第02讲 二次根式的乘除（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第02讲 二次根式的乘除 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的乘法 题型2 二次根式的除法 题型3 二次根式的乘除混合运算 题型4 分母有理化 题型5 最简二次根式的判断 题型6化为最简二次根式 题型7已知最简二次根式求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式乘法法则、二次根式除法法则、积的算术平方根、商的算术平方根、最简二次根式、分母有理化 1. 理解二次根式乘法、除法法则的推导依据，熟记乘除运算公式。 2. 掌握积的算术平方根、商的算术平方根的性质，能对二次根式进行规范化化简。 3. 理解最简二次根式的定义，能准确判断并将二次根式化为最简形式。 4. 掌握分母有理化的方法，能熟练完成二次根式除法及含分母根式的化简运算。 学习重点：二次根式乘除运算法则、积与商的算术平方根性质、最简二次根式的判定、分母有理化运算。 学习难点：复杂根式的化简、分母有理化的灵活运用、结合乘除法则解决根式混合化简计算题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次根式的乘法法则及逆用 乘法法则：，两个非负二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 逆用（积的算术平方根）：，用于拆分复杂根式，是根式化简的核心依据。 拓展：多个二次根式相乘，可统一合并为一个根式，即。 【易错提醒】 1. 乘法法则必须满足被开方数均非负，负数不能直接开方相乘。 2. 拆分根式时，不可随意拆分负数乘积，如。 【方法总结】 根式乘法先判定义域，同号正数直接合并，负数先转化为正数乘积再化简 即时即练计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 知识点02 二次根式的除法法则及逆用 除法法则：，二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 逆用（商的算术平方根）：，用于化简分数型被开方数。 取值禁忌：除法中分母对应的被开方数不能为0，否则式子无意义。 【易错提醒】 1. 忽略分母的条件，出现分母为0的错误。 2. 分数根式化简时，直接拆分分子分母，未保证分母为正数，导致结果错误。 【方法总结】 分式根式化简先定符号，保证分母为正，再拆分根式，逐步化简 即时即练化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为． 知识点03 最简二次根式 定义：同时满足两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 两大条件：①被开方数不含分母、小数、分数；②被开方数中不含能开得尽方的整数因数或整式因式。 核心特征：根号内干净无分母、无平方因数，无法再进一步化简。 【易错提醒】 1. 被开方数含小数、分数未化简，误认为是最简二次根式。 2. 遗漏隐藏的平方因数，如含因数4，不是最简根式。 【方法总结】 最简根式判定：无分母、无小数、无平方因数，三者同时满足即为最简。 即时即练下列是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中的被开方数含分母，∴不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 知识点04 分母有理化 定义：将分母中含有二次根号的式子，转化为分母为有理数的过程，叫做分母有理化。 单项分母有理化：分母为，分子分母同乘，消去分母根号。 两项分母有理化：分母为，分子分母同乘对应共轭式，利用平方差公式去根号。 【易错提醒】 1. 有理化时只乘分母不乘分子，破坏分式等值性。 2. 两项根式有理化时，共轭式符号选错，无法消去根号。 【方法总结】 单项乘自身，两项乘相反式，分子分母同乘，最后整理为最简根式。 即时即练下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； C、分母含根号，可化为，不满足条件，不是最简二次根式； D、满足两个条件，是最简二次根式． 题型1 二次根式的乘法 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【例2】若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 【变式1-1】根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出y的值等于_____． 【答案】 【分析】根据程序图计算即可． 【详解】解：输入x的值是1时，， 则． 【变式1-2】非遗艺人裁剪桑皮纸条拼接三角形装饰挂件，下面每组三根桑皮纸条的长度，不能拼成直角三角形挂件的是（     ） A．1，2，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．7，24，25 【答案】A 【分析】解题思路是验证每组三根纸条长度中，两短边的平方和是否等于最长边的平方，若不相等则不能拼成直角三角形． 【详解】解：选项A：，不满足勾股定理的逆定理，∴ A不能拼成直角三角形； 选项B：，能拼成直角三角形； 选项C：，能拼成直角三角形； 选项D：，能拼成直角三角形． 题型2 二次根式的除法 【例3】计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【例4】下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误． 【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意； B. ，该选项计算正确，不符合题意； C.当时， ，该选项计算错误，符合题意； D. ，该选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的基本运算，以及根式的乘除法则，根据立方根和平方根的定义，以及根式的运算法则，逐一验证各选项．注意平方根的非负性（），以及根式乘除时合并根号的计算规则（，）． 