第11讲等边三角形 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第11讲 等边三角形 目录 知识点1 等边三角形基础定义 2 知识点2 等边三角形核心性质（必考） 2 知识点3 等边三角形三种判定方法 2 知识点4 含30°角的直角三角形性质（衔接必考） 2 知识点5 最短路径（将军饮马）核心原理 3 题型1 根据等边三角形的性质求线段长度 3 题型2 根据等边三角形的性质求角度 8 题型3 等边三角形的判定 11 题型4 等边三角形的判定和性质综合 17 题型5 含30度的直角三角形 22 题型6 最短路径问题 26 1. 知识目标：掌握等边三角形的定义、性质与三种判定方法，厘清等边三角形与等腰三角形的从属关系；巩固含30°直角三角形核心性质；掌握轴对称最短路径（将军饮马）问题的原理与解题模型。 2. 能力目标：能利用等边三角形性质快速求解线段长度、角度；可独立判定等边三角形，熟练掌握性质与判定的综合应用；精准解决含30°直角三角形计算问题与等边背景下的最短路径最值题型。 3. 素养目标：强化边角转化、数形结合、模型化归思维，掌握几何最值问题的转化思路，规范几何推理步骤，完善轴对称与特殊三角形知识体系。 知识点1 等边三角形基础定义 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 2. 图形特征：轴对称图形，共有3条对称轴，为三边的垂直平分线。 知识点2 等边三角形核心性质（必考） 1. 边角性质：三条边全部相等，三个内角全部相等，且每个内角均为60°。 2. 三线合一强化：等边三角形三条边上的高、中线、内角平分线全部重合且相等，三组三线合一同时成立。 3. 拓展性质：等边三角形任意边上的高、中线、角平分线长度相等，内外角度固定，计算推理无需额外推导。 知识点3 等边三角形三种判定方法 1. 边判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法）。 2. 角判定：三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。 3. 边角判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用、最高频）。 核心技巧：做题优先判定等腰，再找60°角，即可快速证等边。 知识点4 含30°角的直角三角形性质（衔接必考） 1. 核心定理：在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 2. 逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°。 3. 关联等边三角形：等边三角形作高，可分割出两个全等的含30°直角三角形，是题型高频组合模型。 知识点5 最短路径（将军饮马）核心原理 1. 理论依据：两点之间，线段最短；点到直线，垂线段最短。 2. 核心模型（单直线动点）：直线同侧两定点，求直线上一动点到两定点距离和最小值。 3. 解题原理：作其中一个定点关于直线的对称点，对称点与另一定点的线段长即为最短距离，线段与直线交点为动点最佳位置，利用轴对称实现折线段转直线段。 4. 等边专属优势：等边三角形三边等长、三角60°、三线合一，可快速计算最短路径长度。 题型1 根据等边三角形的性质求线段长度 解题技巧（等边等长+分割代换法） 1. 基础秒杀：等边三角形三边完全相等，已知任意一边长，可直接得出另外两边长度； 2. 三线应用：利用三线合一，中线、高平分对应边长，快速求半段线段长度； 3. 分割计算：等边作高分割为两个含30°直角三角形，结合30°边长性质求高、线段长； 4. 综合代换：结合线段和差、中点、全等性质，等量代换求解复杂线段。 【典例1】．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式1】．如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质求出边长和角度，利用含角的直角三角形性质，依次求出、、的长，最后在中求出即可． 【详解】解：是等边三角形，， ，， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【变式2】．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】 或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 题型2 根据等边三角形的性质求角度 解题技巧（60°基准+多层推导法） 1. 固定基准：等边三角形三内角均为60°，所有基础角度直接锁定； 2. 三线求角：三线合一可直接推出30°、90°特殊角，无需复杂计算； 3. 综合推导：结合三角形内角和、外角性质、平行线、折叠、垂直关系，逐层代换求复合角度； 4. 模型速算：多等边组合图形，利用公共角、等角叠加，快速推导未知角度。 【典例2】．如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【变式1】．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 【答案】120 【分析】作点关于直线的对称点，利用轴对称的性质将转化为，根据三角形两边之差小于第三边的原理，确定；由等腰直角三角形和角度的倍角关系求得，再结合轴对称性质与等腰直角三角形性质，证明为等边三角形，最终由平角关系算出的度数． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，，连接并延长交的延长线于点，当、、三点共线时，的值最大，，连接， 是等腰直角三角形， ，，． ，即， ， ，． 和关于直线对称，结合轴对称的性质可知， ，，． ， ， ， ． ， 是等边三角形，， ． 题型3 等边三角形的判定 解题技巧（三判择优秒杀法） 1. 三边相等优先：题干给出三组边长相等，直接用定义判定； 2. 三角相等优先：题干角度条件充足，证三角均为60°即可判定； 3. 等腰+60°最优（高频）：先证三角形等腰，再找到任意一个60°内角，直接判定等边，步骤最简； 4. 书写规范：先凑判定条件，再下等边结论，逻辑严谨不跳步。 【典例3】．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 【变式1】．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 【变式2】．在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 【变式3】．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【分析】延长交于点N，根据角平分线的定义及三角形内角和定理可得，即得，即可判定；由，平分，可得，再证明，可得，即可判定；证明，可得，再根据等腰三角形的性质得到，即可判定；根据已知条件无法判定或，判定；由可知，，则，证明，可得，可得，再由，，判定． 【详解】解：如图，延长交于点N， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故④错误； 由可知，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由可知， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论有． 题型4 等边三角形的判定和性质综合 解题技巧（先判后用闭环法） 1. 第一步定性：根据题干边角条件，选用最优判定方法，证明三角形为等边三角形； 2. 第二步定量：利用等边三边相等、三角60°、三线合一性质，求解边长、角度、周长； 3. 综合拔高：结合全等三角形、平行线、角平分线，完成多层推理证明； 4. 解题逻辑：先判定图形形状，再套用性质解题，是几何综合题固定套路。 【典例4】．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 【变式1】．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 【变式3】．【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 【答案】(1)解：如图，线段与的数量关系：． 理由：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)证明：如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）按题中条件补全图形，证明是等边三角形，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图，在上截取，连接，推出，证明、是等边三角形，推出，证明，得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型5 含30度的直角三角形 解题技巧（30°对边减半+等边拆分双用法） 1. 核心公式：Rt△中，30°角对的直角边=斜边的一半，可双向推导边长与角度； 2. 等边联动：等边三角形作高，天然拆分两个全等的含30°直角三角形，是考试高频组合模型； 3. 计算套路：已知斜边求短直角边、已知短直角边求斜边，快速口算； 4. 易错规避：定理仅适用于直角三角形，普通三角形严禁套用。 【典例5】．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 【变式1】．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，A，B分别是x轴，y轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若，，则点C到的距离是________． 【答案】3 【分析】如图，过点C作于点D，首先求出，由角平分线求出，得到，然后根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴点C到的距离是3． 【变式3】．如图，在中，，． (1)请利用尺规作图法，在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别是、、（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点是的中点，连接，与相等吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：与相等,理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点作的垂线，与的交点即为点； （2）根据线段的中点，得到，根据直角三角形中，角所对直角边等于斜边一半，得到，即可说明． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 最短路径问题 解题技巧（对称翻折+化折为直秒杀法） 1. 模型识别：直线上有一动点，求线段和最小值，即为将军饮马最短路径模型； 2. 固定步骤：作定点关于动点所在直线的对称点→连接对称点与另一定点→线段长度即为最短路径； 3. 等边专属技巧：利用等边60°角、三边等长、三线合一，快速计算对称后线段长度； 4. 核心原理：通过轴对称转化线段，将折线和转化为两点之间直线段，依据线段最短定理求值。 【典例6】．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵点B和点关于直线l对称，且点C在l上， ∴， ∵交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴，即． 任取直线l上一点，与点C不重合，则， 即是的最小值． 综上，用到的知识或方法有转化思想、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边； 没有用到的知识或方法是：垂线段最短． 【变式1】．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 【变式2】．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 【变式3】．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 1．如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用三角形内角和得出，再由邻补角求解即可． 【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ， 剪下的小三角形的顶角为， 设小三角形右侧的内角为， ， 与互为邻补角， ∴． 2．在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 3．下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 【答案】B 【分析】先写出各选项中原命题的逆命题，再结合直角三角形的性质、对顶角的定义、等边三角形的性质及全等三角形的性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， B．原命题的逆命题为相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项符合题意， C．原命题的逆命题为每个内角都是的三角形是等边三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， D．原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意． 4．如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手与地面平行．后轮支撑结构为，前轮支撑结构互相平行．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明是等边三角形，得到，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③：④．则上述结论中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，即得，进而得到，得到，即可判定①；由 得，可证，即可判定②；由得，可证，即可判定③；由可知不是等边三角形，而为等边三角形，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， 、、三点共线， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ，故②正确； ， 在和中， ， ，故③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，故④错误； 综上，结论中正确的是①②③． 7．如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ． 故选：A． 8．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 9．如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论：①；②；③为等边三角形；④，其中结论正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据证明即可；根据全等三角形的性质得出，再求出即可；证明， 得出，再根据，得出为等边三角形即可；根据题目中的已知条件，无法说明． 【详解】解：∵、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ，故①正确； ， ∵， ，故②正确； 在和中， ∴， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴只有当平分时，，才能证明，才能说明， ∵无法说明平分， ∴无法证明，故④错误； 综上，正确的有3个． 10．如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，再通过三角形的外角性质即可判断；设，则，所以，再通过角度和差，即可判断；由，则有，可得，即，即可判断；延长到，使，连接，证明，，通过全等三角形的性质等知识，即可判断． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故错误； ， 设，则， ， ， ， ， 又， ，故正确； ， ， ， ，即， ， ，故错误； 延长到，使，连接，如图， 又，， ， ， 又，， ，即， 又， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ，故正确， 综上可得：正确． 11．如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【分析】由，得到是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出，再由，推出，从而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长________． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由作图痕迹得出，进而判定为等边三角形，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形， ． 13．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：． 14．如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分边，，从而得到，进而得到点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是边上高， ∴垂直平分边，， ∴， ∴， 即点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵点E是边的中点， ∴BE是边的高， ∴， ∴， 即的最小值为4． 15．如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 【答案】4 【分析】通过等腰三角形的定义得到，结合已知条件利用导角可求得，从而证得是等腰直角三角形，并求得，利用轴对称的性质可得周长的最小时为的长度，证明是等边三角形，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 设，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点M、N分别为、上的动点， 如图，作点F关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，与交点，与交点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，即点在上， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即周长的最小值为4． 16．如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵在中，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【详解】略 17．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴, 同理可得， ∴是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可证明是等边三角形． 【详解】证明：略． 18．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵点M是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）根据题意得出，再由等边三角形的性质得出，，利用线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 19．如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）由题意，分析出的最小值与最大值情况即可得到答案； （2）设，根据平行性质、等边三角形性质及三角形内角和定理列式求解即可； （3）由等边三角形性质、平行线性质得到相关线段及角度关系，再由三角形全等的判定与性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点时，有最小值，为； 当点在中点时，有最大值，如图所示： 最大值为， 综上所述，的取值范围是； （2）解：设， ， ，， 则， 在等边中，，则， ， ， 则，解得， 在中，，，则； （3）解：在等边中，，， ， ， ，，， 是等边三角形，即， 则， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，则． 20．综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1)C (2)，且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略； （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 21．数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段及角之间的关系． 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． (1)如图1，点在边上，试说明：： 【类比探究】 (2)如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想与之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 (3)点为射线上的动点（点不与点，点重合），在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：猜想，证明如下： 如图2所示，设交于点T， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)当点D在上时，；当点D在的延长线上时， 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用证明得到，则可证明，再由结合三角形内角和定理可得； （3）分两种情况：点D在上和点D在的延长线上，证明得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图1所示，当点D在上时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图2所示，当点D在的延长线上时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，当点D在上时，；当点D在的延长线上时，． 22．探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【答案】(1)如图，点P为所求； (2)证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)元． 【分析】（1）过点作关于直线l的对称点（过点作关于直线l的垂线，以垂足为圆心，垂足到点的距离长为半径在直线l的另一侧画弧，交垂线于点），连接交直线l于点P，即可使得的值最小； （2）由和可得，从而，故； （3）延长交于点，连接，过点作交于点，连接，故，，由和得，故，故，，由和得，从而，故，从而，因此，故点作关于的对称点为，由（1）得的最小值为，由点是的中点得，米，计算可得安装灯带的最少费用． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图③，延长交于点，连接，过点作交于点，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 点作关于的对称点为， 点在上， 在和中， ， ， ， ，当且仅当点三点共线时，取等号． 点是的中点， ， 为边上的高，长度为米， 安装灯带最短为米， 元， 答：安装灯带的最少费用是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等边三角形 目录 知识点1 等边三角形基础定义 2 知识点2 等边三角形核心性质（必考） 2 知识点3 等边三角形三种判定方法 2 知识点4 含30°角的直角三角形性质（衔接必考） 2 知识点5 最短路径（将军饮马）核心原理 3 题型1 根据等边三角形的性质求线段长度 3 题型2 根据等边三角形的性质求角度 4 题型3 等边三角形的判定 6 题型4 等边三角形的判定和性质综合 7 题型5 含30度的直角三角形 9 题型6 最短路径问题 10 1. 知识目标：掌握等边三角形的定义、性质与三种判定方法，厘清等边三角形与等腰三角形的从属关系；巩固含30°直角三角形核心性质；掌握轴对称最短路径（将军饮马）问题的原理与解题模型。 2. 能力目标：能利用等边三角形性质快速求解线段长度、角度；可独立判定等边三角形，熟练掌握性质与判定的综合应用；精准解决含30°直角三角形计算问题与等边背景下的最短路径最值题型。 3. 素养目标：强化边角转化、数形结合、模型化归思维，掌握几何最值问题的转化思路，规范几何推理步骤，完善轴对称与特殊三角形知识体系。 知识点1 等边三角形基础定义 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 2. 图形特征：轴对称图形，共有3条对称轴，为三边的垂直平分线。 知识点2 等边三角形核心性质（必考） 1. 边角性质：三条边全部相等，三个内角全部相等，且每个内角均为60°。 2. 三线合一强化：等边三角形三条边上的高、中线、内角平分线全部重合且相等，三组三线合一同时成立。 3. 拓展性质：等边三角形任意边上的高、中线、角平分线长度相等，内外角度固定，计算推理无需额外推导。 知识点3 等边三角形三种判定方法 1. 边判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法）。 2. 角判定：三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。 3. 边角判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用、最高频）。 核心技巧：做题优先判定等腰，再找60°角，即可快速证等边。 知识点4 含30°角的直角三角形性质（衔接必考） 1. 核心定理：在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 2. 逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°。 3. 关联等边三角形：等边三角形作高，可分割出两个全等的含30°直角三角形，是题型高频组合模型。 知识点5 最短路径（将军饮马）核心原理 1. 理论依据：两点之间，线段最短；点到直线，垂线段最短。 2. 核心模型（单直线动点）：直线同侧两定点，求直线上一动点到两定点距离和最小值。 3. 解题原理：作其中一个定点关于直线的对称点，对称点与另一定点的线段长即为最短距离，线段与直线交点为动点最佳位置，利用轴对称实现折线段转直线段。 4. 等边专属优势：等边三角形三边等长、三角60°、三线合一，可快速计算最短路径长度。 题型1 根据等边三角形的性质求线段长度 解题技巧（等边等长+分割代换法） 1. 基础秒杀：等边三角形三边完全相等，已知任意一边长，可直接得出另外两边长度； 2. 三线应用：利用三线合一，中线、高平分对应边长，快速求半段线段长度； 3. 分割计算：等边作高分割为两个含30°直角三角形，结合30°边长性质求高、线段长； 4. 综合代换：结合线段和差、中点、全等性质，等量代换求解复杂线段。 【典例1】．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【变式1】．如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 【变式2】．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【变式3】．在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 题型2 根据等边三角形的性质求角度 解题技巧（60°基准+多层推导法） 1. 固定基准：等边三角形三内角均为60°，所有基础角度直接锁定； 2. 三线求角：三线合一可直接推出30°、90°特殊角，无需复杂计算； 3. 综合推导：结合三角形内角和、外角性质、平行线、折叠、垂直关系，逐层代换求复合角度； 4. 模型速算：多等边组合图形，利用公共角、等角叠加，快速推导未知角度。 【典例2】．如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【变式3】．如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 题型3 等边三角形的判定 解题技巧（三判择优秒杀法） 1. 三边相等优先：题干给出三组边长相等，直接用定义判定； 2. 三角相等优先：题干角度条件充足，证三角均为60°即可判定； 3. 等腰+60°最优（高频）：先证三角形等腰，再找到任意一个60°内角，直接判定等边，步骤最简； 4. 书写规范：先凑判定条件，再下等边结论，逻辑严谨不跳步。 【典例3】．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【变式1】．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式2】．在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【变式3】．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______．（填序号） 题型4 等边三角形的判定和性质综合 解题技巧（先判后用闭环法） 1. 第一步定性：根据题干边角条件，选用最优判定方法，证明三角形为等边三角形； 2. 第二步定量：利用等边三边相等、三角60°、三线合一性质，求解边长、角度、周长； 3. 综合拔高：结合全等三角形、平行线、角平分线，完成多层推理证明； 4. 解题逻辑：先判定图形形状，再套用性质解题，是几何综合题固定套路。 【典例4】．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式1】．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式2】．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【变式3】．【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 题型5 含30度的直角三角形 解题技巧（30°对边减半+等边拆分双用法） 1. 核心公式：Rt△中，30°角对的直角边=斜边的一半，可双向推导边长与角度； 2. 等边联动：等边三角形作高，天然拆分两个全等的含30°直角三角形，是考试高频组合模型； 3. 计算套路：已知斜边求短直角边、已知短直角边求斜边，快速口算； 4. 易错规避：定理仅适用于直角三角形，普通三角形严禁套用。 【典例5】．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，A，B分别是x轴，y轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若，，则点C到的距离是________． 【变式3】．如图，在中，，． (1)请利用尺规作图法，在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别是、、（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点是的中点，连接，与相等吗？为什么？ 题型6 最短路径问题 解题技巧（对称翻折+化折为直秒杀法） 1. 模型识别：直线上有一动点，求线段和最小值，即为将军饮马最短路径模型； 2. 固定步骤：作定点关于动点所在直线的对称点→连接对称点与另一定点→线段长度即为最短路径； 3. 等边专属技巧：利用等边60°角、三边等长、三线合一，快速计算对称后线段长度； 4. 核心原理：通过轴对称转化线段，将折线和转化为两点之间直线段，依据线段最短定理求值。 【典例6】．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式1】．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【变式3】．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 1．如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 4．如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 5．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手与地面平行．后轮支撑结构为，前轮支撑结构互相平行．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③：④．则上述结论中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 7．如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论：①；②；③为等边三角形；④，其中结论正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 11．如图，，，，延长交于F，若，则________． 12．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长________． 13．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 14．如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 15．如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 16．如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 17．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 18．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 19．如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 20．综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 21．数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段及角之间的关系． 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． (1)如图1，点在边上，试说明：： 【类比探究】 (2)如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想与之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 (3)点为射线上的动点（点不与点，点重合），在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 22．探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $