专题3.3 圆的对称性【导图+知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦苏科版九年级上册“圆的对称性”核心知识点，系统梳理圆的旋转不变性、中心对称与轴对称，以及圆心角、弧、弦关系和垂径定理及其推论，通过思维导图与知识梳理构建从概念到定理再到应用的学习支架。 资料以8个题型讲练（含典例与变式，如垂径定理求值、平行弦问题）培养数学思维，结合中考真题与“圆材埋壁”等实际应用发展几何直观，难度分层设计满足不同学生需求，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

null 专题3.3 圆的对称性『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 圆的对称性 2 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 2 知识点三 垂径定理 3 题型讲练 4 题型一 利用垂径定理求值 4 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 4 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 6 题型四 利用垂径定理求解其他问题 7 题型五 垂径定理的推论 8 题型六 垂径定理的实际应用 9 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 10 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 11 中考真题演练 12 难度分层训练 14 【基础夯实】 14 【培优拔高】 17 知识点一 圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点三 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 题型一 利用垂径定理求值 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 【变式训练1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【变式训练2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【变式训练1】（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若 ，试画出的平分线． 【变式训练2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【变式训练1】如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【变式训练2】如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（    ） A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90° D．∠D=∠B 题型四 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 题型五 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； (2)在图2中作出的直径，使． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，为的直径，点在上，． (1)尺规作图：作出弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，交于点，求的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为_____． 题型六 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【真题演练1】（2025·北京西城·中考真题）在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（   ） A．若，则长的取值范围是 B．若，则的长可以是 C．若，则长的最小值是 D．若，则长的最大值是 【真题演练2】（2025·浙江温州·中考真题）如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为上一动点，连接，过点C作垂直直线于点H，连接，则弦的长度为______，点M在运动过程中，线段的长度的最大值为______． 【真题演练5】（2025·浙江丽水·中考真题）图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 5．（25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 6．（25-26九年级上·广东湛江·期末）唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为___________ 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 9．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半径为的中，弦于，分别以、，，为边作正方形，，，，若记这四个正方形的面积分别为 ，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C．垂直平分 D． 3．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为，交于点，交于点，连接．给出下面四个结论： ①，②四边形是菱形， ③；④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E．若，则的长为______． 6．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在四边形中，，，，圆心在线段上的交于点E、F，交于点G、H，且，则的长为________． 7．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 8．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 (1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，在上作点D，使； (2)在图②中，经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，连接，，请在上作点E，使平分，并在上作点F，使得． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点C是弦的中点，连接并延长交于点D.若，，求的半径． 10．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的直径，，点，在上，连结，，取，的中点，，连结，． (1)若，求的长． (2)若，，求的长． (3)若，，请用的代数式表示的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题3.3 圆的对称性『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 圆的对称性 2 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 2 知识点三 垂径定理 3 题型讲练 3 题型一 利用垂径定理求值 3 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 6 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 10 题型四 利用垂径定理求解其他问题 13 题型五 垂径定理的推论 19 题型六 垂径定理的实际应用 22 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 25 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 27 中考真题演练 29 难度分层训练 36 【基础夯实】 36 【培优拔高】 45 知识点一 圆的对称性 1、 圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合. 2、 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴. 【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴. 知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 知识点三 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 题型一 利用垂径定理求值 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 【答案】C 【分析】连接，设的半径为r，在中，，，，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 设的半径为r寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 由题意得，寸， ∴寸， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为17寸． 【变式训练1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【答案】 【分析】连接，设圆O的半径为r，则，然后根据垂径定理得出，然后在中利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 设半径为r， ∵， ∴， ∵为的直径，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 【变式训练2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由题意的，，， ∴， ∴在中，， 即该圆的半径为． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 【变式训练1】（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若 ，试画出的平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即即为所求 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 【变式训练2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得，然后根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当在点上方时，如图所示；②当在点下方时，如图所示；然后利用垂径定理与勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1所示， 设，， 则， 是中弦的中点，经过圆心交于点， ， ， ， 在中，， 解得； 故的半径为； （2）解：设交于，连接，则， ①当在点上方时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②当在点下方时，如图所示， 同理可得：， 平行线与之间的距离为； 综上所述，平行线与之间的距离为或． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 【变式训练1】如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【变式训练2】如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（    ） A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90° D．∠D=∠B 【答案】B 【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可． 【详解】A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故本选项错误； B、∵直径CD⊥弦AB，∴弧BC=弧AC，∵弧AC对的圆周角是∠ADC，弧BC对的圆心角是∠BOC，∴∠BOC=2∠ADC，故本选项正确； C、根据已知推出∠BOC=2∠ADC，不能推出3∠ADC=90°，故本选项错误； D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故本选项错误． 故选B． 题型四 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接并延长交于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得垂直平分，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接并延长交于点F， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设的半径为r，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 题型五 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； (2)在图2中作出的直径，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理，取圆上格点，连接，则； （2）取格点，连接并延长，交于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：取格点，连接并延长，交于点，则即为所求，如图： 连接， 由网格可知，，， ∴四边形为正方形， ∴，即． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，为的直径，点在上，． (1)尺规作图：作出弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知垂径定理及其推论是解题的关键． （1）过点O作线段的垂线，交于点C，则点C即为所求； （2）由垂径定理的推论可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，∵为的直径，， ∴， ∵点C为弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接，过点O作交于T，连接．证明是等边三角形，设，再利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交于T，连接． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， 在中，， ，由勾股定理，得 在中， ， ， ， ， 故答案为；6． 题型六 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是构造直角三角形；根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：∵， ∴， 设， 在中， ∵，， ∴， 解得：， 即：， 故选：C ． 【变式训练2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：连接，   经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据垂直的意义得出，从而可得，结合，可求得，再利用弧的中点得出，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，连接、，通过判断为等边三角形，求出弦所对的圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵的直径为， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 即弦所对的圆心角是， 故选：C． 【变式训练2】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理． 根据等边三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，进而得到，即可证明． 【详解】证明：是等边三角形， ， ． 是的中点， ， ， ， ． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据同圆中弧长与圆心角成正比的性质，弧与弧的关系由圆心角大小直接决定． 【详解】解：∵在同圆中，弧长与所对圆心角成正比， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 【真题演练1】（2025·北京西城·中考真题）在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（   ） A．若，则长的取值范围是 B．若，则的长可以是 C．若，则长的最小值是 D．若，则长的最大值是 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、三角形的三边关系和勾股定理的应用，正确的画出图象是解决本题的关键． 根据垂径定理可得，且，设，则，当时，M轨迹为圆，求出范围；当时，可得点M在以P为圆心、2为半径的圆上，且M在圆内，结合三角形三边关系可得，再根据和求解即可． 【详解】解：∵半径为2，点M为弦中点， ∴，且， 设，则， 若，则，， ∵， ∴为P到M的距离，如下图， ∴，， ∴不成立，A选项错误，不符合题意； ∵， ∴不可以为，B选项错误，不符合题意； 若，， 由题意得，点M在以P为圆心、2为半径的圆上（），且M在圆内，如图， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 得，； 由， ∵， ∴， ∴，最大值为， ∴C选项错误，不符合题意； ∴D选项正确，符合题意． 故选D． 【真题演练2】（2025·浙江温州·中考真题）如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 【真题演练3】（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质以及运用勾股定理求线段长度，理解圆的对称性并运用对称性作相关辅助线是解题关键．取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F．先求的长度，再证明，从而证明，最后运用矩形的判定及性质以及勾股定理求出的长． 【详解】解：取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F． ∵D为弦的中点，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵D为弦的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为上一动点，连接，过点C作垂直直线于点H，连接，则弦的长度为______，点M在运动过程中，线段的长度的最大值为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 连接，由题意得，，先由勾股定理求解，然后根据垂径定理得到，连接，取中点，连接，确定点在以为圆心，为半径的圆上运动，则，由等腰三角形的性质得到，则，再由，得到，故当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值为． 【详解】解：连接 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值为 故答案为：，． 【真题演练5】（2025·浙江丽水·中考真题）图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算． （1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长； （2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）知，故； 设，则． ∴． 在中，根据勾股定理，； 在中，同理得． ∵， ∴， 解得，即． 在中，， 即的半径． ∴； 答：公路隧道轮廓的最大高度为． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可知，，结合垂径定理，可求得，然后利用勾股定理在以及中可分别求得以及． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理． 过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答． 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】连接，先根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为，则， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 解得， 即的半径为5． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 5．（25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东湛江·期末）唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为___________ 【答案】/2米 【分析】利用垂径定理求出，再根据勾股定理求出，即可由求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴在中， ∴． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意，得，，则，在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵为， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得 即排水管截面的半径为， 故答案为： 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】证明见解析 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 9．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半径为的中，弦于，分别以、，，为边作正方形，，，，若记这四个正方形的面积分别为 ，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，正方形的面积计算，勾股定理，完全平方公式的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．取的中点，的中点，连接、、、，则，，由垂径定理可得，，，可证明四边形是矩形，利用线段之间的和差关系表示出、，利用完全平方公式进行化简，以及勾股定理进行等量代换，即可得解． 【详解】解：如图所示，取的中点，的中点，连接、、、，则，， 由垂径定理可得，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C．垂直平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理，平行线的判定和性质．解题的关键是灵活运用以上知识点解决问题． 选项：根据作图可得，根据圆周角定理，可得，进而可得； 、选项：通过证明，得到，根据圆周角定理的推论和三角形中位线定理，得到垂直平分线段，继而根据垂径定理，得到； 选项：根据不一定等于，得到不一定等于． 【详解】解：由作图可知， 又 ， ，选项正确，不符合题意； ， ， ， 如图，设和交于点， ， 又， ， 垂直平分线段，，选项、正确，不符合题意； 的度数未知，和互余，但不一定等于， 不一定等于，选项符合题意． 故选：． 3．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为，交于点，交于点，连接．给出下面四个结论： ①，②四边形是菱形， ③；④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】对于①利用弦相等则弦心距相等，结合定理证明直角三角形全等，从而得到圆心角相等． 对于②③：先由两组对边分别平行证出四边形是平行四边形，再结合①中得到的角相等，证明邻边相等，从而得出菱形，进而得到． 对于④：先通过垂径定理求出的长度，再用勾股定理求出的长度，最后利用平行线分线段成比例求出的长度． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴（）． ∴．故①正确． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形．故②正确． ∴．故③正确． ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∵四边形是菱形， ∴．设，则，． ∵，， ∴． 在中，， 即． 解得． ∴．故④正确． 综上，①②③④均正确． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 【详解】解：过作于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图：连接、，过点B作于点F，过点F作于点S，作于点T，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解即可． 【详解】解：如图：连接、，过点B作于点F，过点F作于点S，作于点T， ∵四边形为矩形， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵B为弧的中点， . ， ∵，半圆O的直径为，， ，即F与圆心O重合，， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵， . 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在四边形中，，，，圆心在线段上的交于点E、F，交于点G、H，且，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接，作，作交的延长线于点，证明平分，进而推出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，作，作交的延长线于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 (1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，在上作点D，使； (2)在图②中，经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，连接，，请在上作点E，使平分，并在上作点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用矩形的对称性，通过取格点N，确定圆心O，再运用全等三角形的性质与判定，取格点M，从而得到，连接，有圆的对称性，得到； （2）运用垂径定理确定点Q，从而得到平分，再构造三角形的中位线，得到． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，则O即为圆心，取格点M，连接，则，连接，则； （2）解：如图，根据网格的特点取的中点P，连接并延长交于点Q，连接交于点E，根据垂径定理可得，则； 连接，并延长交网格线于点H，则，连接交网格线于点G，则，则； 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点C是弦的中点，连接并延长交于点D.若，，求的半径． 【答案】13 【分析】连接，根据垂径定理推论得出，由勾股定理可得出的长． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，根据垂径定理推论得出， 根据圆的性质，得， 又， 故， 由勾股定理可得， 故 解得， 故的半径为13． 10．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的直径，，点，在上，连结，，取，的中点，，连结，． (1)若，求的长． (2)若，，求的长． (3)若，，请用的代数式表示的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知，，利用勾股定理求出的长度； （2）过点作，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理即可求出的长度； （3）根据，可知，过点作，即可求出，连结，根据三角形中位线定理可知，根据垂径定理可知，过点作，根据直角三角形的性质可知，，在中，利用勾股定理可得与的关系． 【详解】（1）解： 是的直径，， ， ，点为的中点， ，， ； （2）解：如下图所示，过点作， ，点是的中点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ； （3）解：如下图所示，连结、、，过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 点、分别是、的中点， ，，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 整理得：，（负值舍去） 解得： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $