3.4圆周角（讲义，4知识5题型）数学新教材苏科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“圆周角”核心知识点，从定义三要素（顶点在圆上、两边为弦且相交）入手，通过与圆心角的区分建立基础认知，进而系统梳理圆周角定理（同弧等弧所对圆周角与圆心角关系）、三大推论（直径对直角、弧与角度关系等）及圆内接四边形性质（对角互补、外角等于内对角），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“即学即练+题型分类”为特色，通过选择、解答等多样化例题（如直径构造直角三角形求长度），引导学生用数学眼光观察图形关系，在推理计算中培养逻辑思维，在模型应用中提升数学表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式巩固查漏补缺，强化知识迁移能力。

第三章 圆 3.4 圆周角 知识点一 圆周角的定义 1. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 2. 判定三要素：①顶点在圆上 ②两边是圆的弦 ③两边都与圆有交点 3. 区分圆心角与圆周角：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。 即学即练 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 圆周角定理 1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 2. 公式： 3. 关键前提：必须是同弧 / 等弧，不同弧不适用；必须在同圆或等圆中。 即学即练 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·二模）如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 知识点三 圆周角定理推论 1. 推论1：一条弧所对的圆心角的度数 = 弧的度数；一条弧所对圆周角度数 = 弧度数的一半。 2. 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）； 逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。（判断直径最重要方法）。 3. 推论3：同弧所对的所有圆周角相等；同一条弦对应两类圆周角：弦所对优弧、劣弧各对应一组圆周角，两角互补。 即学即练 1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·安徽淮南·三模）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，求的半径． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)图①中，画出的圆心O． (2)图②中，在边上找到一点D，使得平分； 知识点四 圆内接四边形性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2. 核心性质：① 对角互补：圆内接四边形的两组对角之和均为 180°； ② 外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。 即学即练 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形内接于，为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆． (1)尺规作图，过点E作的平行线，交于点F； (2)当时， ①求证：四边形是菱形； ②若的半径，，则点O到的距离为_________． 题型01 利用圆周角定理求角度 / （1）确定角所对应的同一段弧； （2）由圆心角求圆周角，或由圆周角反求圆心角； （3）结合三角形内角和、外角、对顶角、邻补角计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南普洱·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·三模）如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南南阳·三模）如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，则的度数为____________． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 4．（2026·广东清远·一模）如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 5．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，点C在上，且，连接，．若，则的度数是______． 题型02 利用圆周角定理求长度 / （1）识别相等的圆周角，证明三角形全等； （2）结合全等性质（对应边相等）计算线段； （3）出现直径时，构造直角三角形，用勾股定理求解弦、线段长度； （4）结合垂径定理、切线性质综合计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建福州·三模）如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，是半径为6的上的三点，若，则弦的长为___________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（     ） A．2 B． C． D．4 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 3．（2026·陕西延安·一模）如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 4．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是的内接四边形，若，且，，则半径的长为________． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 题型03 直径所对圆周角推论 / （1）题干出现直径：优先连接直径端点与圆上点，构造直角三角形； （2）题干出现圆上的直角：直接判定直角所对弦为直径； （3）结合直角三角形两锐角互余、勾股定理、全等 / 相似三角形解题。 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是__________． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 5．（2026·安徽·三模）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 题型04 同弧/等弧圆周角综合计算 / （1）找准同一段弧/等弧，直接对等角进行等量代换； （2）结合圆周角与圆心角的倍数关系（同弧所对圆周角=圆心角）联合计算； （3）多条弧、多个角混杂时，统一以公共弧为桥梁，逐步推导角度。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 2．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 2．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 4．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题： 如图1，已知直线及直线外一点，只用一把圆规画一点，使得，所在直线与直线平行． 下面是小尹设计的作图过程． 如图2，在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点； 以点为圆心，截取长； 以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； 则点就是所求作的点． (1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明． 证明：连接，，作直线； (2)小周认为“在直线上取点时，不能垂直于，否则所作点不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解． 5．（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型05 圆内接四边形 / （1）核心性质： ①对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为180∘； ②外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 典｜例｜精｜析 1．（2026·重庆·二模）如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积为，求的半径． 3．（2026·江苏泰州·二模）四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________． 3．（2026·河南周口·一模）如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点M． (2)求证：． 4．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 6．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，四边形内接于，延长，相交于点，是上一点，交于点，且，． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.4 圆周角 知识点一 圆周角的定义 1. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 2. 判定三要素：①顶点在圆上 ②两边是圆的弦 ③两边都与圆有交点 3. 区分圆心角与圆周角：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。 即学即练 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 知识点二 圆周角定理 1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 2. 公式： 3. 关键前提：必须是同弧 / 等弧，不同弧不适用；必须在同圆或等圆中。 即学即练 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，再利用邻补角的性质求出的度数． 【详解】解：与分别是中弧所对的圆周角和圆心角 是的直径 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内直径所对的圆周角为90°，同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内角和180°，求出的度数． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·江苏盐城·二模）如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】/112度 【详解】解：，， ． 知识点三 圆周角定理推论 1. 推论1：一条弧所对的圆心角的度数 = 弧的度数；一条弧所对圆周角度数 = 弧度数的一半。 2. 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）； 逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。（判断直径最重要方法）。 3. 推论3：同弧所对的所有圆周角相等；同一条弦对应两类圆周角：弦所对优弧、劣弧各对应一组圆周角，两角互补。 即学即练 1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角与圆周角存在两倍的关系，由此可求出的度数． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍， ， ， ． 2.（2026·安徽淮南·三模）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， ， ，是半径， ， ∴为的中点； (2)半径为5 【分析】（1）由得到，进而有，根据垂径定理得到，因此，即可得证； （2）连接．设的半径为r，即，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理在Rt中构造方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 设的半径为r，即， ， ， 在Rt中，， ，解得， 的半径为5． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)图①中，画出的圆心O． (2)图②中，在边上找到一点D，使得平分； 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)解：如图，点D即为所求： 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D． 【详解】（1）图略. 理由：∵为 ∴为直径， ∵ ∴点O为圆心； （2）图略． 理由：∵， ∴， ∴， ∴平分． 知识点四 圆内接四边形性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2. 核心性质：① 对角互补：圆内接四边形的两组对角之和均为 180°； ② 外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。 即学即练 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形内接于，为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由圆内接四边形对角互补求出，然后利用为的中点求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∵为的中点 ∴． 2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆． (1)尺规作图，过点E作的平行线，交于点F； (2)当时， ①求证：四边形是菱形； ②若的半径，，则点O到的距离为_________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)①证明：∵是四边形的外接圆，， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②3 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，则； （2）①先证明四边形是平行四边形，再根据圆内接四边形的性质，得到，推出为等边三角形，得到，即可得证；②求出的长，作，连接，垂径定理结合勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵平行四边形， ∴， 由（1）知：为等边三角形， ∴， 作，连接，则， ∴，即点O到的距离为3. 题型01 利用圆周角定理求角度 / （1）确定角所对应的同一段弧； （2）由圆心角求圆周角，或由圆周角反求圆心角； （3）结合三角形内角和、外角、对顶角、邻补角计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南普洱·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·山西太原·三模）如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据邻补角的性质求出的度数，再运用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南南阳·三模）如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，三线合一得到的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）. 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，则的度数为____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 【答案】/58度 【分析】由平行线的性质得，利用圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，求出，由圆周角定理得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 4．（2026·广东清远·一模）如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理求出圆心角的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出半径的平方，最后利用圆的面积公式求解． 【详解】连接， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ， ， ， 为的半径， ， 在中，由勾股定理得， 设的半径为，则， ∴， 的面积为． 5．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，点C在上，且，连接，．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得，结合可求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴． 题型02 利用圆周角定理求长度 / （1）识别相等的圆周角，证明三角形全等； （2）结合全等性质（对应边相等）计算线段； （3）出现直径时，构造直角三角形，用勾股定理求解弦、线段长度； （4）结合垂径定理、切线性质综合计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建福州·三模）如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理得出，利用勾股定理求出，最后利用三角形中位线的判定和性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为，且， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，是半径为6的上的三点，若，则弦的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握同弧所对的圆心角是圆周角的倍是解题的关键．连接、，利用同弧所对的圆心角是圆周角的倍，求出圆心角的度数，再根据判断的形状，最后结合圆的半径求出弦的长度． 【详解】解：连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接，证明是边的中线，结合解答即可． 【详解】解：连接， ， ， ，， ∴是边的中线， ． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 【答案】2 【分析】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，连接，证明是等边三角形，得到，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径的长为， 故答案为： 3．（2026·陕西延安·一模）如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到及，进而求出的度数，最后在中利用勾股定理或含30度角的直角三角形性质求出的长即可求解． 【详解】解： 是的直径，， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理得， ． 4．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是的内接四边形，若，且，，则半径的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据 ，，得到，设半径为，由 ，，得 ，解得，因此半径为． 【详解】解： 连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设半径为， ∵ ，， ∴ ， 解得，（舍去）， 因此半径为． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 题型03 直径所对圆周角推论 / （1）题干出现直径：优先连接直径端点与圆上点，构造直角三角形； （2）题干出现圆上的直角：直接判定直角所对弦为直径； （3）结合直角三角形两锐角互余、勾股定理、全等 / 相似三角形解题。 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得 ，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】连接，构造出直角三角形，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：连接， ， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 5．（2026·安徽·三模）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，，，由圆周角定理可得，则，因此； （2）结合（1）的结论可得，，，，使用勾股定理计算出，进而求出的半径． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 题型04 同弧/等弧圆周角综合计算 / （1）找准同一段弧/等弧，直接对等角进行等量代换； （2）结合圆周角与圆心角的倍数关系（同弧所对圆周角=圆心角）联合计算； （3）多条弧、多个角混杂时，统一以公共弧为桥梁，逐步推导角度。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 2．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点． 由是直径得到，则，．再由角平分线得到，那么，即可得到． 【详解】证明：∵是直径， ∴，即， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 3．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 【答案】(1)如图所示，点E即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，与优弧的交点即为所求； （2）连接，则由圆周角定理可得，，要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 则由圆周角定理可得， 要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可， ∵ ∴． 4．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题： 如图1，已知直线及直线外一点，只用一把圆规画一点，使得，所在直线与直线平行． 下面是小尹设计的作图过程． 如图2，在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点； 以点为圆心，截取长； 以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； 则点就是所求作的点． (1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明． 证明：连接，，作直线； (2)小周认为“在直线上取点时，不能垂直于，否则所作点不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解． 【答案】(1) 证明：连接，，作直线，连接， 由作图步骤可知，， ， ， ； (2)小周说得对，理由如下： ， ， 若，则，即点，重合， 无法作出直线使其与平行，即点不是所求作的点． 【分析】（1）连接，根据弧与弦的关系得到，再根据等弧所对的圆周角相等可得，即可得证； （2）根据圆周角定理、垂直的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE＝ 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； （2）解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 题型05 圆内接四边形 / （1）核心性质： ①对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为180∘； ②外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 典｜例｜精｜析 1．（2026·重庆·二模）如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得，代入的度数即可求解． 【详解】解：∵点在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积为，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为的内接四边形得，又，故，由于，故，又，故，即平分； （2）过点作于点，由于，故为的垂直平分线，故点在上，又，故，因为，即，所以，设，则，在Rt中，由勾股定理得，即，解得，故的半径为． 【详解】（1）证明：∵四边形为的内接四边形， ， 又， ， ， ， 又， ， 平分； （2）解：过点作于点， ， 为的垂直平分线， ∴点在上， 又∵， ， ，即， ，解得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 的半径为． 3．（2026·江苏泰州·二模）四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________． 【答案】35 【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出，然后利用等弧所对的圆周角相等求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∵点B是劣弧的中点 ∴． 3．（2026·河南周口·一模）如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点M． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由平行线的性质可得，从而即可得出，由圆内接四边形的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：尺规作图如下： 步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点E，交线段（或射线）于点F； 步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点G（使得，即点G在射线上且等于步骤一中的半径）； 步骤三：以点G为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤二中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点B和点H作直线，则直线即为所求的过点B且平行于的直线，交的延长线于点M． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以． （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵在和中， ， ， ． 4．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，证明，即可得到结论． （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据补角的定义即可得到答案． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， 和是所对的圆周角，和是所对的圆周角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 6．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，四边形内接于，延长，相交于点，是上一点，交于点，且，． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)证明：， ， 由（1），知， ， 即， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据弦相等，对应弧相等得到，根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，再由三角形外角和的性质即可求解； （2）根据等边对等角得到，结合（1）得到，再根据同弧或等弧所对圆周角相等，角的等量代换得到，由此即可求解； （3）如图，过点作，垂足为，由垂径定理得到，根据内接四边形的性质得到，则，由勾股定理得到，再根据三角形的周长的计算，线段的等量代换得到的周长为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，                                                                                                 ； （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， 解得． 的周长， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对圆周角相等，等边对等角等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $