第一章《三角形》 单元测试卷- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 《三角形》章节测试卷，通过选择、填空、解答题（10/6/9题，30/18/72分）全面考查三角形性质、全等、等腰三角形等核心知识，注重几何直观、推理能力与创新意识的培养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、全等判定、角平分线性质|结合动手操作（如第1题小棒剪拼），基础与辨析并重| |填空题|6/18|旋转角度计算、作图依据（SSS）、动点全等|融入运动变化（如第13题动点速度），考查空间观念| |解答题|9/72|作图（高、中线）、全等证明、动点探究、情境建模|设计分层探究（如第23题动点位置分类），体现创新应用与推理意识|

第一章《三角形》章节测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是( A. B.支C.支D.支 2.如图，△ABD≌△ACD,点E为CA延长线上一点，连接BE,若△ABE的周长为12，BE=4, 则线段CE的长为() A.4 B.8 C.12 D.16 3.如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论不一定 正确的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 4.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三 个三角形，则So:Sco:Sco等于() A.8:7:6B.1:2:3 C.3:7:4 D.6:7:8 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出 发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动 )s时，CF=AB A.2 B.6 C.2或6 D.2或5 D 6.活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中BD是 半圆形量角器的直径，C是BD的中点，AB=BC,BE⊥AD.将这个工具按图2所示放置在 ∠PM 内部，使点A落在∠PW ∠PM 一条边上， 的顶点M落在角尺边缘BE上，量角器上 一点F落在∠PMN的另一条边上，且CF⊥MN于点F,连接CM,作射线MB.若用量角器测 得LDCF=40°，则∠PMN的度数为() A.50° B.55 C.60° D.70° 图1 图2 7.等腰aABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的不可能是() A.2 B.5 C.6 D.8 8.如图，等腰△ABC的顶角∠BAC=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△A'B'C,点B 在AB边上，A'B交AC于E,连接AA则下列结论错误的是() A.BC=B'CB.BC∥AA C.CB平分∠BCAD.BC⊥CA 9.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且 CD背4C,AE-背B,BF-号BC,连接DE、ER、DF、AF、BD、CE,AF和BD交于点G: 3 3 以下结论错误的是() A.△DEF是等边三角形 B.∠AGB=120° 1 C.5=45 D.SoSc 10.如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=30°，点D为AC边上一点（不含端点），点D关于BA, 6C所在直线的对称点分别为点4,4，连接44.若B=54cm,BC=5cm,B到直线4C的 距离为4.9cm,则44的长度可以为() A.4.8cm B.5cm C.5.4cm D.5.5cm D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图，△ABC≌△DEC,∠DCE=60°，∠ACE=100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB= 12.已知△ABC,求作△AB'C'，使得△AB'C'≌△ABC.如图是小明的作图痕迹，他作图的依 据是 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,AB=8cm,BC=10cm,CD=14cm,E是AB中点.点P在 线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动， 为使△BPE与△CP吧在两点运动过程中全等，点Q的速度应为 D B 14.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,CB=7,EF垂直平分AC,点P为直线EF上任一点， 则△ABP周长的最小值是 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上的点，连接CE,点B关于CE的对称点D恰 好是AC中点，连接BD,ED,若BC=6,则点E到BC的距离为 B 16.某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相 同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中， 最少能收到 朵，最多能收到 朵 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个 小正方形的顶点叫格点.图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺， 在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上. 图① 图② 图③ (1)在图①中画△ABC的高BD. (2)在图②中画△ABC的中线CE. (3)在图③中△ABC边BC上找一点F,连接AF,使AF将△ABC分成面积比为1：2的两部分. 18.(本题8分)如图，已知△ABC≌△DEB,点E在AB上，AC与BD交于点F,AB=6, AE=3∠C=55°，∠AED=80° (1)求BC的长度； (2)求∠D的度数. 19.(本题6分)在6×6的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），△ABC的三个顶点 都在格点上· P 图1 图2 (I)在图1中，画一个格点△DEF,使△DEF与△ABC全等，并且使点P在△DEF内部； (2)在图2中，画一个格点△MN№，使△MN№与△ABC全等，并且使△MN吧的一个顶点在 △ABC 一边的垂直平分线上. 20.(本题8分)如图，在△ABC中，高线AD,BE,相交于点O,AE=BE,OA=8. B D 备用图 (1)求BC的长； (2)F是直线AC上的一点，且CF=BO,动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度 的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，P, 两点同时出发，当点P到达4点时，P,两点同时停止运动，设点P的运动时间为'秒， 0 则是否存在t值.使得以点B,O,P为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等？ 若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由. 21.(本题8分)已知一个三角形的两条边长分别是lcm和2cm,一个内角为40°.（友情提 醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作 图痕迹) 40° 40° 40° 图1 图2 图3 (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请 你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”，那么满 足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个，请分别在图3中把图作出来.（一种情况 分别画一个图) 22.(本题8分)已知Rt△ACB≌Rt△DEB,∠ACB=∠DEB=90°， D F D B B 图① 图② 图③ (I)将Rt△ACB和Rt△DEB按图①方式摆放，使BD经过点C,延长AC交线段DE于点F.试判 断线段DF+CF=AC之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt△ACB和Rt△DEB按图②方式摆放，延AC交线段DE于点F.请直接写出DF,CF,AC 之间的数量关系 (3)将Rt△ACB和Rt△DEB按图③方式摆放，延长AC交ED的延长线于点F若DF=2,CF=8, 则AC= 23.(本题8分)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究 线段之间的关系. 问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上的 一个动点，连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,∠ADE=∠AED=45°，连接 DE CE 图1 图2 备用图 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线 段BD与CE的数量关系与位置关系：① ② (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判 断(1)中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D在射线BC上运动的过 程中，如果BC=6,CD=4,请直接写出线段CE的长. 24.(本题10分)【情境建模】 D B D H 图1 图2 图3 (I)已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC 请你帮助小蕊完成证明. 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC 中，AD平分∠BAC,AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3LC, 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点 B作HLD交D爽长线于点H,设△BFH、△MBF的面积分别为，S,若B-4C=4,则 S1-S2 的最大值是 25.(本题10分)【理解问题】 如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具有这 种位置关系的两个等腰三角形.叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中 腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段 AD是轴线· G 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相 等，轴线所在的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证 明. 已知：如图1，△ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD,AD所在直 线是线段BC的垂直平分线. (2)【实施计划】 如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的延长 线与BC交于点F,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG.求证：△ABC和△GBC是美好等 腰三角形 (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若 DF=FG,请直接写出 BAC 的度数. 参考答案 一、选择题 1.B 解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段， 都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A,C,D选项符合要求， 故选：B. 2.B 解：△ABD=△ACD .∴.AB=AC ,△ABE 的周长为2，BE=4 ..AB+AE+BE=12 ∴.AB+AE=12-4=8 “点E为C1廷长线上一点 ∴.CE=AC+AE .∴.CE=AB+AE=8 3.D 解：：AB=AC,BE=CE, 点A,E都在线段BC的垂直平分线上， BC .AE 垂直平分C,故B选项正确： 在△ABE和△ACE中， AB=AC BE=CE AE=AE ∴.△ABE≌△ACE(SSS) ∴.∠BAE=∠CAE∠BEA=∠CEA :AE平分 BAC,∠BEC 和 ，故A选项正确； .·AE 垂直平分BC,D在MB上， .DB=DC 在△DBE和△DCE中， DB=DC BE=CE DE=DE ∴.△DBE≌△DCE(SSS) ∴.∠DBE=∠DCE ,故C选项正确； BD与DE的长度取决于点P在E上的位置，无法确定BD=DE,故D项不一定正确， 4.D 解：如图，过O点分别作BC、AB、CA的垂线OF、OE、OD, B OC是∠BCA的角平分线， ∴.OF=OD, 同理OD=OE, ∴.OE=OF=OD, 5.w:5.o:5.w-AB-OE:C.OF:C-OD-AB:8C:4C-6:7:8 1 2 5.D 解：设点E运动时间为ts,则BE=2tcm, ①如图，当点E从点B出发，向点B左侧移动时， D .CD 为MB边上的商， ∴.CD⊥AB ∴.∠A+∠ACD=90° ,'∠CEF=∠ACB=90° ∴.∠ACD+∠ECF=90° ∴.∠A=∠ECF 在△ABC和△CFE中， I∠A=∠ECF ∠ACB=∠CEF AB=CF ,∴.△ABC≌aCFE(AAS)） .∴.AC=CE=7cm .BE =CE-BC=4(cm) .2t=4 t=2 ,解得： ②如图，当点E从点B出发，向点B右侧移动时， △ABC≌ACFE(AAS) 同理可证， ∴.CE=AC=7cm .BE=BC+CE=10(cm) ∴2t=10 t=5 ,解得： 综上可知，当点E运动2或5s时，CF=AB. 6.C 解：∠DCF=40°， ∴.∠BCF=140°， .C是BD的中点， ..BC=CD, .CD=CF, ∴.BC=CD=CF, .MC=MC,BE⊥AD,CF⊥MN, △BMC≌AFMC(HL) ·∠BMC=∠FMC,∠BCM=∠FCM=)∠BCF=70 2 ,BE⊥AD,CF⊥MN, ∴.∠BMC=∠FMC=20°， .BM=BM,AB=BC,BE⊥AD △BMCBMA(SAS) ∴.∠BMC=∠BMA=20°， ∴.∠PMN=∠BMC+∠BMA+∠FMC=60°. 故选：C 7.C 解：：△ABC是等腰三角形，周长为18，AB=8,分三种情况讨论： 1.若AB=BC,则BC=8,此时AC=18-8-8=2,三边为8,82，满足2+8>8，符合三角形三 边关系和等腰三角形要求，因此BC=8可能，排除D. 2.若AB=AC，则AC=8,此时BC=18-8-8=2,三边为8,8,2，满足三角形三边关系和等腰三 角形要求，因此BC=2可能，排除A. 3.若C=4C,则BC=4C-188-5,三边为855，满足5+58，符合要东，因此C=5可 2 能，排除B. 当BC=6时，AC=18-8-6=4,三边为8,6,4，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因 此BC=6不可能. 8.D 解：，等腰△ABC的顶角∠BAC=36°， ∴.∠B=∠BCA=72°， ,△ABC绕点C顺时针旋转36°得到△A'B'C,点B在AB边上， ∴.BC=B'C,AC=A'C,∠ACA'=∠BCB'=36°， .∠CAA'=∠CA'A=72°，∠B'CA=36°， .∠BCB'=∠B'CA=36°， ∴.CB平分∠BCA, 又，∠B+∠BCA'=∠B+∠BCA+∠CAA'=72°+72°+36°=180°， .BC∥AA', .∴.∠BCA'=72°+36°=108° 9.C 解：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60° CD-写4C,AE-3AB.BF--ac, 3 3 ∴.AE=BF=CD,AD=BE=CF 在△ADE,aCFD中， AE=CD ∠DAE=∠FCD AD=CF △ADE≌△CFD(SAS) ADE≌△BEF≌ACFD(SAS)△ABF≌ABCD(SAS) 同理可证 ∴.DE=EF=FD ..DEF 是等边三角形，故A正确； ,△ABF≌ABCD ∴.∠BAF=∠CBD :∠AGB=180-(∠BAG+ABG)-180-(2CBD+∠ABG)=180P-∠ABC=120°，故B正确： .△ABF与△ABC同顶点A,底边都在BC上，高相等，根据三角形面积公式，面积比等于底 长之比， BF-IBC 3 1 SAr=3SAac, 同理可知Sr= AB 33 4 ae=8-35=5-3号吉，放D正确： 2 10.B 解：如图，连接BA,BA, 由对称的性质，可知BA=BD=BA,∠ABA=∠ABD,∠CBA,=∠CBD :.∠ABA+∠CBA=∠ABD+∠CBD=∠ABC=30° .∴、∠ABA,=∠ABA+∠CBA,+∠ABC=60° .△BA4是等边三角形， ..A4=BA =BD AB>BD 24.9cm 5.4cm>BD24.9cm 由题意，可知 ，即 ,只有B选项满足这个取值范围. 二、填空题 11.40° 解：，△ABC≌△DEC, ∴.∠ACB=∠DCE, ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD. .∠ACD=∠ECB, .∠DCE=60°，∠ACE=100°， ∴.∠ACD=∠ACE-∠DCE=100°-60°=40°， ∴.∠ECB=∠ACD=40°. 12.SAS 解：由作图痕迹可知，AB=AB,∠AB'C=∠ABC,B'C=BC, 在△A'B'C'和△ABC中， A'B'=AB ∠A'B'C'=∠ABC B'C=BC ∴.△A'B'C'≌△ABC(SAS) 因此作图的依据为SAS. 13.3cm/s或2.4cm/s 解：设运动时间为s,点Q的速度为Cm/s, E是AB中点， :AE=BE-]AB-4(cm), 2 由题意得：CO=tcm,BP=3cm, ..BC=10cm, :cp=i0-3刘)cm .∠B=∠C, ∴分两种情况： 当△BPE≌△COP时， BP=CQ,BE=CP, .3t=t,4=10-3t, 解得：v=3,t=2: 当△BPE≌aCPO时， .BP=CP,BE=CO .3t=10-3,4=t, 5 解得：t= 3,V=2.4 综上所述：为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为3cm/s或2.4cm/s. 14.11 解：如图，连接CP, :EF垂直平分AC, .'AP=CP, .AP+BP+AB=CP+BP+ABz BC+AB=11. .△ABP周长的最小值是11. 15.4 解：作EGLBC于点G,作EH⊥AC于点H, B ,点B关于CE的对称点D恰好是AC中点， .∴.AD=CD=BC=6,∠ACE=∠BCE, .'AC=12,EG=EH SACE+S.BCE=S.ABC, s54cBm+58c-Bc=4c-Bc, ∴.12EG+6EG=12×6, .EG=4,即点E到BC的距离为4. 16. 0 5 解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学O收到k位同学送的花，对这k位同学中任意两点A,B,都满足OA<AB,OB<AB, 在△OAB中，AB是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得∠AOB>60°， 这k位同学与点0的连线形成的k个相邻夹角之和为360°， 因此k.60°<360°， 解得k<6,k为正整数， 故k的最大值为5； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都 将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花， 因此最少可以为0. 三、解答题 17.(1)解：如图，BD即为所求； 图① (2)解：如图，CE即为所求； E B 图② (3)解：如图，点F或F即为所求. F 图③ 18.（1)解：AB=6,AE=3, .'BE=AB-AE=3. .△ABC≌△DEB, ∴.BC=BE=3 (2)解：.△ABC≌△DEB .LC=∠EBD=55°， ,∠AED为△BDE的外角， ∴.∠AED=∠D+∠EBD, 即∠D=∠AED-∠EBD=80°-55°=25° 19.(1)解：所求图形，如图所示； P B (2)解：直线1是AC的垂直平分线，所求三角形如图所示. 20.(1)证明：AD、BE是△ABC的高， ∴，∠AEB=∠BEC=∠BDA=90° .·∠AOE=∠BOD .∴.∠EAO=∠EBC ∠AEO=∠BEC AE=BE 衣 和 ∠EAO=∠EBC' ∴.△AEO≌△BEC(ASA) .AO=BC .0A=8, ∴.BC=8 (2)解：存在. 理由：由题意得，OP=t,B0=3t, :△AEO≌ABEC ∴.∠AOE=∠BCE ∠BOP=∠FCQ .OB=CF 如图，当△BOP≌△FCQ时，OP=CO, .t=8-3t 解得，t=2; 如图，当△BOP≌△FCQ时，OP=C2, ,t=3t-8 解得，t=4; 综上所述，当t=2秒或4秒时，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三 角形全等. 21.(1)如图，取∠ABC=40°，在BC上截取BD=lcm,在BA上截取BE=2Cm,连接ED,△EBD 即为所求 A 2cm 40° Dl 1cm B (2)根据题意作∠QPK=∠ABC=40°，在PG上截取PW=lcm,以N为圆心以2cm长为半径画弧 交PK于点M,连接MN,如图，△MPN即为所求. K M 2cm 40° G W 1cm B (3)以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， B 3cm 40° 4cm A 以3cm长的边作40°角的对边，可画出两个满足条件的三角形， B 3cm B 3cm 40° A 4cm 以4cm长的边作为40°角的对边，可画出一个满足条件的三角形， 4cm 40° 3cm ∴.满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个. 22.(1)DF+CF=AC. 证明：如图，连接BF, R 图① .Rt△ABC≌Rt△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE. ,在Rt△BCF和RtABEF中， BF=BF BC=BE, .RtABCFS≌RtaBEF(HL) ∴.CF=EF. AC=DE,DF+EF=DE, .DF+CF=AC: (2)DF+CF=AC: 证明：如图，连接BF, D DE B 图② 与(1)同理，可得BC=BE,AC=DE, .∠ACB=∠DEB=90°，BC=BE,BF=BF, ,Rt△BCF≌RtABEF(HL) .CF=EF, AC=DE,DF+EF=DE, .DF+CF=AC: (3);解：如图，连接BF, C 图③ 与(1)同理，则有CF=EF,AC=DE, .DF+AC=DF+DE=EF=CF: .DF=2 CF=8 则AC=6, 故答案为：6. 23.(1)解：∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=90°，即∠CAE+∠CAD=90°， .∠CAE=∠BAD “在△C1和△BMD中， AB=AC ∠CAE=∠BAD AD=AE :△CAE≌△BAD(SAS) ∴.BD=CE∠B=∠ACE=45° .∠ACB=45° ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90 Bc1CE.即BD1CE (2)解：成立，理由如下： .∠BAC=90°∠DAE=90° ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE “在△DMB和△E1 中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△DAB≌△EAC(SAS) ∴.BD=CE∠ACE=∠B=45° :∠ACB=45° ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90° ∴.CE⊥B ,即CE1BD, (3)解：当点D在BC上时， 由(1)可知△CAE≌△BAD, ..BC=6 CD=4 .BD=BC-CD=6-4=2 .CE=BD=2 ； 当点D在BC延长线上时， 由(2)可知△DAB≌△EAC, ..BC=6 CD=4 .BD=BC+CD=6+4=10 .CE=BD=10 综上，CE=2或10. 24.(1)证明：AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, AD⊥BC, ∴.∠BDA=∠CDA=90°， .∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴.∠B=∠C, .'AB=AC: (2)证明：如图，延长BD交AC于E点， E B .AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, ∴.BE=2BD, AC-AB=2BD. .'.AC-AE=BE, ∴BE=CE, ∴.∠C=∠EBC, .∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C, ∴.∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C: (3)解：延长BH,AC交于点G,如图所示： E B D H G .AD平分∠BAC, ∴.∠BAH=∠GAH, ,BH⊥AD, ∴.∠AHB=∠AHG, AH =AH .△ABH≌△AGH(ASA) .BH=GH,AB=AG, Sm=Son. ,E为AC的中点， 1 S.-S.c-7S.e 9-S =S.BFH-S.AEF =(S.F+S.40F)-(S.AEF+S.4F) =S。ABH-SABE (S,-S.4) 2 当△BCG的面积最大时，S-S最大， AB-AC=4,AB=AG, ..AG-AC=4, 即CG=4, .BC=12, ∴.当BC⊥CG时，△BCG的面积最大， △BCG的最大面积为：2×12×4=24， .S-S的最大值为：2 ×24=12 25.(1)证明：△ABC和△DBC是美好等腰三角形， .∴.AB=ACDB=DC ∴.∠DBC=∠DCB∠ABC=∠ACB ∠MBC-∠D8C=4CB-DCR,即∠1CD=∠ABD AB=AC BC “点在线段的垂直平分线上 '.'DB=DC, D BC 点在线段的垂直平分线上， ∴∠ABD=∠ACD,4D所在直线是线段C的垂直平分线： BC (2)证明：如图，作射线AG交BC于点H. G B .'AE LCD, ∴.∠AEG=∠CEF=90° ∴.∠GAE+∠AGE=90° ∠ACE=45° .:.∠CAE=90°-∠ACE=45° ∴.∠CAE=∠ACE .AE=CE .EF=EG 3 ∴.△AEG≌ACEF(SAS) ∴.∠FCE=∠GAE :∠CGH=∠AGE ∴.∠FCE+∠CGH=90° ∴.∠GHC=180°-∠CGH-∠FCE=90° AH⊥BC AB=AC .BH=CH ∴.GB=GC “点在线段DC上，且EG=E,则△1BC和aG6C 美好等腰三角形 (3)解：如图3， H 图3 .AE⊥CD, FE⊥DG, EG=EF, ∴.∠EGF=EFG=45°. DF=FG,FE⊥DG, AF垂直平分DG, .AD=AG, ∴.∠DAE=∠GAE 设∠DAE=∠GAE=a. .AB=AC,AH⊥BC, ∴.∠CAH=∠BAH=2a. .∠CAE=45°， .a+2a=45°， .a=15°， ∴.∠BAC=4×15°=60°