精品解析：陕西省西安市曲江康桥学校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试题（卷）八年级数学（北师大版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. “不大于”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 4. 如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 6. 若分式方程有增根，则的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段上的一点，连结．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则的值为______． 10. 若正边形的每一个内角为，则_______． 11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 12. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是__________． 13. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为________． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为_______． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写过程） 15. 分解因式： （1） （2） 16. 解一元一次不等式组 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 20. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． （1）若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； （2）该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 22. 已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D． （1）求直线的函数关系式及点A的坐标； （2）设点，若，求a的值及点C的坐标； （3）将直线向上平移3个单位长度得直线l，在直线上有一点E，直线l上有一点F，是否存在，使以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 （2）如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试题（卷）八年级数学（北师大版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. “不大于”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 2. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可． 【详解】解：A、，所以该选项不符合题意； B、，所以该选项不符合题意； C、是整式的乘法，所以该选项不符合题意； D、，所以该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 3. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：A． 4. 如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据平行四边形对角相等可知，根据等边对等角可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据角的和与差可求的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5. 如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 为的中点， 为的中位线， ． 故选：D． 6. 若分式方程有增根，则的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 分式方程有增根， ， 即， 解得， 故选：A． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转性质得到相关角度及边，进而得到是等腰直角三角形，是直角三角形，在和中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形，则， ，即， 连接，如图所示： 由选转性质可知，，，且， 是等腰直角三角形，是直角三角形， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理求线段长等知识．熟练掌握旋转性质及勾股定理是解决问题的关键． 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段上的一点，连结．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 先由菱形的性质得到，，，从而可求得，设，则，则，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件； 根据分式的值为0，分子为0，分母不为0列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 又∵，即， ∴， 故答案为：2． 10. 若正边形的每一个内角为，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键． 根据正多边形的内角和定理列出方程求解． 【详解】解：正边形的每一个内角为， 则正边形的内角和为， ， 整理得， 解得． 故答案为：10． 11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 12. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键． 连接，，由菱形的性质可知是等边三角形，过点作于点，过点作于点，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可． 【详解】解：连接，，如图： ∵四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； 故答案为： 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间的距离公式等知识点．作交的延长线于点，设，则，，证明，求得，，利用勾股定理求得，，即，则的最小值为点到点和点的距离最小，再利用坐标与图形的性质求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 设， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为点到点和点的距离最小，如图， 作点关于的对称点，连接， 则的最小值为的长， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写过程） 15. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原式变形后提取公因式即可完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 解一元一次不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，将其化简为一元一次的整式方程，解出方程即可． （2）先利用平方差公式整理方程，再利用提公因式法整理方程，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：, 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 经检验是原方程的解． 【小问2详解】 解： 方程左边因式分解得， 移项得， 提公因式得， 整理方程得， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将除法转化为乘法，分解因式后约分，计算分式减法，再代入的值计算． 【详解】 解： 原式 ． 当时， 原式． 19. 如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交于点E，连接，点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 21. 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． （1）若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； （2）该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】（1）道路宽度为10米 （2）每平方米草莓平均利润下调48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 22. 已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D． （1）求直线的函数关系式及点A的坐标； （2）设点，若，求a的值及点C的坐标； （3）将直线向上平移3个单位长度得直线l，在直线上有一点E，直线l上有一点F，是否存在，使以O、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代求得b即可直线的函数关系式，再令即可求得点A的坐标； （2）先确定B点坐标为，则，再表示出点C的坐标为，点D的坐标为，则有，然后解方程即可； （3）由平移的性质可得，设E点坐标为，F点坐标为，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的对角线相互平分列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把点代可得，解得：， ∴直线的函数关系式为， 令可得，解得：， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：把代入可得， ∴B点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴，解得：或1， 当时，，则点C的坐标为：； 当时，，则点C的坐标为：； ∴点C的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位长度得直线l， ∴直线l的解析式为， 由题意可得：, 设E点坐标为，F点坐标为， 当为平行四边形的一边时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 当为平行四边形的一边时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 当为平行四边形的对角线时，四边形为平行四边形， 则有：，解得：； ∴; 综上，点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与几何的综合、一次函数的平移、平行四边形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 （2）如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理即可求解； （2）利用中位线定理，连接得，根据垂线段最短找到最短的情况，然后利用等面积法即可求解； （3）取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，可得四边形是矩形，，利用勾股定理可得，根据得，则可推得，据此可判断最小时的位置，利用垂线段最短和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴; 【小问2详解】 解：如图，连接，连接交于点O， ∵M，N分别是，的中点， ∴为的中位线，即， ∴当时，最小，从而最小， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 如图，取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，过点W作于点V ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，，Q为的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， , 在中，由勾股定理，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴最小值是的长， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，即， 即灌溉水渠总长度的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，能够根据垂线段最短构造相关的三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $