2.2二次函数的图像与性质同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.2二次函数的图像与性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 2．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（　　） A． B． C． D． 3．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．下列抛物线不经过原点的是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 7．将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得拋物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 11．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 12．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标为 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．图象的对称轴在轴的右侧 二、填空题 13．抛物线的开口 对称轴是 ，顶点坐标是 14．已知函数图象上两点，，其中，则 ． 15．抛物线的顶点坐标 ． 16．填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 17．下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ．（填对应的序号） 三、解答题 18．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 19．下表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 0 … (1)利用表中的数据，在所给的坐标系中用描点法画出这个二次函数的图像； (2)根据表中的数据或二次函数的图象直接写出： ①抛物线的顶点坐标 ； ②当 时，随的增大而增大． 20．已知二次函数， (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 22．如图，二次函数的图象经，，三点．    (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？ 23．定义：一般地，对于多项式函数（，，均为常数）的自变量满足，而因变量满足（其中），则称该函数为切比雪夫双域齐次函数．相似的，对于分段函数（，，均为多项式函数），若该函数的一支或某几支图象的一部分自变量满足，而因变量满足（其中），则称该函数为阶切比雪夫双域齐次函数． 例如：二次函数若为切比雪夫双域齐次函数，则取值范围为． (1)根据切比雪夫双域齐次函数的定义，探究部分取值时该函数的性质： i．当且时，为切比雪夫双域齐次函数，则求和的值； ii．当时，已知函数的函数图象以及数据信息如图1所示，若该函数为切比雪夫双域齐次函数，则自变量的取值范围为______；（提示：参考函数图象如图2所示，，和为图象与轴的三个交点，参考数据：） (2)当时，已知函数，其中为常数，记函数的图象为． ①当时，求函数在上最大值与最小值的差； ②设函数图象左支的顶点坐标为，求关于的函数解析式； ③请讨论，当变化时，是否存在某一个值或取值范围使得函数在某一关于的取值范围中为2阶切比雪夫双域齐次函数．若存在，请讨论并求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 24．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 《2.2二次函数的图像与性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C C D B C B C 题号 11 12 答案 A B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析判定即可． 【详解】解∶ 二次函数的二次项系数为1，则其图象开口向上， 其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故选∶C． 2．B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的形状大小由的大小决定，开口方向由的正负决定是解题的关键．利用形状大小开口方向相同可得二次项系数相同，即可解决． 【详解】解：∵与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同， ∴二次项系数等于， 只有选项B符合， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了一元二次函数的图像与性质，先根据表格得到对称轴，以及顶点，进而得到的值，然后再随便代入一个点即可得到的值，再根据图像的性质得到取值范围，考虑对称轴处取得最值是解题的关键． 【详解】解：设一元二次函数为， 由表格可知与关于对称轴对称， ∴对称轴为， 即， 又由表格可知当时，， 即， ∴解析式为：， 将表格中已知的点代入可解得， ∴该一元二次函数解析式为：， 当时，在对称轴处取得最小值，在处取得最大值， 当时，， ∴此时的取值范围为， 故选：A． 4．C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 5．C 【分析】代入原点坐标到抛物线解析式，等式成立即说明抛物线经过原点． 【详解】A选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； B选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； C选项，代入原点坐标，得，等式不成立，抛物线不经过原点，符合题意； D选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查验证抛物线图象经过一定点，解题关键是代入点的坐标到抛物线解析式，等式成立说明抛物线经过此点． 6．D 【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为即可得出答案 【详解】解：抛物线的对称轴是，即为轴， 故选：D 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为， 故选：． 8．C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换， 根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所以平移后抛物线的解析式为 故选∶B． 10．C 【分析】根据二次函数顶点式的坐标特点直接代值求解即可． 【详解】二次函数的图象的顶点坐标是 故选：C 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，解题关键是二次函数顶点式即可直接写出顶点坐标． 11．A 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质，根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意：二次函数的越大，图像开口越小． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故选项符合题意； B．图像开口向上，故选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故选项不符合题意； D．图像开口向上，故选项不符合题意． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴当时，，故选项A错误， 当时，y取得最小值，此时，故选项B正确， 当时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项D错误， 故选：B． 13． 向下 y轴 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式，根据可知开口朝下，对称轴为，顶点坐标为 【详解】二次函数解析式， 开口朝下，对称轴为（或y轴），顶点坐标为 故答案为：向下，y轴， 14． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式得到其增减性，再根据其增减性即可判断、的大小． 【详解】解：函数解析式为，其中， 函数图象开口向下， 函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为： 16．见解析 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为： ， 当时，有最大值，最大值为0， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， 当时，有最小值，最小值为0， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故答案为：   向下  轴    0  大  0  减小   增大；    向上  轴    0  小  0  增大  减小． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练利用二次函数的解析式画出图象，并掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质是解题的关键． 17．②③① 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，的绝对值越小，开口越大．利用二次函数的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案． 【详解】解：， 抛物线开口按从大到小的顺序排列是②③①， 故答案为：②③①． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 19．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象，数形结合是解题的关键． （1）先利用描点、连线的方法画出图形； （2）①根据图象找出函数图象的顶点坐标即可； ②根据图象，求出自变量的范围即可； 【详解】（1）解：描点、连线得： （2）①由函数图象得抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； ②由函数图象得，当时，随的增大而增大． 故答案为： 20．(1)； (2)二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【分析】本题主要考查了将二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图像与性质等知识点，掌握用配方法把函数解析式化成顶点式是解题关键． （1）根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）根据（1）中的顶点式解析式即可解答． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴该二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 21．(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 22．(1)，，， (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由图可知：，，， 设抛物线解析式为， 根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质． 23．(1)i．或；ii． (2)①；②；③存在，或 【分析】本题考查了新定义问题，根据定义解答问题，函数交点的转化，根据函数图象解题，分段函数的性质，含参抛物线顶点轨迹问题， 分段函数图象与直线交点问题；解题的关键是画出函数图象，把函数转换成与直线的交点情况． （1）i．根据切比雪夫双域齐次函数的定义得到，当时，，再根据和分情况讨论，求解析式即可； ii．结合的函数图象得到与交点坐标为，，，再结合函数图象可以看出当时，随的增大而增大，此时，即函数为切比雪夫双域齐次函数，即可求解； （2）①当时，求出解析式画出大致图象如图，由图可知，在范围内，当时，；当时，，即可求出最大值与最小值的差； ②函数图象左支化为顶点式：，根据顶点坐标得到，，消去即可得到． ③根据切比雪夫双域齐次函数的定义，得到满足切比雪夫双域齐次函数有两种情况：ⅰ该函数与直线交于，两点，且函数在区间上的增减性一致；ⅱ该函数与直线交于和，且函数在区间上的增减性一致，再分别考虑两种情况下，左右两支增减性一致时的取值范围即可． 【详解】（1）解：i．当且时，为切比雪夫双域齐次函数， 当时，， 当时，随的增大而增大， 由题意得：，解得； 当时，随的增大而减小， 由题意得：，解得； 或； ii．函数的函数图象与的函数图象大致位置如图1， 联立得， 参考函数图象如图2所示，，和为图象与x轴的三个交点， 方程三个解为， 与交点坐标为，，， 根据函数图象可得当时， ， 函数为切比雪夫双域齐次函数时，； 故答案为：． （2）解：①当时，． 画出大致图象如图3： 由图3可知，在范围内，当时，；当时，． 函数在上最大值与最小值的差； ②函数图象左支化为顶点式：． 函数图象左支的顶点坐标为， ， ， 代入得，， 关于的函数关系式为． ③对于多项式函数自变量x满足，而因变量满足，则称该函数为切比雪夫双域齐次函数， 满足切比雪夫双域齐次函数分为两种情况来分析：ⅰ该函数与直线交于，两点，且函数在区间上的增减性一致；ⅱ该函数与直线交于和，且函数在区间上的增减性一致； 函数左支对称轴为直线，右支对称轴直线， 由②可得函数y图象左支的顶点关于的函数关系式为， ⅰ先考虑第一种情况：如图4，2阶函数左支轨迹如图所示； 如图5，当m增大时，根据图象可得，，左支沿着轨迹运动至恰好与只有一个交点时，为临界状态， 此时联立， 即方程只有两个相同的实数解， ， 解得，（负值舍去）， 如图6，当m继续增大，左支抛物线的顶点在上时，此时左支抛物线与有两个交点， ， 解得，（负值舍去）， 在这段过程中左支与直线交点之间，还满足左支函数y随x的增大而增大，符合增减性一致， ． 当时，左支与直线交点之间的部分先减小后增大，不符合增减性一致，而右支同样如此，且左、右支由于增减性不一致不能构成2阶切比雪夫双域齐次函数． ⅱ下面考虑第二种情况， 函数过点和点， ， ， 函数过点和点， 得，， 整理得，， 因式分解得，， ， ，即， ， 如图7所示，当m增大时，根据图象可得，，左支抛物线的顶点在上时，此时左支抛物线与有两个交点， ， 整理得，， 解得，（舍去），， 当时，左支与直线交点之间的部分先减小后增大，不符合增减性一致，而右支同样如此，且左、右支由于增减性不一致不能构成2阶切比雪夫双域齐次函数． 如图8，当m继续增大，左支沿着轨迹运动至恰好与只有一个交点时，为临界状态． 此时联立， 即方程只有两个相同的实数解， ， 解得（负值舍去）， ∵在这段过程中左支与直线交点之间，还满足左支函数y随x的增大而减小，与函数增减性一致， ． 综上，或． 24．见解析 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $