1.4 练习2　充要条件 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础概念辨析、综合应用提升、跨情境拓展三阶分层设计，构建从单一充要条件判断到复杂问题解决的知识巩固路径，适配新授课分层教学与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一充要条件判断|以集合关系、方程求解为情境，直接考查概念（如第1-4题）| |综合应用|多知识点结合|结合不等式、函数、集合运算，需逻辑推理（如第5-12题含多选与填空）| |拓展提升|跨情境与证明|融入古文情境（第7题）、集合与逻辑综合证明（第14题），发展推理能力|

1.4 练习2　充要条件 1. 设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. (2025·山西大同高一检测)设x，y∈R，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知p：x≤－1，或x≥3，q：x＞5，则p是q的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　 　) A. {m|m≥8} B. {m|m＞8} C. {m|m＞－4} D. {m|m≥－4} 6. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是(　 　) A. a＜0 B. a＞0 C. a＜－1 D. a＞1 7. (2025·贵州六盘水高一检测)《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的 (　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. (多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　 　) A. A⊆B B. B⊆A C. ∁UA⊇∁UB D. ∁UA⊆∁UB 9. (多选)下列说法中，p是q的充要条件的有(　 　) A. p：△ABC有两条边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形 B. p：x，y均为无理数，q：x＋y为无理数 C. p：|a＋b|＝|a|＋|b|，q：ab＞0 D. p：函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，q：a＋b＋c＝0 10. 已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝　 　.  11. (2025·上海高一检测)(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的　 　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).  12. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空： (1)a，b都为0的必要条件是　 　；  (2)a，b都不为0的充分条件是　 　；  (3)a，b至少有一个为0的充要条件是　 　.  13. 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a＞－1； (4)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B. 14. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab). 15. 设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　 　) A. m＞－1，n＜5 B. m＜－1，n＜5 C. m＞－1，n＞5 D. m＜－1，n＞5 16. (2024·张家口一中高一检测)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 练习2　充要条件 1. 设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　C　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件. 2. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件. 3. (2025·山西大同高一检测)设x，y∈R，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】当x＝6，且y＝6时，x＋y＝12，则“x＝6，且y＝6”⇒“x＋y＝12”，另一方面，当x＋y＝12时，可取x＝5，y＝7，则“x＋y＝12” ⇒/ “x＝6，且y＝6”，因此，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的充分不必要条件. 4. 已知p：x≤－1，或x≥3，q：x＞5，则p是q的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】由{x|x＞5}是{x|x≤－1，或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件. 5. 已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　B　) A. {m|m≥8} B. {m|m＞8} C. {m|m＞－4} D. {m|m≥－4} 【解析】由4x－m＜0，得x＜；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，∴m＞8. 6. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是(　C　) A. a＜0 B. a＞0 C. a＜－1 D. a＞1 【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴解得a＜0，∴一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是a＜－1. 7. (2025·贵州六盘水高一检测)《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的 (　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，∴“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件. 8. (多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　AC　) A. A⊆B B. B⊆A C. ∁UA⊇∁UB D. ∁UA⊆∁UB 【解析】由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，则A∩B＝A，对于C来说，实际上也是A⊆B. 9. (多选)下列说法中，p是q的充要条件的有(　AD　) A. p：△ABC有两条边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形 B. p：x，y均为无理数，q：x＋y为无理数 C. p：|a＋b|＝|a|＋|b|，q：ab＞0 D. p：函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，q：a＋b＋c＝0 【解析】对于A，在△ABC中，设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，若p成立，不妨设h1＝h2，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得AB＝AC，即q成立；若q成立，不妨设AB＝AC，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得h1＝h2，即p成立，A满足题意；对于B，当x＝1－，y＝1＋时，x＋y＝1－＋1＋＝2为有理数，此时p成立，q不成立，B不满足题意；对于C，当a＝b＝0时，p成立，q不成立，C不满足题意；对于D，若p成立，则当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，即q成立，当q成立时，显然p成立，D满足题意. 10. 已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝　 －1　.  【解析】由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，∵p是q的充要条件，∴a－1＝－2，即a＝－1. 11. (2025·上海高一检测)(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的　充要　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).  【解析】由(a－b)2＋(b－c)2＝0得到即a＝b＝c，当a＝b＝c时，则a－b＝0，b－c＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的充要条件. 12. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空： (1)a，b都为0的必要条件是　①②③　；  (2)a，b都不为0的充分条件是　④　；  (3)a，b至少有一个为0的充要条件是　①　.  【解析】对于①，ab＝0⇔a＝0，或b＝0，即a，b至少有一个为0；对于②，a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；对于③，a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数；对于④，ab＞0⇔或即a，b同为正数或同为负数.综上可知，使a，b都为0的必要条件是①②③；使a，b都不为0的充分条件是④；使a，b至少有一个为0的充要条件是①. 13. 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a＞－1； (4)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)·(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0⇒/x－3＝0，故p是q的充分不必要条件. (2)两个三角形相似 ⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件. (3)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)＞0，且a≠0，得a＞－1，且a≠0，即p⇒q；反之，当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q ⇒/ p，故p是q的充分不必要条件. (4)∵A∪B＝A⇔A∩B＝B，∴p是q的充要条件. 14. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab). 证明：先证必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0. 再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0，∵ab≠0，a2－ab＋b2＝b2＞0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 15. 设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　A　) A. m＞－1，n＜5 B. m＜－1，n＜5 C. m＞－1，n＞5 D. m＜－1，n＞5 【解析】要寻求P∈A∩(∁UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手.∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，A∩(∁UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}，①由P∈A∩(∁UB)可得，∴m＞－1，n＜5，∴m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩(∁UB)的必要条件.②当m＞－1，n＜5时，由解得即P(2，3)∈A∩(∁UB)，∴m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩(∁UB)的充分条件. 16. (2024·张家口一中高一检测)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}. (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，即此方程组无解，∴不存在实数m，使P是S的充要条件. (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P. 当S＝⌀时，1－m＞1＋m，解得m＜0； 当S≠⌀时，1－m≤1＋m，解得m≥0， 要使S⊆P，则有解得m≤0，∴m＝0. 综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是m≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $