第六单元 放大与缩小 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

本讲义聚焦“图形的放大与缩小”和“比例尺”核心知识点，前者梳理意义、特征、画法及边长周长面积变化规律，后者涵盖定义、分类、计算与应用，通过相似变换构建知识关联，形成从实例引入到原理探究再到应用拓展的完整学习支架。 资料以生活实例（放大镜、地图等）培养数学眼光，通过规律推导（如面积比为相似比平方）发展推理意识，结合画图、距离计算等实际应用强化模型意识。课中助力分层教学，课后综合训练覆盖易错点，有效辅助学生查漏补缺。

第六单元 放大与缩小 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、图形的放大与缩小 2 （一）图形放大与缩小的意义 2 （二）图形放大与缩小的核心特征 2 （三）方格纸上画放大 / 缩小图形的方法 2 （四）图形放大与缩小的变化规律 3 （五）常见易错点辨析 3 二、比例尺 3 （一）比例尺的定义与本质 3 （二）比例尺的分类 4 （三）比例尺的相关计算 5 （四）比例尺的实际应用 5 （五）常见易错点辨析 5 考点讲练 5 考点一：比例尺的意义 6 考点二：图上距离与实际距离的换算 7 考点三：比例尺应用 10 考点四：应用比例尺画图 13 考点五：图形的放大与缩小 18 考点六：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 22 综合训练 24 知识梳理 一、图形的放大与缩小 （一）图形放大与缩小的意义 生活实例 放大镜看文字、投影仪投放画面、相机拍摄景物、绘制地图、制作建筑模型、零件图纸等，都是图形放大或缩小的实际场景。 数学定义 把一个图形的所有对应边按一定的比同步扩大或缩小，得到的新图形就是原图形放大或缩小后的图形，这种变换属于相似变换。 按（）的比放大：新图形各边长度是原图形的倍，图形整体变大； 按（）的比缩小：新图形各边长度是原图形的，图形整体变小。 比的对应规则 放大 / 缩小的比中，前项对应变化后图形的边长，后项对应原图形的边长。 例：放大 = 新边长原边长；缩小 = 新边长原边长。 （二）图形放大与缩小的核心特征 形状不变，大小改变 放大、缩小后的图形与原图形形状完全一致，只是大小发生变化，二者是相似图形。 对应边成比例 新图形与原图形所有对应边的长度比都相等，等于指定的放大 / 缩小比，不会出现单条边单独变化的情况。 对应角大小相等 图形放大或缩小时，每个内角的度数保持不变，这是图形形状不变的根本原因。 注意：只拉伸或压缩图形的某一条边，不属于数学意义上的放大与缩小，会改变图形形状。 （三）方格纸上画放大 / 缩小图形的方法 1. 通用三步法 看：观察原图形，数出关键边（长、宽、底、高等）所占的方格数，标记所有顶点的位置； 算：根据指定的比，计算出放大 / 缩小后对应边的长度； 画：按计算出的边长定位新图形的顶点，顺次连接各点，得到完整图形。 2. 常见图形画图技巧 长方形 / 正方形：确定长和宽的格数，画出四个顶点再连线； 三角形：先确定底和高的长度，定位三个顶点； 梯形：先确定上底、下底和高的长度，再定位四个顶点； 圆：先按比确定新的半径 / 直径长度，再以对应圆心画圆。 （四）图形放大与缩小的变化规律 设图形的相似比（边长变化倍数）为： 边长变化：新图形所有对应边的长度是原图形的倍； 周长变化：新图形的周长是原图形的倍，即周长比 = 相似比； 面积变化：新图形的面积是原图形的倍，即面积比 = 相似比的平方。 若为缩小，相似比为，则边长、周长缩小为原来的，面积缩小为原来的。 （五）常见易错点辨析 混淆比的前后项：放大比前项大、后项小，缩小比前项小、后项大，不可颠倒 “新图形” 与 “原图形” 的对应关系； 误将面积比等同于边长比：面积变化倍数是边长变化倍数的平方，是高频易错点； 忽略 “所有边同步变化”：仅改变单条边长度，不属于规范的图形放大 / 缩小； 画图时角度偏移：只改变边长、不保证角度相等，会导致图形形状变形。 二、比例尺 （一）比例尺的定义与本质 定义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 核心公式： 本质 比例尺是一个比，不是尺子，不带单位名称；它本质是图形放大或缩小的数量化表示，缩小比例尺对应图形缩小，放大比例尺对应图形放大。 书写规则 为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项为 1 的最简整数比： 缩小比例尺：前项为 1，如； 放大比例尺：后项为 1，如。 （二）比例尺的分类 1. 按表现形式分类 （1）数值比例尺 用数字形式表示的比例尺，如、。 含义示例：表示图上 1 厘米的距离对应实际距离 5000 厘米（即 50 米）。 （2）线段比例尺 在图上附有一条标注数量的线段，用来表示和实际距离的对应关系。 示例： 含义：图上 1 厘米的距离对应实际距离 20 千米。 （3）数值比例尺与线段比例尺的互化 数值转线段：先算出图上 1 厘米对应实际多少长度，再画出标注线段； 线段转数值：统一单位后，写出图上距离与实际距离的比并化简。 例：线段比例尺 “0 50 千米”，图上 1cm 对应实际 50km，50km=5000000cm，转化为数值比例尺是。 2. 按用途分类 （1）缩小比例尺 图上距离小于实际距离，前项为 1，多用于地图、建筑图纸、规划图等。 例：地图比例尺，表示实际距离被缩小到原来的百万分之一画在图上。 （2）放大比例尺 图上距离大于实际距离，后项为 1，多用于精密零件、微小器件的设计图纸。 例：零件图纸比例尺，表示零件实际尺寸被放大 10 倍画在图纸上。 （三）比例尺的相关计算 1. 已知实际距离和比例尺，求图上距离 公式： 步骤：先统一单位，再用实际距离乘比例尺的比值，得到图上距离。 2. 已知图上距离和比例尺，求实际距离 公式： 步骤：用图上距离除以比例尺的比值，再换算成合适的单位（米、千米等）。 3. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 步骤： 统一图上距离和实际距离的单位（通常统一为厘米）； 写出图上距离实际距离的比； 化简为前项（或后项）是 1 的最简整数比。 常用单位换算： （四）比例尺的实际应用 地图应用：根据地图比例尺，计算两地的实际距离、估算出行时间； 图纸应用：根据建筑 / 零件图纸的比例尺，计算实物的实际尺寸； 绘图应用：绘制教室、校园、房间平面图时，选择合适的比例尺，计算图上尺寸后画图； 面积估算：先根据比例尺算出实际边长，再计算实际面积（注意面积比是比例尺的平方）。 （五）常见易错点辨析 单位不统一：计算时图上距离（厘米）和实际距离（千米 / 米）单位不同，必须先统一单位再计算； 混淆放大与缩小比例尺：后项为 1 是放大比例尺，前项为 1 是缩小比例尺，不可搞反； 面积直接乘比例尺：求实际面积不能直接用图上面积乘比例尺，必须先算实际边长再算面积，实际面积 = 图上面积 ÷ 比例尺 ²； 线段比例尺解读错误：误将线段上的总长度当作 1 厘米对应的实际距离，需明确每一段 1 厘米对应多少实际距离。 考点讲练 考点一：比例尺的意义 【典例精讲】快乐的小学生活就要结束了，我们用毕业照记录下这美好的时光。小刚身高1.64米，在毕业照上他的身高是8.2厘米，这张毕业照片的比例尺是( )。 【答案】1∶20 【分析】先统一单位，1米＝100厘米；比例尺＝图上距离:实际距离，代入数据计算即可。 【详解】1.64米＝164厘米 比例尺＝8.2:164＝（8.2÷8.2）:（164÷8.2）＝1:20 【变式训练】将线段比例尺改写成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得郑州到北京的距离约是17.5厘米，郑州到北京的实际距离约是( )千米。 【答案】 1∶4000000 700 【分析】线段比例尺1厘米代表实际40千米，先把千米换算成厘米写出数值比例尺，再用图上距离乘每厘米对应的实际距离算出总路程。 【详解】1千米＝100000厘米 40千米＝4000000厘米 比例尺是1∶4000000 17.5×40＝700（千米） 【变式训练】在比例尺是1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是9厘米，如果画在比例尺是1∶6000000的地图上，甲、乙两地间的距离是( )厘米。 【答案】15 【分析】因为甲乙两地的实际距离是固定的，首先根据第一幅地图的比例尺和图上距离，计算两地的实际距离，因为比例尺＝图上距离∶实际距离，所以可以通过公式变形：实际距离＝图上距离比例尺，得到实际距离。再根据第二幅地图的比例尺，计算对应的图上距离。因为图上距离＝实际距离比例尺，代入对应数值即可得到结果。 【详解】第一幅图比例尺：，图上距离： 实际距离：（厘米） 第二幅图比例尺： 图上距离：（厘米） 【变式训练】六年级学生为母校绘制校园平面图。升旗台的底面是一个边长5米的正方形，画在平面图上边长是1厘米。这张校园平面图的比例尺是( )。升旗台在体育馆的南偏东30°方向，那么体育馆在升旗台的( )方向。 【答案】 1∶500 北偏西30° 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离； 根据方向的相对性，两个地点的相对位置方向相反、角度相等。 【详解】 升旗台在体育馆的南偏东30°方向，那么体育馆在升旗台的北偏西30°方向。 考点二：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，A城与B城的图上距离是25.5厘米，一辆汽车从A城开往B城，每小时行驶75千米，几小时可以到达？ 【答案】 6.8小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出A城与B城之间的实际距离，再进行单位换算；然后根据时间＝路程÷速度代入数据解答即可。 【详解】实际距离：（厘米） 51000000厘米＝510千米 510÷75＝6.8（小时） 答：6.8小时可以到达。 【变式训练】在比例尺是1∶6000000的地图上量得A、B两地之间的距离是4.5厘米，一辆客车和一辆货车分别从A、B两地同时出发，1.8时后相遇，已知客车和货车的速度比是8∶7，客车和货车的速度分别是多少？ 【答案】客车速度是80千米/时；货车速度是70千米/时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离；根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出客车和货车的速度和；已知客车和货车的速度比是8∶7，即客车的速度占两车速度和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用速度和乘，求出客车的速度；用同样的方法求出货车的速度。 【详解】（厘米）＝270（千米） 270÷1.8＝150（千米/时） （千米/时） （千米/时） 答：客车速度是80千米/时，货车速度是70千米/时。 【变式训练】在一张比例尺为1∶20000000的地图上，量得甲乙两地间的距离为6厘米，A、B两车同时从甲乙两地相向而行，经过8时两车相遇。已知A车与B车的速度比是8∶7。A、B两车的速度各是多少？ 【答案】80千米/时；70千米/时 【分析】先利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲乙两地之间的实际距离，再除以相遇时间，就等于A、B两车的速度之和。 把两车的速度之和看作单位“1”，A车与B车的速度比是，则A车的速度是速度之和的，B车的速度是速度之和的。 求一个数的几分之几是多少用乘法计算，分别求出两车各自的速度。 【详解】6÷＝6×20000000＝120000000（厘米） 120000000厘米＝1200千米 1200÷8＝150（千米）   150×＝150×＝80（千米/时） 150×＝150×＝70（千米/时） 答：A车的速度是80千米/时，B车的速度是70千米/时。 【变式训练】余杭区从杭州西站到青山湖科技城有一条规划道路。在一幅比例尺为1∶400000的地图上，量得这条道路的图上长度是5厘米。苕溪队和径山队分别从这条路的两端同时开始施工，若干天后修完。已知两队的工作效率比是5∶3。苕溪队比径山队多修了多少千米？ 【答案】5千米 【分析】先利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出这条道路的实际长度，将单位换算成千米。两队的工作效率比是5∶3，则苕溪队修了这条路的，径山队修了这条路的。把这条路的实际长度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法计算。先分别求出这两个队各修了多少千米，再相减。 【详解】5÷＝5×400000＝2000000（厘米） 2000000厘米＝20千米 20×－20× ＝20×－20× ＝12.5－7.5 ＝5（千米） 答：苕溪队比径山队多修了5千米。 考点三：比例尺应用 【典例精讲】淘气在比例尺是1∶12500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8厘米。笑笑在比例尺是1∶8000000的地图上也找到了甲、乙两地，请求出笑笑看到比例尺是1∶8000000的地图上的甲、乙两地的图上距离。 【答案】12.5厘米 【分析】甲、乙两地的实际距离是不变的，根据第一幅地图的图上距离和比例尺，利用公式“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的实际距离；再根据求出的实际距离和第二幅地图的比例尺，利用公式“图上距离＝实际距离×比例尺”求出笑笑地图上的图上距离。 【详解】甲乙两地间的实际距离： ＝8×12500000 ＝100000000（厘米） 笑笑地图上的图上距离为： 100000000×＝12.5（厘米） 答：笑笑看到比例尺是1∶8000000的地图上的甲、乙两地的图上距离是12.5厘米。 【变式训练】刺绣是我国优秀的传统手工艺术，通过一针一线，在布料上绣出美丽的图案和花纹。一幅长方形绣品的样子画在比例尺是的图纸上，长是12厘米，宽是5厘米，这幅绣品的实际面积是多少平方米？ 【答案】5.4平方米 【分析】长方形的面积＝长×宽。先利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际的长和实际的宽，计算时比例尺要写成分数形式，要把计算结果的单位“厘米”换算为“米”。最后利用长方形的面积公式求出这幅绣品的实际面积。 【详解】实际的长： （厘米） 实际的宽： （厘米） 360厘米＝3.6米 150厘米＝1.5米 实际面积：（平方米） 答：这幅绣品的实际面积是5.4平方米。 【变式训练】在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两地的距离是12厘米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，经过几小时到达B地？ 【答案】8小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B两地的实际距离，将单位厘米换算成千米。再根据时间＝路程÷速度，即可求出经过几小时到达B地。 【详解】（厘米） 厘米千米 （小时） 答：经过8小时到达B地。 【变式训练】把一块三角形菜地按1∶500的比例尺画在图纸上，在图纸上量得菜地的一条底边的长是12厘米，对应的高是8厘米。这块菜地的实际面积是多少平方米？ 【答案】1200平方米 【分析】根据比例尺的意义，实际距离＝图上距离÷比例尺，分别求出三角形菜地实际的底和高，并将单位换算成米，再根据三角形面积＝底×高÷2进行计算。 【详解】12÷ ＝12×500 ＝6000（厘米） 6000厘米＝60米 8÷ ＝8×500 ＝4000（厘米） 4000厘米＝40米 60×40÷2 ＝2400÷2 ＝1200（平方米） 答：这块菜地的实际面积是1200平方米。 考点四：应用比例尺画图 【典例精讲】豆豆从家出发，先往正东方向走600米到达市民中心，再往东偏北30°方向走500米到达体育中心，最后往西北方向走400米到达学校。 请在如图的方框中画出豆豆行走的路线示意图，并标注线段比例尺。 【答案】 【分析】先确定比例尺并计算各段路线的图上距离。 设定比例尺为：图上1厘米代表实际距离100米。分别求出图上距离。 再利用平面图上方向规定：上北下南左西右东的方向，和各路段距离画出路线示意图。 【详解】豆豆家到市民中心：实际距离600米，图上距离为600÷100＝6（厘米）。 市民中心到体育中心：实际距离500 米，图上距离为500÷100＝5（厘米）。 体育中心到学校：实际距离400 米，图上距离为400÷100＝4（厘米）。 起点：从“豆豆家”出发，向正东方向（水平向右）画一条6厘米长的线段，终点标为“市民中心”。接着以市民中心为观测点，向东偏北30°方向（即正东方向逆时针旋转30°）画一条5 厘米长的线段，终点标为“体育中心”。然后以体育中心为观测点，向西北方向（即北偏西45°）画一条4厘米长的线段，终点标为“学校”。（答案不唯一） 作图略。 【变式训练】在下面的平面图中量一量，画一画，算一算。 (1)超市在希望小学的( )偏( )( )°方向( )千米处。 (2)小芳家在希望小学的南偏西方向5千米处，在图中表示出小芳家的位置。 【答案】(1) 北 西 60 4 (2) 【分析】确定方位要先锁定观测点希望小学，结合图中标注角度判断偏转方向；依托线段比例尺完成实际距离计算；第二小问逆用比例尺求出图上距离后规范完成方位作图。 【详解】（1）以希望小学为观测点，超市和正北方向线向西形成60°夹角，因此超市在希望小学北偏西60°方向（或西偏北30°）；该线段比例尺代表图上1厘米对应实际2千米，量得超市到希望小学的图上距离为2个线段，实际距离计算为2×2＝4（千米）。 （2）已知小芳家实际距离为5千米，图上距离等于实际距离÷比例尺单段对应实际长度，5÷2＝2.5（厘米）；作图时先画出正南方向基准线，向西偏转30°画直线，在直线上截取2.5长的线段，在线段端点标注小芳家即可。 如图： 【变式训练】如图，花店在小玉家正西方向，实际距离是120米，图上距离是2cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，实际距离是( )米。 (2)博物馆在超市南偏东方向180米，在图中标出博物馆的位置。 【答案】(1) 1∶6000 150 (2) 【分析】（1）根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离 实际距离。已知花店到小玉家的图上距离是2厘米，实际距离是120米，先统一单位，再化简比即可求出比例尺。已知超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出实际距离； （2）确定博物馆的位置，需要知道方向和距离。以超市为观测点，博物馆在南偏东45°方向。根据求出的比例尺，计算出博物馆到超市的图上距离，然后在图上标出即可。 【详解】（1）120米＝12000厘米，2厘米÷12000厘米＝1∶6000；2.5÷＝2.5×6000＝15000（厘米），15000厘米＝150米； （2）180米＝18000厘米，18000×＝3（厘米）；以超市为观测点，画出正南方向。以正南方向为起始边，向东量出45°角，画出射线；在射线上量出3厘米的长度，标出点，并写上博物馆。 【变式训练】A城市在B城市的南偏西方向900千米处。 (1)请根据以上描述，在下面的平面图上标出A城市的位置。 (2)B城市在A城市的( )偏( )方向。 【答案】(1) (2) 北 东 【分析】（1）已知比例尺为1∶30000000，A、B两城相距900千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两城的图上距离。以B城市为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度和距离确定图中A城市的位置。 （2）A城市在B城市的南偏西40°方向上，是以B城市为观测点；B城市在A城市的方向是以A城市为观测点；根据位置的相对性可知，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同，据此解答。 【详解】（1）900千米＝90000000厘米 90000000×＝3（厘米） 作图略。 （2）B城市在A城市的北偏东40°方向。 考点五：图形的放大与缩小 【典例精讲】如图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求做一做。 (1)三角形ABC的三个顶点对应的数对分别是：A（3，5），B（6，5），C（6，9），请在方格中画出这个三角形； (2)以AB所在直线为对称轴，画出与三角形ABC对称的图形； (3)画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后得到的图形； (4)将（3）得到的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【分析】画三角形ABC：根据数对“先列后行”的规则，确定A、B、C三点的方格位置，依次连接三点即可； 画轴对称图形：先找C点关于AB直线的对称点，A、B在对称轴上位置不变，连接三个对应点得到对称图形； 画旋转后的图形：以B为旋转中心，将BA、BC边按顺时针旋转90°确定A、C旋转后的对应点，连接三点得到旋转后图形； 画放大后的图形：将旋转后图形的各边长度扩大为原来的2倍，保持角度不变，确定各顶点位置后连接得到放大图形。 【详解】（1）画三角形ABC根据数对找到三个点：A（第3列第5行）、B（第6列第5行）、C（第6列第9行），顺次连接三个点，就得到三角形ABC。图略 （2）画AB为对称轴的对称图形A、B都在对称轴AB上，位置不变： C点在AB上方，距离AB的长度是4厘米，因此在AB下方找它的对称点，列不变仍为6，行数为541，即，顺次连接A、B及C的对应点，即可得到对称图形。图略 （3）画绕B点顺时针旋转90°的图形B点位置固定不变：原AB是水平向左长3格，顺时针转90°后变为竖直向上长3格，得到A对应点原BC是竖直向上长4格，顺时针转90°后变为水平向右长4格，得到C对应点，再顺次连接三点，就得到旋转后的三角形。图略 （4）按放大图形放大指所有边长扩大为原来的2倍，直角三角形竖直方向的直角边长3格，放大2倍后长6格，水平方向的直角边长4格，放大2倍后长8格，画出直角三角形中的这两条直角边，连接两个顶点，就得到放大后的图形。图略 【变式训练】先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 【答案】见解析 【分析】梯形按1∶2缩小，则梯形各边都缩小到原来的，据此画出缩小后的梯形；按3∶1放大，则各边都放大到原来的3倍，据此画出放大后的图形。 【详解】根据分析，作图如下： 【变式训练】通过平移和旋转，可以设计美丽的图案。根据要求画一画。 ①把图“甲”绕点O顺时针旋转90°。 ②把图“乙”向右平移3格。 ③画出图“丙”按2∶1放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】①根据旋转的特征，将图甲绕O点顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； ②根据图形平移的方法，先把这个图形的各个关键顶点向右平移3格，再把它们依次连接起来，即可得出平移后的图形； ③把图丙按2∶1放大，即图形的每一条边都扩大到原来的2倍，据此画出扩大后的图形即可。 【详解】③2×2＝4（格） 1×2＝2（格） ①②③作图如下： 【变式训练】按要求在方格纸上作图。 ①以线段AB为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。 ②画出三角形ABC向右平移6格得到的图形。 ③画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【分析】（1）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出三角形ABC的关键对称点，依次连接即可。 （2）根据平移的特征，把三角形的三个顶点向右平移6格，依次连接，即可得到平移后的图形。 （3）根据放大的特征，把三角形ABC的各个边分别扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形（位置不唯一）。 【详解】（1）如下图： （2）如下图： （3）底：3×2＝6（格），高：2×2＝4（格） 如下图： 考点六：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】如下图，涂色的小平行四边形是按（____∶____）放大成大平行四边形的。如果小平行四边形的面积是，那么空白部分的面积是( )。 【答案】 2 1 15平方厘米/15cm2 【分析】放大比：按n∶1放大，表示把图形各边的长放大到原来的n倍；放大比的前项是放大后图形边长，后项是原来图形边长，比值大于1是放大。 面积变化规律：把一个平面图形按n∶1的比放大，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1，面积比是n2∶1，也就是放大后的面积是原来的n2倍。 大平行四边形面积－小平行四边形面积＝空白部分面积。 【详解】观察图形，大平行四边形的底、高都是小涂色平行四边形的2倍。根据放大比定义，放大后边长∶原边长＝2∶1，所以是按2∶1放大的； 放大后面积是22倍，也就是5×22＝5×4＝20cm2，20－5＝15cm2。 【变式训练】如图，有两个三角形，其中的小三角形面积是n平方厘米，把它按照( )∶( )的比放大后可以得到大三角形，大三角形面积与小三角形面积的比是( )∶( )。 【答案】 3 1 9 1 【分析】根据图形的放大与缩小知识，图形放大的比是指放大后图形的对应边长与原图形对应边长的比，而结合图示可知，大三角形的各条边的长是小三角形各条对应的边长的3倍，依此解答。再根据图形放大后面积的变化规律：面积比为对应边长比的平方进行解答。 【详解】从图中可以看出，大三角形的对应边长是小三角形对应边长的3倍，所以小三角形按照 3∶1的比放大后可以得到大三角形。面积比为对应边长比的平方，所以大三角形面积与小三角形面积的比是：32∶12＝9∶1。 【变式训练】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【答案】 16∶1 1∶6 【分析】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【详解】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 【变式训练】一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据图形放大与缩小的意义，按2∶1放大后的长是3×2＝6（厘米），宽是2×2＝4（厘米），由此可求出这个图形的面积。 【详解】3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是24平方厘米。 【点睛】此题主要是考查图形放大与缩小的意义，图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，面积是这个倍数的平方倍。 综合训练 1．一只蚂蚁身长2.5毫米，朵朵把它画在纸上，量得长3厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．5∶6 C．6∶5 D．12∶1 【答案】D 【分析】先根据1厘米＝10毫米，将单位统一成毫米，再根据图上距离∶实际距离＝比例尺进行比的化简即可。 【详解】3厘米＝30毫米 30∶2.5＝12∶1 因此，这幅图的比例尺是12∶1。 2．一个足球场长100米、宽68米。如果要在一张A4纸上画出该足球场的平面图，选用比例尺（    ）合适。 A．1∶10000 B．1∶1000 C．1∶100 D．1∶10 【答案】B 【分析】根据“图上距离实际距离比例尺”的公式，分别计算足球场长和宽在各选项比例尺下的图上距离。 将计算得到的长、宽图上距离与A4纸尺寸对比，如果图上距离小于A4纸对应边长且不会过小，那么该比例尺合适。 【详解】长：；宽：。 A.：图上长厘米，宽厘米，尺寸太小，无法清晰地画图，不合适。 B.：图上长厘米，宽厘米，大小适中，可以轻松地画在A4纸上，合适。 C.：图上长厘米，远大于A4纸长度，画不下，不合适。 D.：图上长厘米，远超出A4纸尺寸，不合适。 3．亚洲陆上最深油气井位于我国塔里木盆地。在一张比例尺为1∶80000的图纸上，这个水平井的深为8.5cm，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是（    ）cm。 A．6.8 B．0.85 C．8.5 D．10.625 【答案】A 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出水平井的实际深度；再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出再另一幅图纸上水平井的图上深度。据此解答。 【详解】8.5÷ ＝8.5×80000 ＝680000（cm） 680000×＝6.8（cm） 所以，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是6.8cm。 4．把如图左边的三角形按比例放大得到了如图右边的三角形，则x＝（    ）。 A．2.5 B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据图形放大知识，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，原图各边与扩大后或缩小后图的相应边的比率一定，据此即可列比例求解。 【详解】3∶4＝2∶x 解：3x＝4×2 x 把如图左边的三角形按比例放大得到了如图右边的三角形，则x。 5．把一个三角形按1∶3的比放大后，“面积”“边的长度”“角的度数”“对应边长的比值”保持不变的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】图形按一定比例放大时，边的长度会按照该比例变化，角的度数不变，面积会按照比例的平方变化，而对应边长的比值是固定的。分析题目里提到的四个量在三角形按1∶3的比放大后的变化情况，从而确定保持不变的量的个数，据此解答。 【详解】（3a×3h÷2）÷（ah÷2） ＝ah÷ah ＝9 把一个三角形按1∶3的比放大，所有边的长度都变为原来的3倍。三角形面积公式：S＝ah÷2，放大后底和高都变为原来的3倍，面积变为原来的9倍，所以面积发生变化。 把一个三角形按1∶3的比放大，意味着每条边的长度都变为原来的3倍。例如，原三角形的一条边长度为a，放大后这条边的长度就变为3a，所以边的长度发生了变化。 把一个三角形按1∶3的比放大，所有内角的度数都保持不变。 设原三角形中的某两条边的长度为a和b，这两条边的比值为a∶b。三角形按1∶3的比放大，放大后这两条边的长度为3a和3b，新的比值为3a∶3b＝a∶b，与原比值相等，所以对应边长的比值不变。 因此，保持不变的有2个。 6．将等腰梯形绕其对称轴旋转一周，形成的立体图形是( )；将等边三角形按2∶1放大后，内角和变为( )度。 【答案】 圆台 180 【分析】等腰梯形绕对称轴旋转，要想象平面图形旋转后的立体形态，等腰梯形上下底平行，绕对称轴旋转后上下底分别形成两个圆，侧面形成曲面。 图形放大只改变边长和周长，不改变形状，三角形内角和不会随放大倍数变化。 【详解】等腰梯形绕其对称轴旋转一周，形成的立体图形是圆台。 三角形的内角和是固定的180度，与图形的放大倍数无关，所以等边三角形按放大后，内角和仍为180度。 7．下图中( )号图形是①号三角形缩小后的图形，它是按( )∶( )的比缩小的；图中( )号图形是②号三角形放大后的图形，它是按( )∶( )的比放大的。 【答案】 ④ 1 2 ⑤ 2 1 【分析】图形放大/缩小后，三角形的形状不变，按比缩放的三角形，原三角形的底边长与高的倍比关系和缩放后三角形底边长和高的倍比关系相同，据此判断缩放前后的对应图形；求按几比几缩放，缩放后的底边长度∶原图对应底边长度再进行化简即可。 【详解】①号底边长是4格，对应高是4格，底和高相等，按比缩小后的图形底边长和高也应该相等，观察图形可知；④号底边长和高相等都是2格，所以④号图形是①号三角形缩小后的图形，缩小后的底边长是2格，原来的底边长是4格，比是2∶4＝（2÷2）∶（4÷2）＝1∶2，即按1∶2的比缩小的； ②号的底边长是4格，对应的高是2格，底边长是高的2倍，观察图形比②号三角形大，且底边长是高的2倍的三角形是⑤号三角形，所以⑤号图形是②号三角形放大后的图形，⑤号底边长是8格，②号的底边长是，8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1，即按2∶1的比放大的。 8．将一个正方形按1∶3缩小，若原来正方形的面积为72平方厘米，则缩小后正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】8 【分析】将一个正方形按1∶3缩小，则缩小后的正方形的边长是原来正方形边长的，缩小后的正方形的面积是原来正方形面积的，原来正方形的面积为72平方厘米，根据求一个数的几分之几用乘法得出面积是8平方厘米。 【详解】（平方厘米） 则缩小后正方形的面积是8平方厘米。 9．一个三角形的一个角是60°，把它按1∶3的比画在图纸上，这个角应画( )°。 【答案】60 【分析】图形按比例缩放时，只改变边的长度，不会改变角的大小。 【详解】角的大小只由两条边张开的程度决定，和边长无关，因此缩放后这个角的度数不变，还是60°。 10．“天和”核心舱是中国空间站发射入轨的首个舱段，它的实际长度为16.6米，工程师在设计图纸时将其长度绘制为8.3厘米，这张图纸的比例尺是( )。 【答案】1∶200/ 【分析】图上长度为8.3厘米，实际长度为16.6米，比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时要把单位统一后再进行计算。 【详解】8.3厘米∶16.6米 ＝8.3厘米∶1660厘米 ＝（8.3÷8.3）∶（1660÷8.3） ＝1∶200 11．在一幅北京市地铁规划图上，图上的线段比例尺为，把它改写成数值比例尺是( )；在这幅地图上量得地铁1号线的长度约为2.5厘米，它的实际长度约是( )千米。 【答案】 1∶2000000/ 50 【分析】题中线段比例尺表示图上1厘米的距离相当于实际距离20千米，用图上距离比实际距离可求出数值比例尺； 用图上距离除以比例尺可求出实际距离。 【详解】20千米＝2000000厘米 数值比例尺为：1∶2000000。 2.5÷ ＝2.5×2000000 ＝5000000（厘米） 5000000厘米＝50千米 地铁1号线的实际长度约是50千米。 12．在比例尺1∶6000000的地图上量得A市至B市的高速公路长15厘米，李叔叔开车从A市出发，走高速公路速度为100千米/时，( )小时可到达B市。 【答案】9 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺。所以用图上距离÷比例尺＝实际距离。再把它转换成千米作单位。根据路程÷速度＝时间，代入计算即可。 【详解】1515×6000000＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 900÷100＝9（小时） 所以，9小时可到达B市。 13．在比例尺是1︰3000000的地图上，量的甲、乙两地相距18厘米。客车、货车分别从甲、乙两地同时相向而行，5小时后相遇。已知客车、货车的速度比是5︰4，求客车的速度是( )千米。 【答案】60 【分析】根据“图上距离：实际距离＝比例尺”计算甲乙两地的实际距离，根据“路程÷时间＝速度”计算两车的速度和，最后根据份数关系计算客车的速度。 【详解】甲乙实际距离 18×3000000÷100000 ＝54000000÷100000 ＝540（千米） 速度和：540÷5＝108（千米/小时） 客车速度： 108÷（5＋4）×5 ＝108÷9×5 ＝12×5 ＝60（千米/小时） 14．在比例尺是1∶4000000的地图上量得甲、乙两地之间的公路长12厘米，一辆汽车上午8时以平均每小时80千米的速度从甲地出发，如果中途不休息，那么下午( )时可以到达乙地。 【答案】2 【分析】先根据公式“实际距离＝图上距离÷比例尺”算出甲乙两地之间的距离，再用“时间＝路程÷速度”计算要几个小时能到达乙地，最后根据“结束时刻＝起始时刻＋经过的时间”计算即可。 【详解】12÷＝12×4000000＝48000000（厘米）＝480（千米） 480÷80＝6（小时） 上午8时＋6小时＝下午2时 15．成都到重庆的距离大约是300千米，画在地图上是6厘米，则这幅地图的比例尺是( )；已知邻水到重庆的距离大约是100千米，画在这幅地图上是( )厘米。 【答案】 1∶5000000 2 【分析】先根据1千米＝1000米＝100000厘米，乘进率将实际距离的单位换算成厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出比例尺；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出邻水到重庆的图上距离。 【详解】（1）300×100000＝30000000（厘米） 比例尺＝图上距离∶实际距离 ＝6∶30000000 ＝（6÷6）∶（30000000÷6） ＝1∶5000000 （2）100×100000＝10000000（厘米） 图上距离：10000000×＝2（厘米） 16．按要求画一画。 （1）画出①号图形向下平移5格后的图形。 （2）画出②号图形绕点逆时针旋转90°后的图形。 （3）把②号图形各边放大到原来的2倍，画出放大后的图形。 （4）以虚线为对称轴，将③号图形补全，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）~（4）如图： 【分析】（1）根据平移的性质：图形平移后，形状、大小不变，只是位置发生变化。确定①号图形的每个顶点位置，向下数出5格后，标记各点位置，然后依次连接各点即可。 （2）根据旋转的特征，②号图形绕点A逆时针旋转90°后，点A位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）把②号图形各边放大到原来的2倍，由图知②号图形是直角三角形，底为2格，高为3格，放大后的底为2×2＝4格，高为3×2＝6格，所以画一个底为4格，高为6格的直角三角形即可。 （4）轴对称图形的性质为：沿对称轴折叠后，对称轴两侧的部分能够完全重合。找到③号图形各顶点关于虚线的对称点，然后依次连接这些对称点，补全图形。 【详解】略 17．按要求回答问题和在方格纸中作图。 (1)图中在点A的北偏西45°的方向上的点是( )。 (2)沿对称轴将轴对称图形补充完整。 (3)以（12，2）为点E的对应点，画出图形ABCDE按2∶1放大得到的图形。 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据上北下南左西右东的方向原则，先找观测点，再判断北偏西45°的方向的点。 （2）根据轴对称图形的性质，对称轴两侧的图形完全重合，先确定原图形的顶点，数出每个点到对称轴的水平距离，在对称轴的另一侧，相同距离处标出对称点。按照原图的顺序连接对称点。 （3）先确定原图形的关键点坐标，根据点E的对应点判断放大的规律，把点E当作参照点，看其他点相对于E的位置，然后将这段距离乘2，找出新的对应点，再逐个确定新图形的对应点，再连线。 【详解】（1）以A为观测点，北偏西45°的方向的点为B。 （2）以CD为对称轴，A（4，5）到对称轴是1格，横坐标4＋2＝6，纵坐标不变，（6，5）。 B（2，7）到对称轴是3格，横坐标2＋6＝8，纵坐标不变，（8，7）。 C（5，7）到对称轴是0格，（5，7） D（5，4）到对称轴是0格，（5，4） E（3，4）到对称轴是2格，横坐标3＋4＝7，纵坐标不变，（7，4） （3）放大比例2∶1意味着新图形的边长是原图形的2倍。原图中的点E放大后变成（12，2），在（12，2）。 A（4，5）在点 E（3，4）的右边1格，上边1格；放大2倍；那么，点应该在点（12，2）的右边2格，上边2格。横坐标：12＋2＝14，纵坐标：2＋2＝4。所以，的坐标（14，4）。 B（2，7）在点 E（3，4）的左边1格，上边3格，放大2倍：点应该在点（12，2）的左边2格，上边6格。横坐标：12－2＝10，纵坐标：2＋6＝8，所以，点的坐标是（10，8）。 C（5，7）在点E（3，4）的右边2格，上边3格，放大2倍：那么，点应该在点（12，2）的右边4格，上边6格，横坐标：12＋4＝16，纵坐标：2＋6＝8，的坐标（16，8）。 D（5，4）在点E（3，4）的右边2格，下边0格。放大2倍：那么，点应该在点（12，2）的右边4格，下边0格，横坐标：12＋4＝16，纵坐标：2－0＝2，所以，的坐标是（16，2）。 将这5点进行连线。 18．一幅地图的比例尺为1∶12000000，在该地图上量得甲乙两地之间的距离为7.2厘米。甲乙两列客车同时从两地相对开出，6小时后相遇。甲乙的速度比是5∶7，两车相遇时，甲行了多远？ 【答案】360千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，算出实际距离，用实际距离除以相遇时间，求出甲乙两车的速度和，再根据速度比，即可求出甲的速度，进而求出甲行驶的路程。 【详解】7.2÷ ＝7.2×12000000 ＝86400000（厘米） 86400000厘米＝864千米 速度和：864÷6＝144（千米/时） 甲的速度：144× ＝144× ＝60（千米/时） 60×6＝360（千米） 答：两车相遇时，甲行了360千米。 19．飞飞将一个长方形停车场按照1∶2000的比例尺画在图纸上，量得这个长方形的长为6厘米，宽为5厘米，在合理规划的基础上，这个停车场约80%的面积均规划成为停车位，平均每个停车位的占地面积约为15平方米。这个停车场最多有多少个停车位？ 【答案】640个 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，求出停车场实际的长和宽；长方形的面积＝长×宽，计算停车场的实际总面积，用停车场的实际长×停车场的实际宽，计算可规划为停车位的面积，用总面积×80%，用可使用面积除以单个停车位的占地面积，得到停车位数量。 【详解】6÷ ＝6×2000 ＝12000（厘米） 1米＝10分米，1分米＝10厘米，1米＝100厘米。 12000厘米＝120米。 5÷ ＝5×2000 ＝10000（厘米） 10000厘米＝100米。 120×100＝12000（平方米） 12000×80% ＝12000×0.8 ＝9600（平方米） 9600÷15＝640（个） 答：这个停车场最多有640个停车位。 20．在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得京沪高速全长是6.3厘米，甲、乙两辆汽车分别从北京和上海同时出发，经过6小时相遇，甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是每小时多少千米？ 【答案】135千米 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出京沪高速的实际距离；再根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出两车的速度和，再减去甲车的速度即是乙车的速度。 【详解】京沪高速的实际距离： 6.3÷ ＝6.3×20000000 ＝126000000（厘米） 126000000厘米＝1260千米 两车每小时一共行驶：1260÷6＝210（千米） 乙车每小时行驶：210－75＝135（千米） 答：乙车的速度是每小时135千米。 21．小明学校篮球社团上课的篮球场，在比例尺是1∶2000的平面图上，量得长方形篮球场的长约是7.5厘米，宽约是4.5厘米，这个篮球场的占地面积约是多少平方米？ 【答案】13500平方米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，分别求出篮球场的实际长和实际宽；将求出的长和宽除以进率100厘米换算成米；根据长方形面积公式“面积＝长×宽”，计算出篮球场的实际占地面积。 【详解】实际长： 7.5÷ ＝7.5×2000 ＝15000（厘米） 15000厘米＝150米 实际宽： 4.5÷ ＝4.5×2000 ＝9000（厘米） 9000厘米＝90米 占地面积：150×90＝13500（平方米） 答：这个篮球场的占地面积约是13500平方米。 22．汽车厂生产了一个汽车模型摆放在桌子上展示，模型长度与实际长度的比是。汽车模型长30cm，汽车的实际长度是多少米？（用比例解答） 【答案】米 【分析】汽车厂按的比生产了汽车模型，即汽车模型的长度与实际长度的比值是一定的，则汽车模型的长度与实际长度成正比例。设汽车实际长度为厘米，列出比例方程。根据比例的性质内项积等于外项积进行解比例。 【详解】解：设汽车实际长度为厘米。 厘米米 答：汽车的实际长度是米。 23．小满节气（夏季第二个节气）前后，太平花正值花期，此时公园中可见其洁白花束点缀绿意。小可和自己的家人想利用周末时间去公园参观花会。他在比例尺是1∶500000的地图上，量得自己家到公园的距离是12厘米，他们的开车速度是50千米/时，小可一家需要多长时间能到达公园？ 【答案】1.2小时 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，求出的实际距离除以进率100000将单位从厘米转化为千米，代入“时间＝路程÷速度”解答。 【详解】12÷​ ＝12×500000 ＝6000000（厘米） 6000000厘米＝60千米 60÷50＝1.2（小时） 答：小可一家需要1.2小时能到达公园。 24．近日，我国外销型战机歼首次取得了实战战果，在空战中一举击落多架战机，自己无一损失，这一消息瞬间引发全球军事爱好者的高度关注。歼战斗机机身长度为16.91米，高度为5.66米，其作战半径能达到1240千米。为满足军事爱好者的需求，某商家制作了该战斗机的模型，模型制作比例尺为。这一模型长度约为多少厘米？（结果保留整数） 【答案】23厘米 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，即战斗机模型的长度＝战斗机实际的长度×比例尺。已知战斗机机身长度为16.91米，模型制作比例尺为1∶72，利用公式进行计算。计算前需先统一单位，将16.91米换算为1691厘米，且计算时比例尺需写成分数形式。 【详解】16.91米＝1691厘米， （厘米） 答：这一模型长度约为23厘米。 25．在比例尺是1∶4000000的地图上，两地之间的距离是15厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，4小时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是。甲、乙两车分别行驶了多少千米？ 【答案】甲车行驶了360千米，乙车行驶了240千米 【分析】根据比例尺公式“实际距离＝图上距离÷比例尺”，计算两地的实际距离。 根据“速度和＝总路程÷相遇时间”，计算两车的速度和。 按速度比计算两车速度，甲车速度占速度和的，乙车速度占速度和的。 根据“路程＝速度×时间”，计算两车行驶的路程。 【详解】 （厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷4＝150（千米/时） 甲车速度：（千米/时） 乙车速度：（千米/时） 甲车行驶的路程：90×4＝360（千米） 乙车行驶的路程：60×4＝240（千米） 答：甲车行驶了360千米，乙车行驶了240千米。 26．“天上瑶池，人间九寨”，是对九寨沟美景的高度赞美。家住重庆的妍妍，在比例尺是1∶2500000的地图上，量得重庆到九寨沟的距离约24厘米，如果妍妍的爸爸以75千米/时的速度自驾去九寨沟，多长时间可以到达？（不考虑休息时间） 【答案】8小时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际距离，实际距离的单位厘米除以进率100000换算为千米，根据时间＝路程÷速度求出时间。 【详解】24÷ ＝24×2500000 ＝60000000（厘米） ＝600（千米） 600÷75＝8（小时） 答：8小时可以到达。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 放大与缩小 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、图形的放大与缩小 2 （一）图形放大与缩小的意义 2 （二）图形放大与缩小的核心特征 2 （三）方格纸上画放大 / 缩小图形的方法 2 （四）图形放大与缩小的变化规律 3 （五）常见易错点辨析 3 二、比例尺 3 （一）比例尺的定义与本质 3 （二）比例尺的分类 4 （三）比例尺的相关计算 5 （四）比例尺的实际应用 5 （五）常见易错点辨析 5 考点讲练 5 考点一：比例尺的意义 6 考点二：图上距离与实际距离的换算 6 考点三：比例尺应用 7 考点四：应用比例尺画图 8 考点五：图形的放大与缩小 10 考点六：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 12 综合训练 12 知识梳理 一、图形的放大与缩小 （一）图形放大与缩小的意义 生活实例 放大镜看文字、投影仪投放画面、相机拍摄景物、绘制地图、制作建筑模型、零件图纸等，都是图形放大或缩小的实际场景。 数学定义 把一个图形的所有对应边按一定的比同步扩大或缩小，得到的新图形就是原图形放大或缩小后的图形，这种变换属于相似变换。 按（）的比放大：新图形各边长度是原图形的倍，图形整体变大； 按（）的比缩小：新图形各边长度是原图形的，图形整体变小。 比的对应规则 放大 / 缩小的比中，前项对应变化后图形的边长，后项对应原图形的边长。 例：放大 = 新边长原边长；缩小 = 新边长原边长。 （二）图形放大与缩小的核心特征 形状不变，大小改变 放大、缩小后的图形与原图形形状完全一致，只是大小发生变化，二者是相似图形。 对应边成比例 新图形与原图形所有对应边的长度比都相等，等于指定的放大 / 缩小比，不会出现单条边单独变化的情况。 对应角大小相等 图形放大或缩小时，每个内角的度数保持不变，这是图形形状不变的根本原因。 注意：只拉伸或压缩图形的某一条边，不属于数学意义上的放大与缩小，会改变图形形状。 （三）方格纸上画放大 / 缩小图形的方法 1. 通用三步法 看：观察原图形，数出关键边（长、宽、底、高等）所占的方格数，标记所有顶点的位置； 算：根据指定的比，计算出放大 / 缩小后对应边的长度； 画：按计算出的边长定位新图形的顶点，顺次连接各点，得到完整图形。 2. 常见图形画图技巧 长方形 / 正方形：确定长和宽的格数，画出四个顶点再连线； 三角形：先确定底和高的长度，定位三个顶点； 梯形：先确定上底、下底和高的长度，再定位四个顶点； 圆：先按比确定新的半径 / 直径长度，再以对应圆心画圆。 （四）图形放大与缩小的变化规律 设图形的相似比（边长变化倍数）为： 边长变化：新图形所有对应边的长度是原图形的倍； 周长变化：新图形的周长是原图形的倍，即周长比 = 相似比； 面积变化：新图形的面积是原图形的倍，即面积比 = 相似比的平方。 若为缩小，相似比为，则边长、周长缩小为原来的，面积缩小为原来的。 （五）常见易错点辨析 混淆比的前后项：放大比前项大、后项小，缩小比前项小、后项大，不可颠倒 “新图形” 与 “原图形” 的对应关系； 误将面积比等同于边长比：面积变化倍数是边长变化倍数的平方，是高频易错点； 忽略 “所有边同步变化”：仅改变单条边长度，不属于规范的图形放大 / 缩小； 画图时角度偏移：只改变边长、不保证角度相等，会导致图形形状变形。 二、比例尺 （一）比例尺的定义与本质 定义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 核心公式： 本质 比例尺是一个比，不是尺子，不带单位名称；它本质是图形放大或缩小的数量化表示，缩小比例尺对应图形缩小，放大比例尺对应图形放大。 书写规则 为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项为 1 的最简整数比： 缩小比例尺：前项为 1，如； 放大比例尺：后项为 1，如。 （二）比例尺的分类 1. 按表现形式分类 （1）数值比例尺 用数字形式表示的比例尺，如、。 含义示例：表示图上 1 厘米的距离对应实际距离 5000 厘米（即 50 米）。 （2）线段比例尺 在图上附有一条标注数量的线段，用来表示和实际距离的对应关系。 示例： 含义：图上 1 厘米的距离对应实际距离 20 千米。 （3）数值比例尺与线段比例尺的互化 数值转线段：先算出图上 1 厘米对应实际多少长度，再画出标注线段； 线段转数值：统一单位后，写出图上距离与实际距离的比并化简。 例：线段比例尺 “0 50 千米”，图上 1cm 对应实际 50km，50km=5000000cm，转化为数值比例尺是。 2. 按用途分类 （1）缩小比例尺 图上距离小于实际距离，前项为 1，多用于地图、建筑图纸、规划图等。 例：地图比例尺，表示实际距离被缩小到原来的百万分之一画在图上。 （2）放大比例尺 图上距离大于实际距离，后项为 1，多用于精密零件、微小器件的设计图纸。 例：零件图纸比例尺，表示零件实际尺寸被放大 10 倍画在图纸上。 （三）比例尺的相关计算 1. 已知实际距离和比例尺，求图上距离 公式： 步骤：先统一单位，再用实际距离乘比例尺的比值，得到图上距离。 2. 已知图上距离和比例尺，求实际距离 公式： 步骤：用图上距离除以比例尺的比值，再换算成合适的单位（米、千米等）。 3. 已知图上距离和实际距离，求比例尺 步骤： 统一图上距离和实际距离的单位（通常统一为厘米）； 写出图上距离实际距离的比； 化简为前项（或后项）是 1 的最简整数比。 常用单位换算： （四）比例尺的实际应用 地图应用：根据地图比例尺，计算两地的实际距离、估算出行时间； 图纸应用：根据建筑 / 零件图纸的比例尺，计算实物的实际尺寸； 绘图应用：绘制教室、校园、房间平面图时，选择合适的比例尺，计算图上尺寸后画图； 面积估算：先根据比例尺算出实际边长，再计算实际面积（注意面积比是比例尺的平方）。 （五）常见易错点辨析 单位不统一：计算时图上距离（厘米）和实际距离（千米 / 米）单位不同，必须先统一单位再计算； 混淆放大与缩小比例尺：后项为 1 是放大比例尺，前项为 1 是缩小比例尺，不可搞反； 面积直接乘比例尺：求实际面积不能直接用图上面积乘比例尺，必须先算实际边长再算面积，实际面积 = 图上面积 ÷ 比例尺 ²； 线段比例尺解读错误：误将线段上的总长度当作 1 厘米对应的实际距离，需明确每一段 1 厘米对应多少实际距离。 考点讲练 考点一：比例尺的意义 【典例精讲】快乐的小学生活就要结束了，我们用毕业照记录下这美好的时光。小刚身高1.64米，在毕业照上他的身高是8.2厘米，这张毕业照片的比例尺是( )。 【变式训练】将线段比例尺改写成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得郑州到北京的距离约是17.5厘米，郑州到北京的实际距离约是( )千米。 【变式训练】在比例尺是1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是9厘米，如果画在比例尺是1∶6000000的地图上，甲、乙两地间的距离是( )厘米。 【变式训练】六年级学生为母校绘制校园平面图。升旗台的底面是一个边长5米的正方形，画在平面图上边长是1厘米。这张校园平面图的比例尺是( )。升旗台在体育馆的南偏东30°方向，那么体育馆在升旗台的( )方向。 考点二：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，A城与B城的图上距离是25.5厘米，一辆汽车从A城开往B城，每小时行驶75千米，几小时可以到达？ 【变式训练】在比例尺是1∶6000000的地图上量得A、B两地之间的距离是4.5厘米，一辆客车和一辆货车分别从A、B两地同时出发，1.8时后相遇，已知客车和货车的速度比是8∶7，客车和货车的速度分别是多少？ 【变式训练】在一张比例尺为1∶20000000的地图上，量得甲乙两地间的距离为6厘米，A、B两车同时从甲乙两地相向而行，经过8时两车相遇。已知A车与B车的速度比是8∶7。A、B两车的速度各是多少？ 【变式训练】余杭区从杭州西站到青山湖科技城有一条规划道路。在一幅比例尺为1∶400000的地图上，量得这条道路的图上长度是5厘米。苕溪队和径山队分别从这条路的两端同时开始施工，若干天后修完。已知两队的工作效率比是5∶3。苕溪队比径山队多修了多少千米？ 考点三：比例尺应用 【典例精讲】淘气在比例尺是1∶12500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8厘米。笑笑在比例尺是1∶8000000的地图上也找到了甲、乙两地，请求出笑笑看到比例尺是1∶8000000的地图上的甲、乙两地的图上距离。 【变式训练】刺绣是我国优秀的传统手工艺术，通过一针一线，在布料上绣出美丽的图案和花纹。一幅长方形绣品的样子画在比例尺是的图纸上，长是12厘米，宽是5厘米，这幅绣品的实际面积是多少平方米？ 【变式训练】在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两地的距离是12厘米，一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，经过几小时到达B地？ 【变式训练】把一块三角形菜地按1∶500的比例尺画在图纸上，在图纸上量得菜地的一条底边的长是12厘米，对应的高是8厘米。这块菜地的实际面积是多少平方米？ 考点四：应用比例尺画图 【典例精讲】豆豆从家出发，先往正东方向走600米到达市民中心，再往东偏北30°方向走500米到达体育中心，最后往西北方向走400米到达学校。 请在如图的方框中画出豆豆行走的路线示意图，并标注线段比例尺。 【变式训练】在下面的平面图中量一量，画一画，算一算。 (1)超市在希望小学的( )偏( )( )°方向( )千米处。 (2)小芳家在希望小学的南偏西方向5千米处，在图中表示出小芳家的位置。 【变式训练】如图，花店在小玉家正西方向，实际距离是120米，图上距离是2cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。超市到小玉家的图上距离是2.5厘米，实际距离是( )米。 (2)博物馆在超市南偏东方向180米，在图中标出博物馆的位置。 【变式训练】A城市在B城市的南偏西方向900千米处。 (1)请根据以上描述，在下面的平面图上标出A城市的位置。 (2)B城市在A城市的( )偏( )方向。 考点五：图形的放大与缩小 【典例精讲】如图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求做一做。 (1)三角形ABC的三个顶点对应的数对分别是：A（3，5），B（6，5），C（6，9），请在方格中画出这个三角形； (2)以AB所在直线为对称轴，画出与三角形ABC对称的图形； (3)画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后得到的图形； (4)将（3）得到的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 【变式训练】先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 【变式训练】通过平移和旋转，可以设计美丽的图案。根据要求画一画。 ①把图“甲”绕点O顺时针旋转90°。 ②把图“乙”向右平移3格。 ③画出图“丙”按2∶1放大后的图形。 【变式训练】按要求在方格纸上作图。 ①以线段AB为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。 ②画出三角形ABC向右平移6格得到的图形。 ③画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 考点六：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】如下图，涂色的小平行四边形是按（____∶____）放大成大平行四边形的。如果小平行四边形的面积是，那么空白部分的面积是( )。 【变式训练】如图，有两个三角形，其中的小三角形面积是n平方厘米，把它按照( )∶( )的比放大后可以得到大三角形，大三角形面积与小三角形面积的比是( )∶( )。 【变式训练】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【变式训练】一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是( )平方厘米。 综合训练 1．一只蚂蚁身长2.5毫米，朵朵把它画在纸上，量得长3厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．5∶6 C．6∶5 D．12∶1 2．一个足球场长100米、宽68米。如果要在一张A4纸上画出该足球场的平面图，选用比例尺（    ）合适。 A．1∶10000 B．1∶1000 C．1∶100 D．1∶10 3．亚洲陆上最深油气井位于我国塔里木盆地。在一张比例尺为1∶80000的图纸上，这个水平井的深为8.5cm，在比例尺为1∶100000的图纸上，它的深度是（    ）cm。 A．6.8 B．0.85 C．8.5 D．10.625 4．把如图左边的三角形按比例放大得到了如图右边的三角形，则x＝（    ）。 A．2.5 B． C．3 D．6 5．把一个三角形按1∶3的比放大后，“面积”“边的长度”“角的度数”“对应边长的比值”保持不变的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．将等腰梯形绕其对称轴旋转一周，形成的立体图形是( )；将等边三角形按2∶1放大后，内角和变为( )度。 7．下图中( )号图形是①号三角形缩小后的图形，它是按( )∶( )的比缩小的；图中( )号图形是②号三角形放大后的图形，它是按( )∶( )的比放大的。 8．将一个正方形按1∶3缩小，若原来正方形的面积为72平方厘米，则缩小后正方形的面积是( )平方厘米。 9．一个三角形的一个角是60°，把它按1∶3的比画在图纸上，这个角应画( )°。 10．“天和”核心舱是中国空间站发射入轨的首个舱段，它的实际长度为16.6米，工程师在设计图纸时将其长度绘制为8.3厘米，这张图纸的比例尺是( )。 11．在一幅北京市地铁规划图上，图上的线段比例尺为，把它改写成数值比例尺是( )；在这幅地图上量得地铁1号线的长度约为2.5厘米，它的实际长度约是( )千米。 12．在比例尺1∶6000000的地图上量得A市至B市的高速公路长15厘米，李叔叔开车从A市出发，走高速公路速度为100千米/时，( )小时可到达B市。 13．在比例尺是1︰3000000的地图上，量的甲、乙两地相距18厘米。客车、货车分别从甲、乙两地同时相向而行，5小时后相遇。已知客车、货车的速度比是5︰4，求客车的速度是( )千米。 14．在比例尺是1∶4000000的地图上量得甲、乙两地之间的公路长12厘米，一辆汽车上午8时以平均每小时80千米的速度从甲地出发，如果中途不休息，那么下午( )时可以到达乙地。 15．成都到重庆的距离大约是300千米，画在地图上是6厘米，则这幅地图的比例尺是( )；已知邻水到重庆的距离大约是100千米，画在这幅地图上是( )厘米。 16．按要求画一画。 （1）画出①号图形向下平移5格后的图形。 （2）画出②号图形绕点逆时针旋转90°后的图形。 （3）把②号图形各边放大到原来的2倍，画出放大后的图形。 （4）以虚线为对称轴，将③号图形补全，使它成为一个轴对称图形。 17．按要求回答问题和在方格纸中作图。 (1)图中在点A的北偏西45°的方向上的点是( )。 (2)沿对称轴将轴对称图形补充完整。 (3)以（12，2）为点E的对应点，画出图形ABCDE按2∶1放大得到的图形。 18．一幅地图的比例尺为1∶12000000，在该地图上量得甲乙两地之间的距离为7.2厘米。甲乙两列客车同时从两地相对开出，6小时后相遇。甲乙的速度比是5∶7，两车相遇时，甲行了多远？ 19．飞飞将一个长方形停车场按照1∶2000的比例尺画在图纸上，量得这个长方形的长为6厘米，宽为5厘米，在合理规划的基础上，这个停车场约80%的面积均规划成为停车位，平均每个停车位的占地面积约为15平方米。这个停车场最多有多少个停车位？ 20．在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得京沪高速全长是6.3厘米，甲、乙两辆汽车分别从北京和上海同时出发，经过6小时相遇，甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是每小时多少千米？ 21．小明学校篮球社团上课的篮球场，在比例尺是1∶2000的平面图上，量得长方形篮球场的长约是7.5厘米，宽约是4.5厘米，这个篮球场的占地面积约是多少平方米？ 22．汽车厂生产了一个汽车模型摆放在桌子上展示，模型长度与实际长度的比是。汽车模型长30cm，汽车的实际长度是多少米？（用比例解答） 23．小满节气（夏季第二个节气）前后，太平花正值花期，此时公园中可见其洁白花束点缀绿意。小可和自己的家人想利用周末时间去公园参观花会。他在比例尺是1∶500000的地图上，量得自己家到公园的距离是12厘米，他们的开车速度是50千米/时，小可一家需要多长时间能到达公园？ 24．近日，我国外销型战机歼首次取得了实战战果，在空战中一举击落多架战机，自己无一损失，这一消息瞬间引发全球军事爱好者的高度关注。歼战斗机机身长度为16.91米，高度为5.66米，其作战半径能达到1240千米。为满足军事爱好者的需求，某商家制作了该战斗机的模型，模型制作比例尺为。这一模型长度约为多少厘米？（结果保留整数） 25．在比例尺是1∶4000000的地图上，两地之间的距离是15厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，4小时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是。甲、乙两车分别行驶了多少千米？ 26．“天上瑶池，人间九寨”，是对九寨沟美景的高度赞美。家住重庆的妍妍，在比例尺是1∶2500000的地图上，量得重庆到九寨沟的距离约24厘米，如果妍妍的爸爸以75千米/时的速度自驾去九寨沟，多长时间可以到达？（不考虑休息时间） 第 1 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