26.4.1实际问题与二次函数（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心内容为将实际问题转化为二次函数模型并求最值。通过复习二次函数顶点坐标、开口方向等旧知导入，搭建从数学问题到实际应用的学习支架，衔接自然。 其亮点在于结合跳水运动、矩形菜园等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题的意识，通过“审设列解检答”步骤引导数学思维，强化模型意识。课堂小结结构化梳理问题处理路径，助力学生系统掌握方法，既提升学生应用能力，也为教师提供清晰教学指引。

第二十六章 二次函数 26.4.1 实际问题与二次函数 第1课时 学习目标 1、能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法. 2、能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值； 复习导入 用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值. （1）y=x2-4x-5 （2）y=-x2+x+ 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 向上 x=2 （2，-9） y最小值=-9 向下 y最大值= 探究新知 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=－4.9t²+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 分析 “达到最高点”对应二次函数取得最大值时自变量的值. “最大高度”对应二次函数的最大值。 探究新知  解： 确定二次函数的系数： ，，。 计算顶点横坐标（达到最高点的时间）： 计算顶点纵坐标（最大高度）： =11.4（m) 探究新知 思考：函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 探究新知 归 纳 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x= 时，二次函数有最小（大）值 . 课堂练习 【选自教材P52 练习第2题】 1.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m)与小球运动的时间 t (单位：s)的关系近似为 h=30t-5t2 (0≤ t ≤6) .小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：h=30t-5t2=-5(t-3)2+45. ∵ 0≤ t ≤6， ∴当t=3时，h有最大值45. 答：小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m. 探究新知 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 要求矩形的最大面积，需要先建立面积与边长之间的函数关系. 设垂直于墙的边长为 则平行于墙的边长为 矩形面积 在这个问题中，自变量可以取任意实数吗？为什么？ 不可以，因为矩形的边长必须为正数，所以 ，且 解得 探究新知 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . (20-2x)m x m 探究新知 思考：如果例题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 且20-2x≤8，即x≥6， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即S=-2x2+20x (6≤x<10). ∵当6≤x<10时，S随x的增大而减小， ∴当x=6时，S有最大值-2×62+20×6=48. 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48 m2. 探究新知 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 课堂练习 1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m，花园面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式; (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值. 解：(1) 由题意得BC=(28-x) m， 则S=x(28-x)=-x2+28x (0<x<28). (2) ∵S=-x2+28x=-(x-14)2+196, ∴当x=14时，S有最大值，最大值是196. 2.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10， 当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 课堂练习 课堂练习 3、如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式是什么？ 解：设的长度为， 则， 由题意得，， 答：函数解析式为：． 4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 解：令AB长为1，设AE=x，正方形EFGH的面 积为y，则AH=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 课堂练习 课堂小结 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. $