26.4.2商品利润最大问题-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决商品利润最大问题，通过“某商品调价”探究导入，先回顾利润公式、二次函数模型及解题步骤，再结合涨价、降价实例建立函数关系，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于用表格梳理数量关系培养抽象能力和模型意识，分步骤推导解析式强调自变量取值发展推理能力，练习题结合生活实例增强应用意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化流程和例题提高教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 26.4.2 商品利润最大问题 练习题 知识点回顾：1. 核心公式（必考）：单件利润 = 售价 − 进价；总利润 = 单件利润 × 销售数量。2. 解题模型：调价类利润问题均为二次函数模型 $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$，$$a<0$$ 开口向下，存在最大利润。3. 通用解题步骤：①设涨价/降价金额为 $$x$$；②表示出新单价、新销量；③代入利润公式列出二次函数解析式；④利用顶点公式 $$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 求最值点；⑤结合实际取值（售价、销量为正数、整数）验证结果，求出最大利润。4. 核心规律：涨价销量减少，降价销量增加，需精准对应数量变化关系。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一件商品进价20元，售价x元，卖出10件，总利润为（） A. $$10x-20$$ B. $$10(x-20)$$ C. $$10x+20$$ D. $$x-200$$ 2. 利润函数 $$W=-5x^2+200x+300$$，则该函数最值为（） A. 最大利润 B. 最小利润 C. 无最值 D. 无法确定 3. 某商品进价30元，售价50元，每天卖20件，每件涨价1元少卖1件，设涨价x元，日销量为（） A. $$20+x$$ B. $$20-x$$ C. $$50-x$$ D. $$30-x$$ 4. 利润函数 $$W=-2x^2+40x+100$$ 的最大利润为（） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 5. 商品调价求最大利润问题，自变量x的取值优先满足（） A. x为负数 B. 售价、销量均为正数 C. 无需限制 D. x最大即可 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 总利润的计算公式：总利润 = __________ × __________。 2. 利润二次函数 $$W=-3x^2+60x$$，当 $$x=$$__________ 时，利润最大。 3. 商品进价15元，原售价25元，每天售30件，每降价1元多卖5件，降价x元后，单件利润为__________。 4. 开口向__________的利润二次函数，存在最大利润，符合商业最值问题。 5. 某商品涨价x元后销量为 $$100-5x$$，自变量x的取值范围是__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）某商品进价每件40元，售价每件60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每件涨价1元，每周销量减少10件。设每件涨价x元，每周总利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式；（2）求涨价多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？ 2.（20分）某文具进价每件10元，售价18元，每天可卖40件。若每件降价1元，每天多卖8件，设降价x元，日利润为W元。 （1）写出利润函数解析式；（2）求最大日利润及对应售价。 3.（20分）某服装店销售一款T恤，进价25元，原售价40元，每月售出200件。经统计，每涨价2元，月销量减少20件，设每件涨价x元，月利润为W元，求该商品的最大月利润。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 二、填空题 1. 单件利润、销售数量 2. 10 3. $$10-x$$ 4. 下 5. $$0\leq x\leq20$$（x为非负整数） 三、解答题 1. 解：（1）单件利润：$$60+x-40=20+x$$，销量：$$300-10x$$ $$W=(20+x)(300-10x)=-10x^2+100x+6000(x\geq0,300-10x>0)$$，即 $$W=-10x^2+100x+6000(0\leq x<30)$$。 （2）$$a=-10<0$$，开口向下，有最大值。$$x=-\dfrac{100}{2\times(-10)}=5$$。 代入得：$$W_{\text{max}}=-10\times5^2+100\times5+6000=6250$$。 答：涨价5元时，每周利润最大，最大利润6250元。 2. 解：（1）单件利润：$$18-x-10=8-x$$，销量：$$40+8x$$ $$W=(8-x)(40+8x)=-8x^2+24x+320(0\leq x<8)$$。 （2）$$x=-\dfrac{24}{2\times(-8)}=1.5$$，$$W_{\text{max}}=-8\times1.5^2+24\times1.5+320=338$$。 对应售价：$$18-1.5=16.5$$元。答：售价16.5元时，最大日利润338元。 3. 解：单件利润：$$40+x-25=15+x$$，每涨价1元少卖10件，销量：$$200-10x$$。 $$W=(15+x)(200-10x)=-10x^2+50x+3000$$。 $$x=-\dfrac{50}{2\times(-10)}=2.5$$，$$W_{\text{max}}=-10\times2.5^2+50\times2.5+3000=3062.5$$。 答：最大月利润为3062.5元。 26.4.2商品利润最大问题 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 3. 学习目标 推进新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 探究 进价/元 售价/元 数量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 分析： 3 进价/元 售价/元 销量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30. 利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量 怎样确定n的取值范围？ 可得：0≤n≤30. y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30） 抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元. (5,6250) 5 6250 n取何值时，y有最大值？最大值是多少？ =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 涨价： 进价/元 售价/元 销量/件 利润 降价 40 60-m 300+20m 解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20. 怎样确定m的取值范围？ 可得：0≤m≤20. 降价情况下的最大利润又是多少呢? y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20) 抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元. (2.5,6125) 2.5 6125 m取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元. 降价： =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元. （1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 随堂演练 基础巩固 1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)： (1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6. 2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大. 应用1 与三角形面积结合 1.一块三角形材料如图所示， ， ， 九年级（8）班的同学在 劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中 点，，分别在边，，上．设 的 长为，矩形的面积为 ． （1）写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围； 中考考法 11 【解】 四边形 为矩形， , . 在中， , , ， ． 中考考法 12 在中， , , , ， ， ， ． 中考考法 （2）当矩形的面积为时，求 的长； 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， 即 的长为4或8． 中考考法 14 （3）若矩形的面积不小于 ，请直接写 出的长 的取值范围． . 【点拨】由题意，得 ， 整理，得 ， 解得 . 中考考法 15 应用2 与展开图结合 2. 在一次劳动课中，老师准备了一 些长为、宽为 的长方形硬 纸板，准备利用这些纸板制作无盖的 长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不 计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为 的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，#1 中考考法 16 将纸板沿, 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体 纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）．#1 （1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长； 【解】由题意可知， ， ． 中考考法 17 （2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与 （单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单 个无盖纸盒的体积 的值． 中考考法 18 根据题意，可知无盖纸盒的长,宽,高分别为 , , ， ， 当时， ． 中考考法 19 课堂小结 利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $