第09讲 图形的轴对称（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第09讲 图形的轴对称 （3大考点12大题型） 学习目标 1. 理解并掌握轴对称、成轴对称的概念； 2. 会识别轴对称图形，数对称轴条数； 3.会区别轴对称和中心对称（补充拓展）； 4.会画垂直平分线。 5.理解并掌握逆命题、互逆命题的概念。 考点整理 一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 知识点一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 题型归纳 【题型1 识别轴对称图形】 1．我国机器人产业持续突破核心技术，为传统产业转型注入强劲动能．下列四个机器人企业的品牌图标中，为轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形，逐一辨析选项图标． 【详解】解：根据轴对称图形概念逐个判断： A：存在竖直对称轴，沿对称轴对折后左右两部分完全重合，是轴对称图形； B：找不到一条直线，使对折后两边重合，不是轴对称图形； C：内部图案不对称，无对称轴，不是轴对称图形； D：齿轮齿形分布不对称，无对称轴，不是轴对称图形． 2．下列运动属于轴对称变换的是（     ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 【答案】B 【分析】将图形沿某条直线对折，得到与原图形成轴对称的图形的变换是轴对称变换．根据轴对称变换的定义，逐一分析各选项的运动类型，排除不符合的选项，得到正确结果． 【详解】解： A．滚动过程中篮球的运动是滚动，不属于轴对称变换； B．一个图形沿某直线对折的过程，符合轴对称变换的定义； C．气球升空的运动是平移，不属于轴对称变换； D．钟表钟摆的摆动是旋转，不属于轴对称变换． 3．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 4．下列绿色、节水、节能、植树造林四个标志中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不是轴对称图形，只有选项C中的图形沿着某直线折叠后，两旁的部分能够重合，因而是轴对称图形． 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 5．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， 故A，B选项正确； 与不平行，故C选项错误； ∵对称， ∴垂直平分，垂足为点N， ∴，故D选项正确 ． 6．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，先根据对称的性质推出，，，从而证明，进而求出两个三角形面积相等，以及，利用面积相等，底相等推出高相等，结合对称性质推出，利用底相同，高的关系通过等量转换求出与的面积之比． 【详解】解：连接并延长交于点，记与的交点为，连接，， 如图所示， 点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ， ，，， ， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， ， ， . 7．如图，在锐角三角形中， 的面积15， 平分交 于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过 作于点 ，根据三角形的面积可求出的长度，作点 ， 关于直线 对称，由 平分，可知点G在 上，连接，则，则，故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当与 重合时，取得最小值，解答即可． 本题考查三角形中的最短路径，轴对称图形的性质，解题的关键是理解 的长度即为最小值． 【详解】解：过 作于点 ，如图： ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 作点 ， 关于直线 对称， ∵ 平分， ∴点G在 上， ∴连接， 则， ∴，    ∵， ∴， 故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，得当与 重合时，取得最小值， 故的最小值为6． 8．如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，可得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ∴， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 此时． 【题型3 轴对称中的反射光线问题】 9．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，由题可知，进而可得；对于B，由题可得，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判断；对于D，由可得，无法判定． 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 10．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直；过点作垂直，根据三角形的内角和与入射角与反射角的关系求出的度数，再利用余角的性质求出的度数，最后利用三角形的内角和求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直垂足为点，过点作垂直垂足为点，两个垂线交于点， 由题意知：， ∵在中，， 则， ∴， 即， 又， ∴， 在中，． 11．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 12．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出，结合反射性质，再利用三角形外角性质建立方程求解即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知， ， 是的外角， ， ， ， ． 【题型4 折叠问题】 13．如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在一条直线上，折痕为，若，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠性质得，，，结合已知得到，再根据三角形的内角和定理求得，进而可求解． 【详解】解：由折叠性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．按如图的方法折纸，若，下列说法不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】利用翻折的性质可知，从而解得，，，，即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴不平分， ∵， ∴， 又， ∴． 15．如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出，，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图 由图及题意，可得 ，， 即， ∴． 16．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，，分别落在，的位置，与的交点为．若，则为（用含的式子表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得出，，由折叠的性质可得，进一步即可得答案． 【详解】∵四边形为长方形， ∴， ∴，， 由折叠可知， ∴， ∴， ∴． 【题型5 垂直平分线的性质】 17．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 18．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断． 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 19．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作的垂直平分线交于点D，则，再观察各选项即可得出答案． 【详解】解：要使，则作的垂直平分线交于点D即可，观察各选项，只有B选项符合． 20．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，则周长为，因此当、、三点共线时，周长取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长取得最小值． 【题型6 垂直平分线的判定】 21．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 22．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 23．如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而得到是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答. 【详解】解：如图，连接， 根据题意可得：， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴. 24．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【题型7 写出命题的逆命题】 25．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 26．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 27．下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先根据逆命题定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A、原命题为对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角，∴逆命题为假命题，A错误； B、原命题为等边三角形的三个内角相等，逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，∵三角形内角和为，三个内角相等则每个内角为，∴三个内角相等的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，B正确； C、原命题为四边形是多边形，逆命题为多边形是四边形，∵多边形可以是边数大于4的多边形，∴逆命题为假命题，C错误； D、原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，∵面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，∴逆命题为假命题，D错误． 28．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 【题型8 判断是否互为逆命题】 29．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 30．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 31．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 32．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【题型9 互逆定理】 33．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 34．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 35．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 36．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 【题型10 作已知线段的垂直平分线、做垂线】 37．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、此线作法为，得不到，故A错误； B、此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C、此线作法为，得不到，故C错误； D、此线作法为的垂直平分线，故，得不到，故D错误． 38．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为26．则的周长为（     ） A．17 B．26 C．43 D．53 【答案】C 【分析】本题通过作图的方式，得到线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，将的周长进行转化，即可求出的周长， 【详解】解：由作图可得垂直平分， ， 的周长， 的周长， 的周长，， 的周长． 39．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【答案】(1)如图，点即为所求作的点； (2)如图，点即为所求作的点． 【分析】（1）由题意得，点在的垂直平分线，即作的垂直平分线交于点，点即为所求作的点； （2）延长至点，作的平分线的过点的垂线，延长交于点，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，点即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）解：图略 理由：于点，于点，平分 ， 在和中， ， ， ， 将沿着直线折叠，点能落在边上的点处． 40．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】如图，点D即为所求： 【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的性质，点D的位置为的平分线与线段的垂直平分线的交点，故连接，按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可． 【详解】略 41．有一数学兴趣小组在思考“过直线外一点P作已知直线l的垂线”这一问题时，画出了如图1的示意图． (1)根据所画的示意图，请你用尺规作图过直线外一点P作直线l的垂线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明该作法的正确性． 【答案】(1)如图，直线即为所求： (2)证明：由作图过程，得，， ∴点A、点B都在线段的垂直平分线上， ∴直线l垂直平分，即直线是直线l的垂线． 【分析】（1）在直线l上任意取点A、点B，以点A为圆心，长为半径画圆，再以点B为圆心，长为半径画圆，两圆相交于点P、点Q，则直线即为所求． （2）利用线段垂直平分线的判定可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 42．如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 【答案】由题意，作图如下，即为所求. 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用尺规作垂线的方法确定中点，连接即可； （3）利用尺规作垂线的方法作图即可. 【详解】略 【题型11 画对称轴】 43．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 44．分别画出如图所示图形的对称轴． 【答案】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这条直线就是该轴对称图形的对称轴，根据轴对称的定义画出图形即可． 【详解】略 45．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】轴对称图形为(1)、(3)、(5)；对称轴绘制如下： 【详解】略 46．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】 解：轴对称图形是，画出对称轴如下： 【详解】略 【题型12 对称轴条数】 47．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 48．下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 49．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 50．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 图形的轴对称 （3大考点12大题型） 学习目标 1. 理解并掌握轴对称、成轴对称的概念； 2. 会识别轴对称图形，数对称轴条数； 3.会区别轴对称和中心对称（补充拓展）； 4.会画垂直平分线。 5.理解并掌握逆命题、互逆命题的概念。 考点整理 一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 知识点一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 知识点二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 题型归纳 【题型1 识别轴对称图形】 1．我国机器人产业持续突破核心技术，为传统产业转型注入强劲动能．下列四个机器人企业的品牌图标中，为轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列运动属于轴对称变换的是（     ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 3．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．下列绿色、节水、节能、植树造林四个标志中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 5．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在锐角三角形中， 的面积15， 平分交 于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 轴对称中的反射光线问题】 9．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型4 折叠问题】 13．如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在一条直线上，折痕为，若，则的度数（     ） A． B． C． D． 14．按如图的方法折纸，若，下列说法不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 15．如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（     ） A． B． C． D． 16．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，，分别落在，的位置，与的交点为．若，则为（用含的式子表示）（     ） A． B． C． D． 【题型5 垂直平分线的性质】 17．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 18．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（     ） A． B． C． D． 19．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 【题型6 垂直平分线的判定】 21．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 22．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 23．如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 24．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【题型7 写出命题的逆命题】 25．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 26．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 27．下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 28．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【题型8 判断是否互为逆命题】 29．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 30．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 31．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 32．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【题型9 互逆定理】 33．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 34．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 35．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 36．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型10 作已知线段的垂直平分线、做垂线】 37．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列选项正确的是(     ) A． B． C． D． 38．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为26．则的周长为（     ） A．17 B．26 C．43 D．53 39．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 40．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 41．有一数学兴趣小组在思考“过直线外一点P作已知直线l的垂线”这一问题时，画出了如图1的示意图． (1)根据所画的示意图，请你用尺规作图过直线外一点P作直线l的垂线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明该作法的正确性． 42．如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 【题型11 画对称轴】 43．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 44．分别画出如图所示图形的对称轴． 45．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 46．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【题型12 对称轴条数】 47．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 48．下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 49．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 50．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 学科网（北京）股份有限公司 $