第七单元运用数量关系解决问题（专项训练）-2026-2027学年四年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦数量关系应用，以行程、经济问题为核心，通过公式提炼与情境变式构建系统性解题方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|12题（如1/5/18）|相遇时间=路程和÷速度和；追及时间=路程差÷速度差|从基础相遇（相向）到变式（相背/环形/中点相遇），构建行程问题公式体系| |经济问题|8题（如6/8/10）|单价=总价÷数量；最优方案=人均成本比较+余数调整|从单一购物到租车优化，体现“总价-单价-数量”关系的实际应用| |综合应用|10题（如3/11/25）|归总法（路程=速度×时间）；方程法（等量关系建模）|整合行程与经济问题，通过线段图/方程强化数量关系可视化与模型意识|

第七单元 运用数量关系解决问题 1．甲、乙两辆汽车同时从相距700千米的两地相对开出，经过5小时相遇。已知甲车每小时行驶68千米，乙车每小时行驶多少千米？ 2．客车、货车分别从甲、乙两地相向而行，客车速度是80千米/时，货车速度是75千米/时，3小时后两车还相距45千米，甲、乙两地相距多少千米？（先画线段图，标清已知条件和问题，再列式解答。） 3．一辆汽车从甲地开往相距456千米的乙地，前3小时行驶了228千米，照这样的速度，行完全程一共要多少小时？ 4．四（1）班杨小小同学家距离学校有6850米。如果她爸爸骑电动车以平均每分钟行驶445米的速度送她上学，从家到学校骑车15分钟能到吗？ 5．小芳和小华两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，反向而行，小芳的速度是240米每分钟，小华的速度是260米每分钟，经过多少分钟后，两人第一次相遇？ 6．实验小学16名老师带344名学生去博物馆。每辆大客车限载50人，租金350元；每辆小客车限载30人，租金220元。怎样租车最省钱？需要多少钱？ 7．甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是48千米/时。经过多少小时后两车相距216千米？ 8．苏宁家电商场昨天上午卖出3台电风扇，下午又卖出同样的5台电风扇。下午卖出的电风扇比上午多收入860元，每台电风扇是多少元？ 9．王大爷带了900元钱，买了15袋化肥，还剩30元。每袋化肥的价钱是多少元？ 10．学校买来27盒钢笔准备给“六一”表彰的同学作奖品，每盒15支，单价是12元/支，一共花去多少元？ 11．小红家到少年宫的路程是800米。一天，小红和妹妹同时从家去少年宫，妹妹每分钟步行50米，小红以每分钟150米的速度骑自行车到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇，这时妹妹步行了几分钟？ 12．食堂买进80袋大米，每袋重25千克，每千克大米5元，买进这些大米共付了多少元？ 13．小明每分钟走78米，他2分钟能走多少米？小明家到学校有780米，他从家到学校需要走多少分钟？ 14．每个乒乓球2元，买98个乒乓球的钱正好可以买4副乒乓球拍。平均每副乒乓球拍多少元？ 15．重阳节，奇思妈妈到敬老院看望老人，妈妈的储值卡里原有100元，买了3千克苹果，还剩46.6元。每千克苹果多少元？ 16．他们游玩过程中突发奇想，挑战数一数一共有多少摊位，他们从美食街的两端出发，全长640米，他们两人8分钟相遇，已知张明每分钟走45米，请你算一算王强每分钟走多少米？ 17．一辆货车从甲地运蔬菜到乙地，去时平均每小时行驶80千米，6小时运到。回来时按原路返回，5小时就回到了甲地。这辆货车返回时平均每小时行驶多少千米？ 18．AB两地相距540千米，甲乙两车在上午8时从AB两城相向开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶100千米，两车将在什么时刻相遇？ 19．A、B两地相距300千米，甲车要5小时行完全程，乙车要4小时行完全程。甲车每小时比乙车每小时慢多少千米？ 20．甲、乙两人从相距790米的两地相向而行，甲每分步行70米，乙每分步行50米。甲出发1分后，乙再出发，再过多少分两人相遇？ 21．甲乙两艘轮船分别同时从AB两个码头出发，相向而行，甲船每时行86km，乙船每时行52km。 （1）若3时后两船还没有相遇且两船相距46km，求AB两个码头相距多少千米？ （2）若两船相遇后继续前进至相距46km时正好经过3小时，求AB两个码头相距多少千米？ 22．学校跳绳队一共有52人，其中女生有24人。跳绳队男生有多少人？（先找出总量和分量，写出数量关系，再解答） 23．走一段2720米的路程，小强前一半的路程每分钟走了40米，后一半的路程每分钟比前一半路每分钟少走了20米，小强走完这段路一共需要多长的时间？ 24．启星小学三年级4个班学生在献爱心捐款活动中，（1）班捐款428元，（2）班捐款386元，（3）班捐款472元，（4）班捐款414元。三年级4个班一共捐款多少元？ 25．A、B两地相距489千米，甲、乙两列火车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行85千米，3小时后与乙车相遇。乙车每小时行多少千米？（列方程解决问题） 26．快、慢两车从甲、乙两地同时相向而行，4小时后在距离两地中点75千米的地方相遇，相遇时快、慢两车所行的路程比是3∶2。甲、乙两地相距多少千米？ 27．两个港口相距210千米。一艘客轮和一艘货轮同时从两个港口相对开出，经过5小时相遇。客轮的速度是27千米/时，货轮的速度是多少千米/时？ 28．甲，乙两辆车分别从相距840千米的两地相向而行。经过6小时相遇。甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？ 29．一辆客车从甲地到乙地，去时平均速度96千米/时，6小时到达乙地；回来用了8小时返回甲地，求返程的平均速度。（先将题中已知条件和所求问题用线段图表示出来，再综合列式计算） 30．一条环湖路全长3千米，两个同学分别从路的同一点出发，沿着相反的方向步行，一个人的速度是65米/分，另一个人的速度是70米/分，经过20分钟两人能相遇吗，两人相距多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．72千米 【分析】根据路程÷相遇时间＝速度和，先求出甲、乙两车的速度之和，再减去甲车的速度，即可求出乙车的速度。 【详解】700÷5－68 ＝140－68 ＝72（千米） 答：乙车每小时行驶72千米。 2．见详解 【分析】先根据：速度之和×相遇时间＝路程，求出3小时两辆车行的路程，然后加上3小时后两车的相距的路程45千米即可。 【详解】 （80＋75）×3＋45 ＝155×3＋45 ＝465＋45 ＝510（千米） 答：甲、乙两地相距510千米。 3．6小时 【分析】根据前3小时行驶了228千米，用除法计算出速度，再根据速度不变，总路程已知，再总路程除以速度计算出全程需要的时间，据此解答。 【详解】 答：行完全程一共要6小时。 【点睛】熟练掌握速度、时间、路程之间的关系并灵活运用是解答本题的关键。 4．不能 【分析】根据速度×时间＝路程，用她爸爸骑电动车的速度乘15分钟，求出15分钟可以骑的路程，然后再与6850米进行比较即可。 【详解】445×15＝6675（米） 6675米＜6850米 答：从家到学校骑车15分钟不能到。 5．0.8分钟 【分析】根据相遇时间＝路程和÷速度和，列式解答即可。 【详解】400÷（240＋260） ＝400÷500 ＝0.8（分钟） 答：经过0.8分钟后，两人第一次相遇。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。 6．租6辆大客车2辆小客车；2540元 【分析】根据题意，先用16＋344求出一共有多少人，用租金除以限载人数，分别求出每种车的人均单价是多少，尽量租便宜的，用人数除以限载人数，看余数是否正好可以租另一种车，或者少租一辆便宜的车改成租两辆另一种车，用每种车的辆数乘租金，最后相加即可求出一共需要多少钱。 【详解】16＋344＝360（名） 大客车：350÷50＝7（元） 小客车：220÷30＝7（元）……10（元） 小客车人均大于7元，所以尽量租大客车。 360÷50＝7（辆）……10（人） 租7辆大车1辆小客车：7×350＋220＝2450＋220＝2670（元） 360－（6×50） ＝360－300 ＝60（人） 60÷30＝2（辆） 租6辆大客车2辆小客车：6×350＋2×220＝2100＋440＝2540（元） 2540＜2670 答：租6辆大客车2辆小客车最省钱，需要2540元。 7．2.4小时 【分析】相背而行意味着它们朝相反方向行驶，所以它们之间的距离在增加，当两车相距216千米时，也就是甲乙两车的路程之和是216千米，根据路程＝速度×时间，则路程＝甲车速度×行驶时间＋乙车的速度×行驶时间，行驶的时间相同，因此行驶的时间＝路程÷（甲车速度＋乙车速度），代入相应数值计算，所得结果即为经过多少小时后两车相距216千米。 【详解】216÷（42＋48） ＝216÷90 ＝2.4（小时） 答：经过2.4小时后两车相距216千米。 8．430元 【分析】先算出下午比上午多卖的电风扇台数，多收入的860元就是多卖台数的总价，根据：单价＝总价÷数量的关系计算单价。 【详解】860÷（5－3） ＝860÷2 ＝430（元） 答：每台电风扇是430元。 9．58元 【分析】用王大爷带的钱减去剩下的钱等于买化肥的钱，再除以袋数即可解答。 【详解】（900－30）÷15 ＝870÷15 ＝58（元） 答：每袋化肥的价钱是58元。 【点睛】本题主要考查学生对总价、单价和数量三者之间关系的掌握和灵活运用。 10．4860元 【分析】每盒支数乘盒数等于钢笔总支数，再乘每支单价即可解答。 【详解】15×27×12 ＝405×12 ＝4860（元） 答：一共花去4860元。 【点睛】熟练掌握整数乘法计算方法是解答本题的关键。 11．8分钟 【分析】小红和妹妹共同走了两个800米的路程，用她们共同走的路程除以她们的速度和即可解答。 【详解】800×2÷（50＋150） ＝1600÷200 ＝8（分钟） 答：这时妹妹步行了8分钟。 【点睛】本题相当于小红和妹妹共同走完两个800米的路程。 12．10000元 【分析】买进大米的袋数×每袋的重量＝买进大米的总重量，单价×数量＝总价，依此列式并计算。 【详解】80×25＝2000（千克） 2000×5＝10000（元） 答：买进这些大米共付了10000元。 【点睛】此题考查的是经济问题的计算，熟练掌握总价、单价、数量之间的关系是解答此题的关键。 13．156米；10分钟 【分析】小明的速度乘他行走的时间即可求出他2分钟走的路程；用家到学校的路程除以小明行走的速度等于家到学校行走需要的时间。 【详解】78×2＝156（米） 780÷78＝10（分钟） 答：他2分钟能走156米，他从家到学校需要走10分钟。 【点睛】熟练掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解答本题的关键。 14．49元 【分析】根据题意，买98个乒乓球的总钱数等于买4副乒乓球拍的总钱数。首先利用“单价×数量＝总价”求出买乒乓球的总钱数，再利用“总价÷数量＝单价”求出每副乒乓球拍的价格。 【详解】 （元） 答：平均每副乒乓球拍49元。 15． 17.8元 【分析】用卡里原有的钱减去剩余的钱是买苹果花掉的钱。根据“买苹果花掉的钱÷苹果重量＝每千克苹果多少钱”列式解答。 【详解】 （元） 答：每千克苹果17.8元。 16． 35米/分 【分析】本题属于行程问题中的相遇问题。已知总路程为 640 米，相遇时间为 8 分钟，可以先求出两人的速度和。又已知张明的速度，用速度和减去张明的速度，即可求出王强的速度。 【详解】640÷8－45 ＝80－45 ＝35（米/分） 答：王强每分钟走35米。 17．96千米 【分析】首先根据速度×时间＝路程，用货车去时的速度乘去的时间，求出两地之间的距离是多少；然后用它除以返回用的时间，求出货车返回时平均每小时行驶多少千米即可。 【详解】80×6÷5 ＝480÷5 ＝96（千米） 答：返回时平均每小时行驶96千米。 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两地之间的距离是多少。 18．11时 【分析】根据“相遇时间＝路程和÷速度和”求出相遇时间，进而得出相遇时刻。 【详解】540÷（80＋100） ＝540÷180 ＝3（小时） 8时＋3小时＝11时 答：两车将在11时相遇。 【点睛】明确“相遇时间＝路程和÷速度和”是解题的关键。 19．15千米 【分析】根据“速度＝路程÷时间”计算出甲乙两车的速度，再计算两车的速度差即可。 【详解】300÷4－300÷5 ＝75－60 ＝15（千米） 答：甲车每小时比乙车每小时慢15千米。 【点睛】掌握路程、时间、速度之间的数量关系是解答题目的关键。 20．6分 【分析】甲先出发分，行走了一段路程，这段路程需要从总路程中减去，剩余的路程才是甲、乙两人共同行走的路程和。根据数量关系“相遇时间路程和速度和”，用剩余路程除以甲、乙的速度和，即可求出乙出发后两人相遇所需的时间。 【详解】 （分） 答：再过分两人相遇。 21．（1）460千米 （2）368千米 【分析】（1）甲、乙两船行驶的路程＝甲、乙两船的速度之和×两船行驶的时间长，甲、乙两船行驶的路程＋46千米＝AB两个码头的距离，依此计算； （2）甲、乙两船行驶的路程＝甲、乙两船的速度之和×两船行驶的时间长，甲、乙两船行驶的路程－46千米＝AB两个码头的距离，依此计算。 【详解】（1）（86＋52）×3 ＝138×3 ＝414（千米） 414＋46＝460（千米） 答：AB两个码头相距460千米。 （2）414－46＝368（千米） 答：AB两个码头相距368千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题的计算，应先理解题意，并找出数量关系后再计算。 22．总量；跳绳队总人数 分量：跳绳队女生人数和跳绳队男生人数 数量关系：跳绳队总人数－跳绳队女生人数＝跳绳队男生人数 28人 【分析】根据题意，跳绳队总人数是总量，女生人数和男生人数是分量。已知总量和其中一个分量（女生人数），求另一个分量（男生人数），根据减法的意义，用总量减去已知分量计算。 【详解】总量；跳绳队总人数 分量：跳绳队女生人数和跳绳队男生人数 数量关系：跳绳队总人数－跳绳队女生人数＝跳绳队男生人数 52－24＝28（人） 答：跳绳队男生有28人。 23．102分钟 【分析】用总路程除以2，求出一半的路程是多少，用一半的路程除以前一半的速度求出前一半所用的时间；求出后一半的路程每分钟走多少米，再用一半的路程除以后一半的速度，求出后一半所有的时间，把两个时间相加即可。 【详解】一半的路程是：2720÷2＝1360（米） 前一半所用的时间：1360÷40＝34（分钟） 后一半所有的时间： 1360÷（40－20） ＝1360÷20 ＝68（分钟） 34＋68＝102（分钟） 答：小强走完这段路一共需要102分钟。 【点睛】此题用分步解答，比较清晰，分别求出前一半、后一半各用的时间是解答此题的关键。 24．1700元 【分析】根据总量＝分量＋分量，把三年级4个班的捐款数加起来，即求到4个班一共捐款的钱数。据此解答。 【详解】428＋386＋472＋414 ＝814＋472＋414 ＝1286＋414 ＝1700（元） 答：三年级4个班一共捐款1700元。 25．78千米 【分析】将乙车的速度设为未知数，再根据相遇时“甲车路程＋乙车路程＝两地距离”这一等量关系列方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 85×3＋3x＝489 255＋3x＝489 3x＝489－255 3x＝234 x＝234÷3 x＝78 答：乙车每小时行78千米。 【点睛】本题考查了相遇问题，两车同时相向而行，相遇时路程和恰好等于两地的距离。 26．750千米 【分析】由题意可知相遇时快车比慢车多行的路程为75×2＝ 150(千米)，两车行驶的路程差占总路程的（），由“路程差÷路程差所对应的分率＝总路程”即可解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝750（千米） 答：甲、乙两地相距750千米。 27．15千米/时 【分析】已知两个港口相距210千米（总路程），两船经过5小时相遇（相遇时间）。根据“速度和＝总路程÷相遇时间”，可得速度和为：（210÷5）（千米/时）。客轮速度是27千米/时，用两船速度和减去客轮速度，即用（210÷5）减去27计算可得货轮速度。 【详解】210÷5－27 ＝42－27 ＝15（千米/时） 答：货轮的速度是15千米/时。 28．65千米 【分析】用相遇路程除以相遇时间，求出两辆车的速度和，再减去甲车的速度，即可求得乙车的速度。 【详解】840÷6－75 ＝140－75 ＝65（千米） 答：乙车每小时行65千米。 【点睛】本题考查相遇问题，解答本题的关键是掌握相遇问题中的数量关系式。 29．72千米/时 【分析】根据路程＝速度×时间，求出甲地到乙地的路程。再根据速度＝路程÷时间，求出返程的平均速度。 【详解】 96×6÷8 ＝576÷8 ＝72（千米/时） 答：返程的平均速度是72千米/时。 【点睛】本题考查归总问题，先求出总量，再求单一量。熟练掌握公式路程＝速度×时间、速度＝路程÷时间。 30．不能；300米 【分析】根据路程＝速度×时间，用54×20先求出第一个人20分钟步行的距离，用70×20求出另一个人20分钟步行的距离，相加即可求出两人一共步行的距离，将步行的距离和环湖路的长度比较，如果大于或等于则能相遇，如果小于则用环湖路的长度减去两人一共步行的距离即可求出两人相距多少米。计算一共步行的距离时可以利用乘法分配律简便计算。 【详解】65×20＋70×20 ＝（65＋70）×20 ＝135×20 ＝2700（米） 3千米＝3000米 2700＜3000 3000－2700＝300（米） 答：经过20分钟两人不能相遇，两人相距300米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $