1.4.2 充要条件（第二课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件·学案

班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　第二课时

一、课前预习（阅读教材第20～22页，完成填空）

1．把命题"若p，则q"的条件和结论互换，得到命题"若q，则p"，叫做原命题的＿＿＿＿。

2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿＿"。此时p既是q的＿＿＿条件，也是q的＿＿＿条件，就说p是q的＿＿＿＿＿＿条件，简称＿＿＿＿条件。

3．如果p是q的充要条件，那么q＿＿＿（是/不是）p的充要条件。（充要条件是＿＿＿的）

4．（复习）上一课时：p⇒q ⟺ A＿＿B（A、B分别是p、q对应的集合）。

二、课堂探究

探究一　从逆命题到充要条件

判断下列各命题及其逆命题的真假（在括号内填"真"或"假"）：

(1)若两三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则两三角形全等。原命题（　　），逆命题（　　）。

(2)若两三角形全等，则两三角形周长相等。原命题（　　），逆命题（　　）；逆命题的反例：＿＿＿＿＿＿＿＿。

(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac＜0。原命题（　　），逆命题（　　）。

(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集。原命题（　　），逆命题（　　）。

其中原命题与逆命题都为真的是＿＿＿＿，这种"来回都通"的情形就是＿＿＿条件。

探究二　四种条件类型

填表（正推指p⇒q，反推指q⇒p）：

正推真、反推假 → p是q的＿＿＿＿＿＿条件；

正推假、反推真 → p是q的＿＿＿＿＿＿条件；

正推真、反推真 → p是q的＿＿＿＿条件；

正推假、反推假 → p是q的＿＿＿＿＿＿＿＿条件。

判断流程：正推一次、反推一次、＿＿＿＿＿。

练习：判断p是q的什么条件。

(1)p：x＝1，q：x²＝1。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿条件。

(2)p：x²＝1，q：x＝1。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿条件。

(3)p：x＞0，q：x＜0。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿＿＿条件。

探究三　例3　用判定定理判断充要

下列各题中，哪些p是q的充要条件？（是的打√，不是的说明哪个方向断了）

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形。（　　）

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例。（　　）

(3)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－2)＝0。（　　）

归纳：当一个对象的＿＿＿定理和＿＿＿定理"方向相反、内容相同"时，条件与结论互为充要。

技巧：只要有一个方向推不出，就立刻断定＿＿＿＿（是/不是）充要，不必推完两个方向。

探究四　★用集合观点统一判断（优生班课上完成，普通班选做）

补全对照表（A、B分别是p、q对应的集合）：

A⊊B → p是q的＿＿＿＿＿＿条件；　A⊋B → p是q的＿＿＿＿＿＿条件；

A＝B → p是q的＿＿＿＿条件；　　　A、B互不包含 → ＿＿＿＿＿＿＿＿条件。

口诀：＿＿充分，＿＿必要，＿＿即充要。

练习：p：－1＜x＜3，q：0＜x＜3。

A＝＿＿＿＿＿＿，B＝＿＿＿＿＿＿，画数轴：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

A与B的关系是＿＿＿＿，所以p是q的＿＿＿＿＿＿条件。

探究五　★充要条件的证明

例4　求证：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0。

证明分两步——

第一步，证＿＿＿性（即证：ac＜0 ⇒ 方程有一正根一负根）：