专题27.1 反比例函数的定义（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，系统梳理其定义（形如y=k/x，k≠0）、自变量取值范围（x≠0），以及解析式的三种等价形式（分式、乘积、负指数幂），并通过与正比例函数的辨析、实际问题（行程、面积等）抽象，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于强化抽象能力与模型意识，通过“即学即练”即时巩固定义判断，结合中考真题（如2022潍坊大气压问题）深化理解，实际情境问题（如行程速度与时间关系）引导学生从现实中抽象数学关系，课中辅助分层教学，课后A/B/C组练习助力查漏补缺，提升推理与应用能力。

专题27.1 反比例函数的概念 教学目标 1.理解反比例函数的概念，掌握其解析式及自变量的取值范围。 2.熟练运用待定系数法由已知条件求反比例函数解析式，并能识别其等价形式。 3.能从实际问题（行程、面积、流量等）中抽象出反比例关系，初步体会函数建模思想。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的概念、一般形式及自变量的限定条件； （2）利用待定系数法求反比例函数的解析式。 2.难点 （1）反比例函数与正比例函数的正确辨析； （2）实际问题背景下，自变量x需满足实际意义（x>0等）的取舍。 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义 一般地，形如 （k为常数）的函数叫作反比例函数。 自变量：x 是自变量。 取值范围：自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数。 根本原因：当x=0 时，分式无意义（分母不为零）。 2.反比例函数的判断标准 判断两个变量是否构成反比例函数关系，要看它们是否满足“两个变量的乘积等于一个非零常数”，即 【即学即练】 1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A． B． C．0 D．1 知识点02 反比例函数解析式的三种等价变形 定义式 是基础，但以下另外两种形式在解题时经常被应用： ①标准分式形式： ②隐含乘积形式： 应用：当题目告诉“变量y与x成反比例”或给出点坐标、图形面积时，利用xy为定值这一性质可以快速求解。 ③负指数幂形式： 应用：在分析函数增减性、与一次函数二次函数结合时，这个形式与正比例函数y=kx有对称的美感。 【即学即练】 4．点在反比例函数的图像上，则值为（ ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）． A． B． C． D． 6．已知反比例函数，则它的图象经过点（ ） A． B． C． D． 知识点03 从现实情境中抽象出反比例函数 现实情景中常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程s一定时，平均速度v与运行时间t成反比例。⇒ ②几何面积问题：矩形面积S一定时，相邻两边长y 与x 成反比例。⇒ ③生活总量问题：总流量（总工作量）一定时，平均每天使用量Q与天数t 成反比例。⇒ 【即学即练】 7．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 9．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 题型01 根据定义判断是否为反比例函数 【典例1】下列函数中是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查对反比例函数定义的识别，能判断函数是否符合 、或的形式。 （2）核心方法：抓住两个关键条件一是变量乘积为非零常数，即 xy=k；二是 x 的指数为 -1，且比例系数k≠0。 【变式1】为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【中考链接1】（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【中考链接2】（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若点在反比例函数 y =的图像上，则______． （1）考查方向：考查由反比例函数的形式或图象经过的点求参数，常见于含字母系数或指数的函数表达式。 （2）核心方法：若由表达式判断，则令 x 的指数等于-1，并保证系数不为 0；若由点求参数，则代入点坐标，利用k=xy求解。​ 【变式1】若函数是反比例函数，则____． 【变式2】若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 【变式3】已知反比例函数（为常数）的图象经过第一、三象限，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． B． 题型03 求反比例函数的函数值或自变量 【典例1】若点在的图象上，则______． 【典例2】反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A． B． C．2 D．3 （1）考查方向：考查已知反比例函数解析式和图象上的点，求函数值、自变量或判断点是否在图象上。 （2）核心方法：直接代入，或利用图象上任意一点都满足 xy=k，通过横纵坐标乘积是否等于 k快速判断和计算。 【变式1】下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 题型04 用反比例函数描述数量关系 【典例1】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（ ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 （1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【变式1】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【中考链接】（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． A组·基础过关 1．下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（ ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 2．反比例函数的值是（ ） A． B． C．5 D． 3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 7．已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A． B． C． D． 9．已知，y是x的反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A． B． C．9 D． 10．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 C组·拓展延伸 11．已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（ ） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 12．已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A． B． C． D． 13．如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 14．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 15．平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，两点，规定其坐标“积和”运集为：．若，，，四个点的“积和”运算满足：，则以，，，为顶点的四边形不可能是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 反比例函数的概念 教学目标 1.理解反比例函数的概念，掌握其解析式及自变量的取值范围。 2.熟练运用待定系数法由已知条件求反比例函数解析式，并能识别其等价形式。 3.能从实际问题（行程、面积、流量等）中抽象出反比例关系，初步体会函数建模思想。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的概念、一般形式及自变量的限定条件； （2）利用待定系数法求反比例函数的解析式。 2.难点 （1）反比例函数与正比例函数的正确辨析； （2）实际问题背景下，自变量x需满足实际意义（x>0等）的取舍。 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义 一般地，形如 （k为常数）的函数叫作反比例函数。 自变量：x 是自变量。 取值范围：自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数。 根本原因：当x=0 时，分式无意义（分母不为零）。 2.反比例函数的判断标准 判断两个变量是否构成反比例函数关系，要看它们是否满足“两个变量的乘积等于一个非零常数”，即 【即学即练】 1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：且k为常数，， ，为一次函数，为二次函数，为反比例函数， 因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 2．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式：或或的函数是反比例函数．据此解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意； B．是反比例函数，故该选项不符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知，解出m的值即为本题答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 知识点02 反比例函数解析式的三种等价变形 定义式 是基础，但以下另外两种形式在解题时经常被应用： ①标准分式形式： ②隐含乘积形式： 应用：当题目告诉“变量y与x成反比例”或给出点坐标、图形面积时，利用xy为定值这一性质可以快速求解。 ③负指数幂形式： 应用：在分析函数增减性、与一次函数二次函数结合时，这个形式与正比例函数y=kx有对称的美感。 【即学即练】 4．点在反比例函数的图像上，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把点的坐标代入反比例函数即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴将点的坐标代入函数中，即， 解得， 故答案选：A． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征是关键． 根据反比例函数的性质，点在函数的图象上，需满足，逐一判断即可． 【详解】解：在反比例函数 中，， 对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：C． 6．已知反比例函数，则它的图象经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数可得：，代入各个选项的坐标点即可求解． 【详解】解：由反比例函数可得： ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C 知识点03 从现实情境中抽象出反比例函数 现实情景中常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程s一定时，平均速度v与运行时间t成反比例。⇒ ②几何面积问题：矩形面积S一定时，相邻两边长y 与x 成反比例。⇒ ③生活总量问题：总流量（总工作量）一定时，平均每天使用量Q与天数t 成反比例。⇒ 【即学即练】 7．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 8．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 9．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选：A． 题型01 根据定义判断是否为反比例函数 【典例1】下列函数中是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． （1）考查方向：考查对反比例函数定义的识别，能判断函数是否符合 、或的形式。 （2）核心方法：抓住两个关键条件一是变量乘积为非零常数，即 xy=k；二是 x 的指数为 -1，且比例系数k≠0。 【变式1】为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义（k 为常数，），逐一分析各选项中的函数关系． 【详解】解：A．栽种总面积，为正比例函数，故A不符合题意； B．栅栏周长，得，为一次函数，故B不符合题意； C．圆面积，为二次函数，故C不符合题意； D．总工作量，得，符合反比例函数，故D符合题意． 故选：D． 【中考链接1】（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)， ∴2×80=160，4×60=240，而160≠240， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意； C．∵图象经过点 (4，60)， ∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 【中考链接2】（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 【答案】C 【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项． 【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误； 酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误； 由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确； 任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误． 故选∶ C． 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． （1）考查方向：考查由反比例函数的形式或图象经过的点求参数，常见于含字母系数或指数的函数表达式。 （2）核心方法：若由表达式判断，则令 x 的指数等于-1，并保证系数不为 0；若由点求参数，则代入点坐标，利用k=xy求解。​ 【变式1】若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【分析】反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 【变式2】若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 【变式3】已知反比例函数（为常数）的图象经过第一、三象限，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，灵活运用反比例函数图象所在象限与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数的性质得到，进而求出的取值范围，再结合选项选出符合条件的的值． 【详解】反比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 结合选项，只有满足， 故选：． 【中考链接】（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 题型03 求反比例函数的函数值或自变量 【典例1】若点在的图象上，则______． 【答案】 【分析】将点代入解析式变形即可得到的值． 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 【典例2】反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． （1）考查方向：考查已知反比例函数解析式和图象上的点，求函数值、自变量或判断点是否在图象上。 （2）核心方法：直接代入，或利用图象上任意一点都满足 xy=k，通过横纵坐标乘积是否等于 k快速判断和计算。 【变式1】下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 【中考链接1】（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 【中考链接2】（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 题型04 用反比例函数描述数量关系 【典例1】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（ ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． （1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【变式1】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【变式2】如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【中考链接】（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． A组·基础过关 1．下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（ ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【分析】形如（为常数，，）的函数叫做反比例函数，两个变量的乘积为定值．依次写出每个选项的函数关系式，对照定义判断． 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 2．反比例函数的值是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 5．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． B组·能力提升 6．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 7．已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到与的关系，再根据给定的的范围推导的范围，对选项逐个判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，则，即，， A：若，当时，，不满足，A错误，不符合题意； B：若，则，不等式两边同乘得， ∴， ∵， ∴，即，B正确，符合题意； C：若，则， ∵， ∴，两边同乘可得，即，不满足，C错误，不符合题意； D：若，当时，，不满足，D错误，不符合题意． 8．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 9．已知，y是x的反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 利用已知点求k，再求a和b即可． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴（k为常数）， 由，，得， 由表格可知，， ∴，， ∴． 故选：A． 10．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． C组·拓展延伸 11．已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（ ） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 【答案】C 【分析】先根据抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，得到，当时，可推出，当，，由此即可确定b的最值为定值1；当时，可得，即是关于a的反比例函数． 【详解】解：联立得， ∴， ∵抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴ ∴，则b有最大值，故A不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，则b有最小值，故B不符合题意； 综上所述，当时， b有最大值1；当时，b有最小值1； ∴对于任意，b的最值不变，都为1，故C符合题意； 当时，， ∴ ∴是关于a的反比例函数，故D不符合题意； 故选C． 12．已知四点，其中恰有一个点在反比例函数的图象上，其余三点在二次函数的图象上，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，解题的关键是通过假设发现矛盾，确定二次函数上的必有点，再代入求解参数． 先假设B，C两点同时在二次函数上，代入后得到矛盾等式，从而确定B，C不能同时在二次函数上；根据题意恰有一点在反比例函数上，可得A，D必在二次函数上，代入A，D坐标求出b，c的值；再验证满足二次函数、不满足，从而确定A，B，D在二次函数上，在反比例函数上；最后求出的值并计算． 【详解】解：假设均在二次函数上． 将代入得：，即①； 将代入得：，即② ∴①②两式矛盾，故B，C不能同时在二次函数图象上． 根据题意，恰有一点在反比例函数上，因此Ａ，D两点必在二次函数上． 将代入，得， 解得，， 将，代入①验证：，满足； 将，代入②验证不满足； ∴Ａ、Ｂ、Ｄ三点同时在二次函数上， ∴在上，得． 计算， 故选：B． 13．如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 14．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 15．平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，两点，规定其坐标“积和”运集为：．若，，，四个点的“积和”运算满足：，则以，，，为顶点的四边形不可能是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据坐标“积和”运集的计算规则可知A、B、C、D四个点均在反比例函数图象上，据此即可判断结果． 【详解】设、、、， 则有：，， ，， 依据，得， 令， 则可知、、、均在反比例函数上， 根据题意可设构成的四边形为ABCD，则该四边形的对角线为AC和BD， 根据反比例函数图象的特征可知，四个顶点均在双曲线上的四边形的对角线AC与BD无法使得AC⊥BD，故构成的四边形不可能是菱形， 故选：D． 20 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $