的特征，按放大是指对应边长扩大到原来的2倍。长方形的面积由长和宽决定，长和宽都扩大到原来的2倍，面积应扩大到原来的倍，据此判断原题说法是否正确。 【规范解答】按将一个长方形放大，表示放大后的长方形的长和宽分别扩大到原来的2倍。根据长方形的面积公式：面积长宽。因为长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，所以面积扩大到原来的倍。，原题说法错误。 故答案为：× 4．（25-26六年级下·江西上饶·期末）在比例尺是的地图上，量得重庆到成都的高速公路图上距离是17厘米。小明爸爸以85千米/时的速度于上午8时整从重庆出发，到达成都的时间是几时？ 【答案】 12时 【思路引导】先根据比例尺的意义，用图上距离乘比例尺的后项得到实际距离的厘米数，再换算成千米作单位；接着根据“路程÷速度＝时间”求出行驶时间，最后用出发时间加上行驶时间得到到达时间。 【规范解答】（厘米） （千米） （时） （时） 答：到达成都的时间是12时。 5．（25-26六年级下·山东菏泽·期末）在一幅比例尺是的地图上，一条路的长度约是5厘米。甲、乙两个修路队同时从这条路的两端开始施工，若干天后修完，已知甲、乙两个修路队的修路长度的比是，甲修路队比乙修路队多修了多少千米？ 【答案】5千米 【思路引导】先利用公式实际距离＝图上距离÷比例尺，求出这条路的实际长度；因为甲、乙两个修路队的修路长度的比是，则甲修路队完成了全部工作的，乙修路队完成了全部工作的，分别求出甲、乙两队具体的工作总量，相减即可。 【规范解答】（厘米） 厘米千米 （千米） （千米） 15－10＝5（千米） 答：甲修路队比乙修路队多修了5千米。 6．（25-26六年级下·江苏苏州·期末）画一画，填一填。 (1)把图形①绕M点逆时针旋转90°，在图中画出旋转后的图形；P点旋转后的对应点用数对表示是（    ）。 (2)在图中画一个等腰梯形，使它的面积是图形①的2倍，并画出等腰梯形的对称轴。 (3)把图形②按2∶1放大，画出放大后的图形；放大后图形的面积与原图形面积的比是（    ）。 (4)图形③中O点是圆心，BC是圆的直径，AO＝AC。如果每个小方格的边长为2厘米，那么A点在O点( )偏( )( )°方向( )厘米处。 【答案】(1)；（4，4） (2)（答案不唯一） (3)；4：1 (4) 北 东 30 6 【思路引导】（1）把图形①绕M点逆时针旋转90°后的图形作法：明确旋转中心M点的数对（4，7），旋转时位置固定不动，图形①的三个顶点的数对分别是：（1，7）、（4，7）、（4，9），每个顶点到旋转中心的方格数不变，只改变方向。 P点在M点的正左方3格，逆时针90°后，方向从左变成下，距离不变，所以可以得出P点的数对。 （2）三角形的面积S＝×底×高，作一个等腰梯形，使它的面积是图形①的2倍，所以先数出图形①底几格、高几格，求出图形①的面积，再根据已知条件求出梯形的面积，这样就可以画出满足要求的等腰梯形，再画出上下底中点连线作为对称轴即可。 （3）图②是边长为2格的正方形，图形②按2∶1放大后，对应的边长扩大到原来的2倍，即边长为2×2＝4格的正方形，画图即可。 根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求解出原图形的面积和放大后的图形的面积，进而求出放大后图形的面积与原图形面积的比。 （4）先计算线段长度：AO、OC、AC，比较大小，判断三角形AOC的类型，由此可以判断出以O为观测点，A在O点的什么方向，再算出距离。 【规范解答】（1）旋转中心M（4，7），旋转时位置固定不动。 旋转P点（1，7）：先看P点在M点的正左方3格，逆时针90°后，方向从左变成下，距离不变，所以P点旋转后在M点正下方3格，数对为（4，4）。 旋转（4，9）：先看该点在M点的正上方2格，逆时针转90°后，方向从上变成左，距离不变，所以（4，9）旋转后在M点正左方2格，数对为（2，7）。 M点（4，7）：旋转中心，位置不变，仍为（4，7）。 把旋转后的三个点按原来的顺序依次连接，就得到了图形①绕M点逆时针旋转90°后的图形。 图略 由上述作图步骤可知，P点旋转后的对应点用数对表示是（4，4） （2）图形①是直角三角形，底3格、高2格，面积： ×3×2 ＝×2×3 ＝1×3 ＝3 因为等腰梯形的面积是图形①的2倍，所以等腰梯形的面积：3×2＝6 可以画：上底2格、下底4格、高2格的等腰梯形。图略 面积： ×（2＋4）×2 ＝×6×2 ＝×2×6 ＝1×6 ＝6 对称轴：画出上下底中点连线。图略 （3）图②的边长为2格，面积：2×2＝4 图形②按2∶1放大后，边长为4格，面积：4×4＝16 图略 放大后图形的面积与原图形面积的比是16∶4＝4∶1 （4）每个小方格边长为2厘米，先算线段长度： 因为BC是圆的直径，BC间有6个小方格，即BC＝6×2＝12（厘米）， 所以半径AO＝×12＝6（厘米） 因为AO＝AC，所以AC＝6厘米 又OC间有3个小方格，所以OC＝3×2＝6（厘米） 因此，AC＝AO＝OC，所以三角形AOC是等边三角形，即∠AOC＝60° 以观测点O为中心，向上为北、向右为东：OC是水平向右（正东方向），OA与OC夹角60°，则OA和正北方向夹角为90°－60°＝30°， 距离计算：AO＝6厘米， 所以A点在O点北偏东30°方向6厘米处，也可以是东偏北60°方向6厘米处。 7．按要求画图并回答问题。 （1）把图①移动到圆心是（2，9）的位置。 （2）以虚线为对称轴，画出图②的另一半。 （3）先画出图③绕点A顺时针旋转90°后的图形，再画出图③按1∶2缩小后的图形。缩小后图形的面积是原来图形面积的（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解； 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，找到圆心的位置，半径不变，画出这个圆。 （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图②的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点即可。 （3）根据旋转的特征，将图③绕点A顺时针旋转90°，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； 图③按1∶2缩小，即图③的各边都缩小到原来的，得出缩小后长方形的长和宽，据此画出缩小后的图形；然后根据长方形的面积＝长×宽，计算出缩小后长方形的面积和原来长方形的面积，再用除法，求出缩小后长方形的面积是原来长方形面积的几分之几。 【规范解答】（1）把图①移动到圆心是（2，9）的位置，即画一个圆心在第2列第9行处，半径是2的圆，如图； （2）以虚线为对称轴，画出图②的另一半，如图； （3）画图③绕点A顺时针旋转90°后的图形，如图； 缩小后长方形的长：6÷2＝3 缩小后长方形的宽：4÷2＝2 画一个长为3、宽为2的长方形，如图； 原来长方形的面积：6×4＝24 缩小后长方形的面积：3×2＝6 缩小后长方形的面积是原来长方形面积的：6÷24＝ 如图： 【考点剖析】本题考查数对与位置、画圆、补全轴对称图形、作旋转后的图形、作缩小后的图形的作图方法，以及长方形的面积公式、分数与除法的关系；明确求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 8．（1）下图中B点的位置是 。 （2）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形，并画出旋转后图形的一条对称轴、一条高。 （3）画出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的图形。 （4）在方格纸上按1∶2画出梯形ABCD缩小后的图形，原梯形与缩小后梯形的面积的最简比是（    ）。 【答案】（1）（8，8） （2）见详解 （3）见详解 （4）4∶1 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）根据旋转的特征，将梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； 轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴；据此画出旋转后的梯形的对称轴； 梯形的高是上底与下底之间的距离，即上底所在直线上的任意一点到下底所在直线的距离，所以梯形的高有无数条，任意画一条即可。 （3）根据平移的特征，将梯形ABCD的各顶点分别向下平移7格，再向右平移2格，依次连结即可得到平移后的图形。 （4）把梯形ABCD按1∶2缩小，即梯形的每一条边缩小到原来的，原梯形的上底、下底和高分别除以2，得出缩小后梯形的上底、下底和高，据此画出缩小后的图形。 根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出原梯形和缩小后梯形的面积，再求两者的面积比，并化简比。 【规范解答】（1）B点在第8列第8行，用数对表示为（8，8）； （2）梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形如下图，并画出旋转后图形的一条对称轴（图中的虚线），以及一条高h。（高的画法不唯一） （3）平移后的梯形如图所示。 （4）原梯形的上底是4格，缩小后梯形的上底是4÷2＝2（格）； 原梯形的下底是6格，缩小后梯形的下底是6÷2＝3（格）； 原梯形的高是4格，缩小后梯形的高是4÷2＝2（格）； 据此画出缩小后的梯形如下图。 原梯形的面积： （4＋6）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20 缩小后梯形的面积： （2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝10÷2 ＝5 原梯形与缩小后梯形的面积的比是： 20∶5 ＝（20÷5）∶（5÷5） ＝4∶1 【考点剖析】掌握作旋转后的图形、作平移后的图形、作缩小后的图形、对称轴、梯形的高的作图方法是解题的关键；明确图形的缩小是指图形各边按比例缩小，但形状不变；掌握用数对表示位置，运用梯形的面积公式以及化简比求出缩小前后梯形的面积比。 9．（24-25六年级下·江苏常州·期末） (1)图形①的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向( )平移( )格就转化成了长方形。 (2)画出将图形②的长方形绕点B逆时针旋转90°后的图形。 (3)画出图形③的另一半，使它成为轴对称图形。 (4)以图形④的点O为圆心，画出这个圆按2∶1放大后的图形，放大后与放大前两个圆的面积比是（     ）。 【答案】(1) 右 5 (2) (3) (4)；4∶1 【思路引导】（1）平行四边形沿高分成两部分，一部分是梯形，一部分是三角形。将三角形向右平移，平移的格数也就是长方形的长的格数。 （2）绕点B逆时针旋转90度，点B不动，长方形其他各点绕B逆时针转90度，找到新位置后连线。 （3）画轴对称图形的另一半，先找对称轴，再找已知图形各顶点的对称点，对称点到对称轴的距离相等，连线即可。 （4）按2∶1放大，放大后圆的半径是原来的2倍。圆的面积＝π×半径×半径，因此，面积比等于半径比的平方。半径比是2∶1，面积比是4∶1。 【规范解答】（1）平移5格，就能形成长为5厘米的长方形。 （2）略 （3）略 （4）放大后的半径：1×2＝2（厘米） 原来的半径：1厘米 根据分析，面积比＝22∶12＝4∶1；图略 10．（25-26六年级下·辽宁营口·期末）按要求画一画，填一填。 (1)画出图形A向右平移5格后的图形。 (2)以虚线l为对称轴，画出图形B的另一半。 (3)三角形的顶点M的位置是，顶点O的位置是( )。 (4)画出图形C绕点O沿顺时针方向旋转90°后的图形。 (5)画出图形D按放大后的图形。 (6)放大后的图形与原来图形的面积之比是______。 【答案】(1) (2) (3)（4，2） (4) (5) (6) 【思路引导】图形A向右平移时，图形A的各部分都要同时向右平移相同的距离；在虚线l的右侧找到左面图形的对应点，再依次连接；用数对表示位置时，第一个数表示在第几列，第二个数表示在第几行；图形C绕点O旋转时，点O固定不动，图形C其余部分围绕点O顺时针方向旋转90°；图形D按放大，图形D的每条边长都扩大到原来的2倍，放大后图形与原来图形的面积比是边长平方比。 【规范解答】（1）图略。 （2）图略。 （3）点O在第4列，第2行，用数对表示位置是（4，2） （4）图略。 （5）图略， （6）放大后的图形与原来图形的面积之比： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $