专题01认识二次根式暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题01认识二次根式暑假预习讲义 ① 掌握概念：理解二次根式定义，明确成立条件a0，能判断式子是否属于二次根式，区分有意义、无意义的自变量取值范围。 ② 熟记双重非负性：知晓被开方数≥0、二次根式结果≥0，会利用非负性列式求值，求解参数数值。 ③ 吃透基本性质：熟练运用()2=a(a≥0)、=|a|两条核心公式，能化简简单二次根式。 ④ 辨别最简二次根式：分清最简二次根式两大要求，会对照标准判别根式是否最简。 ⑤ 梳理易错要点：忽略被开方数大于等于0的前提、化简忘记加绝对值；逐步夯实根式运算基础，为后续加减乘除计算做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的定义 2.判定二次根式的条件 3.二次根式有意义的条件 4.双重非负性 5.三大常见非负数 6.二次根式的核心性质 7..()2 vs 对比表 4.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 强化题型 解答题5题 知识点 01 定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。 称为二次根号；a 叫做被开方数。 知识点 02 判定二次根式两大条件（缺一不可） 1 含有二次根号 ； 2 被开方数必须是非负数，即 a≥0。 ⚠️辨析：、(x<-1)) 不是二次根式； 属于二次根式。 知识点03：二次根式有意义的自变量取值范围 代数式形式 有意义的条件 文字说明 A0 被开方数大于或等于 0 A>0 被开方数非负，同时分母不能为 0 A0，B0 每一个二次根式的被开方数分别非负 A0，B>0 分式 + 根式双重限制 解题通用思路：列出不等式（组），求解不等式得到取值范围。 知识点 04 双重非负性 对于 (a≥0) 被开方数非负：a≥0 二次根式的值非负：。 知识点 05 初中三大常见非负数 1 实数的平方：a2≥0 2 实数的绝对值：|a|≥0 ③二次根式：(a≥0) 🔥核心结论：若干个非负数相加等于 0，则每一个非负数都等于 0。 例：若 |b|+c2=0，则 =0，|b|=0，c2=0，即 a=0,b=0,c=0。 知识点06:二次根式核心性质｜必背清单 性质 1：()2=a （a≥0） 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。 例：()2=3；()2=2x（x≥0）。 性质 2：=∣a∣= 解读：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，需分情况讨论符号。 例：()2=∣−5∣=5；(=∣π−3∣=π−3。 性质 3：= （a≥0，b≥0） 解读：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的乘法运算。 例：==×=2。 知识点07：易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点08：高频易错汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 二次根式判定 看到根号就判定是二次根式 必须保证被开方数a≥0 混淆两个公式 随意去掉 ​绝对值 结果一定是非负数，必须加绝对值分类讨论 忽略取值范围 使用()2=a不考虑a≥0 负数不能放在二次根号内做被开方数 双重非负性应用 多个非负数和为 0，只令部分式子等于 0 每一项都必须等于 0 题型1.二次根式的识别 【典例】下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 【跟踪专练1】下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 【跟踪专练2】下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 【跟踪专练3】给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再根据二次根式的化简法则计算即可得到结果． 【详解】当时， ． 【跟踪专练1】若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【跟踪专练4】下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．＝2 C．23＝6 D．a3+a3＝a6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式、算术平方根的性质、有理数的乘方、合并同类项法则逐一进行计算即可． 【详解】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误； B、＝2，故原题计算正确； C、23＝8，故原题计算错误； D、a3+a3＝2a3，故原题计算错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、实数的运算、合并同类项等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 题型3.求二次根式中的参数 【典例】已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可. 【详解】解：∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数n的最小值是2. 故答案为：2. 【跟踪专练1】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 【跟踪专练2】已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 【跟踪专练3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 【跟踪专练1】若要使有意义，则的取值范围为（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ． ∵ 分式分母， ∴ ． 综上，的取值范围为且． 【跟踪专练2】当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 【跟踪专练3】当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解：， ， 二次根式没有意义的是． 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】当时，的值是___________． 【答案】 【分析】将代入，计算即可得到结果． 【详解】解：当时，． 【跟踪专练1】下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和二次根式化简规则逐个判断选项即可． 【详解】解：A、，故本选项化简正确； B、，故本选项化简错误； C、，故本选项化简错误； D、，故本选项化简错误． 【跟踪专练2】已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 【跟踪专练3】如图，实数，在数轴上，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的符号，利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ． 题型6.复合二次根式的化简 【典例】若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【跟踪专练2】计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练3】像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 解答题 1．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 【详解】（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 2．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 3．已知是整数，求所有满足条件的正整数的和． 【答案】 【分析】设，为正整数，是奇数，则，分两种情况：①当时，②当时，进行求解即可． 【详解】解：设，为正整数， ∴， 即， ∴ ∵均为正整数，且， ∴均为正整数，且， ∵，为偶数， ∴同奇或同偶， 是奇数，， 分两种情况：①当时， 解得， ②当时， 解得， 综上可知，所有满足条件的正整数为和， 则所有满足条件的正整数的和为． 4．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再判断的正负情况从而去绝对值，整理整式后即可求出结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． 5．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01认识二次根式暑假预习讲义 ① 掌握概念：理解二次根式定义，明确成立条件a0，能判断式子是否属于二次根式，区分有意义、无意义的自变量取值范围。 ② 熟记双重非负性：知晓被开方数≥0、二次根式结果≥0，会利用非负性列式求值，求解参数数值。 ③ 吃透基本性质：熟练运用()2=a(a≥0)、=|a|两条核心公式，能化简简单二次根式。 ④ 辨别最简二次根式：分清最简二次根式两大要求，会对照标准判别根式是否最简。 ⑤ 梳理易错要点：忽略被开方数大于等于0的前提、化简忘记加绝对值；逐步夯实根式运算基础，为后续加减乘除计算做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的定义 2.判定二次根式的条件 3.二次根式有意义的条件 4.双重非负性 5.三大常见非负数 6.二次根式的核心性质 7..()2 vs 对比表 4.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 强化题型 解答题5题 知识点 01 定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。 称为二次根号；a 叫做被开方数。 知识点 02 判定二次根式两大条件（缺一不可） 1 含有二次根号 ； 2 被开方数必须是非负数，即 a≥0。 ⚠️辨析：、(x<-1)) 不是二次根式； 属于二次根式。 知识点03：二次根式有意义的自变量取值范围 代数式形式 有意义的条件 文字说明 A0 被开方数大于或等于 0 A>0 被开方数非负，同时分母不能为 0 A0，B0 每一个二次根式的被开方数分别非负 A0，B>0 分式 + 根式双重限制 解题通用思路：列出不等式（组），求解不等式得到取值范围。 知识点 04 双重非负性 对于 (a≥0) 被开方数非负：a≥0 二次根式的值非负：。 知识点 05 初中三大常见非负数 1 实数的平方：a2≥0 2 实数的绝对值：|a|≥0 ③二次根式：(a≥0) 🔥核心结论：若干个非负数相加等于 0，则每一个非负数都等于 0。 例：若 |b|+c2=0，则 =0，|b|=0，c2=0，即 a=0,b=0,c=0。 知识点06:二次根式核心性质｜必背清单 性质 1：()2=a （a≥0） 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。 例：()2=3；()2=2x（x≥0）。 性质 2：=∣a∣= 解读：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，需分情况讨论符号。 例：()2=∣−5∣=5；(=∣π−3∣=π−3。 性质 3：= （a≥0，b≥0） 解读：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的乘法运算。 例：==×=2。 知识点07：易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点08：高频易错汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 二次根式判定 看到根号就判定是二次根式 必须保证被开方数a≥0 混淆两个公式 随意去掉 ​绝对值 结果一定是非负数，必须加绝对值分类讨论 忽略取值范围 使用()2=a不考虑a≥0 负数不能放在二次根号内做被开方数 双重非负性应用 多个非负数和为 0，只令部分式子等于 0 每一项都必须等于 0 题型1.二次根式的识别 【典例】下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练3】给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，代数式的值为________． 【跟踪专练1】若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则________． 【跟踪专练4】下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．＝2 C．23＝6 D．a3+a3＝a6 题型3.求二次根式中的参数 【典例】已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___． 【跟踪专练1】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【跟踪专练2】已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【跟踪专练3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】化简的值为________． 【跟踪专练1】若要使有意义，则的取值范围为（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【跟踪专练2】当x满足______时，在实数范围内有意义． 【跟踪专练3】当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】当时，的值是___________． 【跟踪专练1】下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【跟踪专练3】如图，实数，在数轴上，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 题型6.复合二次根式的化简 【典例】若，则的值为_______． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】计算：_______． 【跟踪专练3】像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 解答题 1．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 2．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 3．已知是整数，求所有满足条件的正整数的和． 4．已知实数满足，求的值． 5．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $