26.4.2实际问题与二次函数（第2课时）课件2026-2027学年新人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在利润问题中的应用，通过复习上节课最值求解步骤，衔接商业利润实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握利润问题转化为二次函数模型的方法。 其亮点在于分涨价、降价两种情况分类建模，结合表格梳理量的关系，通过课堂练习强化应用。体现模型意识与运算能力，如探究题中建立函数并配方求最值，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十六章 二次函数 26.4.2 实际问题与二次函数 第2课时 学习目标 1、掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型. 2、能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润； 复习导入 上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 1. 建立二次函数模型 2. 确定自变量取值范围 3. 求解函数最值： (1)若顶点横坐标在自变量取值范围内，利用求出； (2)若横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性求出. 4. 解释实际意义 今天我们继续学习二次函数在商业中的应用 —— 最大利润问题. 探究新知 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 探究新知 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元. (1)如何定价才能使利润最大？ (2)最大利润是多少？ 总利润 = 每件利润 × 销售量 利润 = 售价 - 进价 售价、销售量、每件利润和总利润都会随着价格调整而变化. 调整价格包括涨价和降价两种情况，下面我们线讨论涨价情况。 探究新知 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 涨价 降价 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 40 40 40 60 60+x 60−z 300 300−10x 300+20z 商品总利润 = 总售价 − 总进价 （1）设每件涨价x元，利润y元 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+x 300−10x 所以利润为：y = (60+x-40)(300−10x) 即y = −10x2+100x+6000 . 其中，0 ≤ x ≤ 30，x为整数. 商品总利润 = 总售价 − 总进价 y = −10x2+100x+6000（0≤ x ≤30） 根据上面的函数，填空： 当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是_________. = −10(x2 − 10x) + 6000 = −10(x − 5)2 + 6250 5 5 65 6250元 探究新知 参考涨价的求解过程，试求出降价时最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 40 60 300 降价 40 60−m 300+20m （2）设每件涨价m元，利润w元 所以利润为： 新知探究 ①结合总利润的公式可得： 函数解析式： ②自变量取值范围： 且， 解得，且为整数。 ③顶点横坐标 因为为整数，所以当或时，取得最大值。 当时，（元） 当时，（元） 此时定价为元或元 探究新知 10 探究新知 在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或 配方法求出二次函数的最大值. 需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标 不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的 增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 11 1、某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元. (1)求每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式. (2)销售单价为多少元时,每天的销 售利润最大?最大利润是多少? 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 课堂练习 解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)] =- 5x2 + 800x-27500， 即y=-5x2 +800x-27500( 50≤x≤100). 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 50 x 50+5(100-x) (2)y=-5x2+800x-27500 =-5(x-80)2+4500. 因为-5<0，50≤x≤100， 所以当x=80时，y有最大值4500， 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元. 课堂练习 2.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 【选自教材P53 练习 第1题】 解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元. 则每人缴费2100－30(x－20)元， y=[2100－30(x－20)]x= －30x2+2700x= －30(x-45)2+60750. 所以当x=45时，y最大值=60750. 答:旅行团的人数为45人时,旅行社可获得最大营业额60750元. 课堂练习 3.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少? 【选自教材P53 练习 第2题】 解：设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 则y=(50－)x－(500+10x) = －2+40x－500 = －+2700. 所以当x=160时，y最大=2700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元. 课堂练习 4.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设所得利润为y元. 由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大. 课堂练习 5.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元. 由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天盈利最多. 课堂练习 课堂练习 6. 2026年马年春晚，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1) 请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2) 若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 课堂练习 解：(1)由题意，设一次函数关系式为y=kx+b (k≠0)， ∵当x=50时，y=40；当x=40时，y=50， ∴ ∴ 所求函数关系式为y=-x+90. 课堂练习 解：(2)由题意，设每天的销售利润为W元， ∵单件利润为(x-30)元，销售量为 y=-x+90， ∴W=(x-30)y=(x-30)(-x+90) =-x2+120x-2 700 =-(x-60)2+900． ∵-1＜0， ∴当x=60时，利润W取最大值，最大值为900． 答：利润最大时的销售单价应定为60元，最大利润为900元． 课堂练习 $