【详解】∵（因为），∴ A符合题意； ∵ ，∴ B不符合题意； ∵ ，∴ C不符合题意； ∵ ，∴ D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 题型3 二次根式的乘除混合运算 【例5】按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求方程的解． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则求解； （2）利用二次根式的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得或． 【例6】计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【变式3-2】计算：___________（其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 题型4 分母有理化 【例7】在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先化简，再根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可. 【详解】解：是分数，不是无理数； 是无理数； 是整数，不是无理数； 是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无理数； 则无理数有，，共2个. 【例8】化简求值： (1)化简 (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可． （2）先根据分式的混合运算法则化简，再把a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式 ． 【变式4-1】完成下列各题： (1)求不等式组 的解集； (2)先化简，再求值：，其中 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，然后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：； （2）解： ， ∵ ∴原式． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 题型5 最简二次根式的判断 【例9】下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需要满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的两个条件逐一判断选项即可． 【详解】解∶A、是最简二次根式； B、的被开方数12含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 【例10】下列各式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：选项A中，，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； 选项B中，，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； 选项C中，的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴是最简二次根式； 选项D中，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式． 【变式5-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A、的被开方数含有分母，不满足最简二次根式条件，不是最简二次根式； 选项B、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 选项C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 【变式5-2】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．满足条件，是最简二次根式； B．满足条件，是最简二次根式； C．满足条件，是最简二次根式； D．的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的条件，因此不是最简二次根式． 题型6化为最简二次根式 【例11】下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 【例12】与是同类二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数和的被开方数相同的即为所求 【详解】解：A、，化简后被开方数为，与的被开方数相同， 与是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式 【变式6-1】下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 【变式6-2】下列二次根式，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． 先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式为同类二次根式，能合并，反之则不能． 【详解】解：∵， 对于选项A：，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 对于选项B：，其最简形式被开方数为2，与的被开方数不同，不能合并； 对于选项C：的被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 对于选项D：，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并； 故选：B． 题型7已知最简二次根式求参数 【例13】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【例14】当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 【变式7-1】如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 【变式7-2】若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合两个条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A．的被开方数含分母，不是最简二次根式； B．被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； C．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2．下列式子中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一化简判断即可． 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：对选项A ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义． 对选项C ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项D ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先对已知的表达式变形，通过平方得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：， ， 移项得， 两边同时平方，得 ， 展开整理得 ， 化简得， ． 5．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，B错误； 对选项C，，C正确； 对选项D，，D错误. 6．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是. 7．如图1，在中，，点D是的中点．动点E从三角形某顶点出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动，设运动时间为x，线段长度为y，则y与x的函数图象如图2所示，其中N是中间曲线的最低点，那么点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作交于点，过点D作交于点，连接，首先求出，然后由图象判断出动点从点C出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动，求出，设，根据，结合勾股定理列式计算得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点，过点D作交于点，连接， ∵在中，，点是的中点， ∴， 由图象得，动点从点C出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动， ∵点的横坐标是6， ∴， 由题意得，， 设， ∴，， 由勾股定理得，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 8．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点作于点，过点作，交延长线于点，通过正方形的性质和条件判定，得，再与平行四边形的性质结合推出，设，，那么，运用勾股定理求解出、的值，最后进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴． ∵，，，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 二、填空题 9．化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 10．计算的结果是______． 【答案】 【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 11．计算：______；______； ______． 【答案】 4 12 1 【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的乘法运算法则，零指数幂的运算法则计算即可得得出答案． 【详解】解：，，. 12．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 【答案】 【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 该三角形是直角三角形，两条直角边为和， 此三角形的面积为. 13．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14．定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点．当这个点是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点． 如图①，在中，，是、两点的等腰点，也是强等腰点，是、两点的等腰点，是、两点的等腰点． （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，、两点均在格点上，线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有__________个． （2）如图③，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，点恰好成为、或、的强等腰点时，的长为__________． 【答案】 2 或 【分析】（1）根据“等腰点”的定义，利用勾股定理找出能跟构成等腰三角形的格点即可； （2） 根据“强等腰点”的定义，分情况讨论：①当点恰好成为、的强等腰点时，此时，根据等腰三角形的判定与性质进行解答即可；②当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示，过点作于点，易得为等腰直角三角形，从而得到，设，利用勾股定理在中建立方程即可解答． 【详解】解：（1）如图所示，取格点、， 此时， ∴和是等腰三角形， ∴格点、是、两点的等腰点， 即线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有2个； （2）∵在中，，，，是的中点， ∴，， ∵是射线上一个动点， ∴①当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，的长为或． 三、解答题 15．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 5 【详解】解：原式 ． 17．计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，计算绝对值，再计算乘法，最后进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 18.计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再算加减，即可求解； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲二次根式的乘除 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1二次根式的乘法 题型2二次根式的除法 题型3二次根式的乘除混合运算 题型4分母有理化 题型5最简二次根式的判断 题型6化为最简二次根式 题型7已知最简二次根式求参数 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 二次根式乘法法则、 1.理解二次根式乘法、除法法则的推导依据，熟记乘除运算公式。 二次根式除法法则、2.掌握积的算术平方根、商的算术平方根的性质，能对二次根式进行规范化 积的算术平方根、商化简。 的算术平方根、最简3.理解最简二次根式的定义，能准确判断并将二次根式化为最简形式。 二次根式、分母有理4.掌握分母有理化的方法，能熟练完成二次根式除法及含分母根式的化简运 化 算。 学习重点：二次根式乘除运算法则、积与商的算术平方根性质、最简二次根式的判定、分母有理化运 算。 学习难点：复杂根式的化简、分母有理化的灵活运用、结合乘除法则解决根式混合化简计算题。 02 教材全解 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 乘法法测 √a·V6=V√aM20,b20,两个排负二次根式相乘，被开方数相乘 二次根式的乘法 根指数保持不变 法则及逆用 逆用（积的算术平方根） -Vd=√a·V620,b20,用于拆分复杂根式，是根式化简的核心依据。 除法法铡 9=V得20b>0,三次根式相除，被新防数姐 根指数不变 二次根式的除法 法则及逆用 逆用肩的术平方限一√？=(20b>0,用于化筒分数型按开方数 取值禁€ 根除法种分母对应的被开方数b不能为0，否则赋子无意义。 二次根式的乘除 定蚁 同时满足两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 最简二次根式 被开方数不含分姆、小傲、分数 两大条件 被开方数中不含能开得尽方的整数姻数域整式因式， 定蚁 将分母中含有二次根号的试子，转化为分母为有理数的过程，叫 做分母有理化。 分母有理化 单项分母有理化 分母为√瓜，分子分母同乘，Va,消去分母根号。 两顺分母有理化 分母为Va士b,分子分母同乘对应共轭武√ā士V6,利用平方差公试去根号 ◇ 知|识|精|讲 知识点01二次根式的乘法法则及逆用 乘法法则：Vā·b=ab(a≥0，b≥0，两个非负二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 逆用（积的算术平方根）：Vab=√a·/b(a≥0，b≥0)，用于拆分复杂根式，是根式化简的核心依据。 拓展：多个二次根式相乘，可统一合并为一个根式，即Va·Vb·c=Vabc(a,b,c≥0)。 【易错提醒】 1.乘法法则必须满足被开方数均非负，负数不能直接开方相乘。 2.拆分根式时，不可随意拆分负数乘积，如√(-2)×(-3≠V-2×V一3。 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】 根式乘法先判定义域，同号正数直接合并，负数先转化为正数乘积再化简 即时即练计算：V30×石) A.V5 B.5 c.56 D.5 知识点02 二次根式的除法法则及逆用 Va 除法法则： α≥0，b>0),二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 逆用（商的算术平方根）：6 (a≥0，b>0),用于化简分数型被开方数。 取值禁忌：除法中分母对应的被开方数b不能为0，否则式子无意义。 【易错提醒】 1.忽略分母b>0的条件，出现分母为0的错误。 2.分数根式化简时，直接拆分分子分母，未保证分母为正数，导致结果错误。 【方法总结】 分式根式化简先定符号，保证分母为正，再拆分根式，逐步化简 即时即练化简：√96÷√3 知识点03 最简二次根式 定义：同时满足两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 两大条件：①被开方数不含分母、小数、分数：②被开方数中不含能开得尽方的整数因数或整式因式。 核心特征：根号内干净无分母、无平方因数，无法再进一步化简。 【易错提醒】 1.被开方数含小数、分数未化简，误认为是最简二次根式。 2.遗漏隐藏的平方因数，如12含因数4，不是最简根式。 【方法总结】 最简根式判定：无分母、无小数、无平方因数，三者同时满足即为最简。 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即时即练下列是最简二次根式的是() 2 A.2 B C.8 D.0.1 知识点04分母有理化 定义：将分母中含有二次根号的式子，转化为分母为有理数的过程，叫做分母有理化。 单项分母有理化：分母为只Vā，分子分母同乘Vā，消去分母根号。 两项分母有理化：分母为Vā±/b,分子分母同乘对应共轭式Vā±Vb,利用平方差公式去根号。 【易错提醒】 1.有理化时只乘分母不乘分子，破坏分式等值性。 2.两项根式有理化时，共轭式符号选错，无法消去根号。 【方法总结】 单项乘自身，两项乘相反式，分子分母同乘，最后整理为最简根式。 即时即练下列根式中是最简二次根式的是() A.5 B 24 C 3 D.6 03 题型突破 题型1二次根式的乘法 【例1】下列计算正确的是() A.V-4}=2 B.2x5=10 c.（2=4 D.√6÷√2=3 【例2】若V12a是整数，则正整数a的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.12 【变式1-1】根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出y的值等于一· 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是，+ 输入x的值→V3 >0 香，3 【变式1-2】非遗艺人裁剪桑皮纸条拼接三角形装饰挂件，下面每组三根桑皮纸条的长度，不能拼成直角 三角形挂件的是() A.1,2,2 B.1,V5,2 C.3,4,5 D.7,24,25 题型2二次根式的除法 【例3】计算： @层 y （y>0)· 【例4】下列运算中，错误的是() 2x+y-2 A,2x3=N6B.N6÷2=5 C.3x+y 3 D.(-2}2=2 【变式2-1】下列运算正确的是() A.8=2 B. V(-9y=-9 C.3×6=25 D.√6÷√2=3 【变式2-2】计算V2÷V5的结果是() A.3 B.6 C.2 D.5 题型3二次根式的乘除混合运算 【例5】按要求完成下列各题： (2)求方程(x+5)2=12的解。 【例6)计算： 0x2÷3层（a>0b>0 【变式31】计算： 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sw周 a≥0'b≥0)· 3)V75x√32÷√12 ④a8aV2a 1 v2a a 式32计：名 b (其中a>0,b>0)· 题型4分母有理化 22 【例7】在7,2π’0： 22 3 8，-√0.9中，无理数有 个 【例8】化简求值： x-y÷ x2-y2 2y (1)化简x+3y2+6xw+9yx+y a-1a-1.a1 (②)先化简，再求值： a+1a气a+2+2a,其中a=5-1 【变式41】完成下列各题： 2x-6<3x① (1)求不等式组 x+2_-1≥0②的解集： 54 3 x2-2x+1 (②)先化简，再求值： x+2 2x+4,其中x=2+1 3a2-3.。2a-1 【变式42】先化简，再求值：a2+a(“ ÷a 其中a=3+1 题型5最简二次根式的判断 【例】下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.-√2 B.12 C.√0.2 D.a 【例10】下列各式中，最简二次根式是() A 0.1 B.5 C.2 D.24 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式51】下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.3 B.5 C.7 D. √20 【变式52】下列二次根式中，不是最简二次根式的是() A.5 B. vx+1 C.⑩ D. 题型6化为最简二次根式 【例11】下列各式中，是最简二次根式的是() A,V⑧ B.√20 C.5 D.V0.4 【例12】与V2是同类二次根式的为() A.V⑧ B.5 C.12 D.6 【变式61】下列根式是最简二次根式的是() A. C.0.5 D.⑧ 【变式6-2】下列二次根式，不能与V12合并的是() B. 8 C.3 D.48 题型7已知最简二次根式求参数 【例13】若最简二次根式Vm-1与V⑧可以合并，则V2m-1的值是() A. B.5 c.5 D.V17 3 【例14】当m= 时，两个最简二次根式2 2m+l和42+m可以合并. 【变式7-1】如果两个最简二次根式V1+a与V6a-4的被开方数相同，那么a= 【变式7-2】若最简二次根式√a+1可以与V12合并，则a的值是() A.11 B.4 C.2 D.1 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.下列二次根式是最简二次根式的是() 4阳 B.3 c.8 D.4 2.下列式子中，最简二次根式是() 4阳 B.V0.5 c.V18 D.21 3.下列二次根式中，最简二次根式是() A.V20 B.V22 D.V0.2 4.已知x=1-/13 2 则x2-x-4=() A.V13 B.-/13 c.1 D.-1 5.下列计算结果正确的是() A.(-3)石=-3 B.V5-V2=3 c.V2×8=4 D.6-2 6.将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放.在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是( A.2:1 B.5:2 c.V2:1 D.V5:2 7.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D是AC的中点.动点E从三角形某顶点出发，沿三角形的 边按每秒1个单位长度顺时针运动，设运动时间为x,线段DE长度为y,则y与x的函数图象如图2所示， 其中N是中间曲线的最低点，那么点N的坐标是() 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.8,3 B.10,3 C.9,2 D.8,2 8.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DF⊥AE交AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行 BE 3 DP 四边形DFEP,连接AP、CP,若BC气，则AP等于()· B V29 5V29 3V29 A.2 B. 10 C. 58 D. 29 二、填空题 9化筒号的结果为 10.计算2的结果是 11.计算：16=：-23= :(8+V2°= 12.若一个三角形的三边长分别为V5,V7,2V3,则此三角形的面积为 1 13.设a=710-3b=/10+3,则a b.(填“>”“<”或“=”) 14.定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点.当这个点 是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点 如图①，在△ABC中，AB=AC,A是B、C两点的等腰点，也是强等腰点，B是A、C两点的等腰点， C是A、B两点的等腰点. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② 图③ (1)如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中， 是A、B两点的等腰点的有 个 (2)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,D是AC的中点，P是射线BD上一个动点， 点P恰好成为B、C或A、B的强等腰点时，BP的长为 三、解答题 15.计算：-22-V2×8-3.14-π°： 16.计算：-V2-2sin45°+1-3°+2×8. 17.计算：-2+号/应-1-3 18.计算： 088+22-3-(}-(2016+R2, e哈a6(-8ab1-3语 10/10