1.4.2 充要条件（第二课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“充要条件”核心知识点，通过课前预习梳理逆命题、p⇔q定义及充要条件对称性，衔接上一课时集合关系（A⊆B），搭建从命题到条件关系的学习支架，引导学生逐步构建知识脉络。 以多维度探究活动为特色，通过逆命题真假判断引入充要条件，用集合观点（小充分大必要口诀）统一条件类型，规范充要条件证明两步法，培养学生逻辑推理（数学思维）与抽象能力（数学眼光），分层设计满足不同学生需求，当堂检测即时反馈，助力高效学习。

1.4.2 充要条件·学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　第二课时 一、课前预习（阅读教材第20～22页，完成填空） 1．把命题"若p，则q"的条件和结论互换，得到命题"若q，则p"，叫做原命题的＿＿＿＿。 2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿＿"。此时p既是q的＿＿＿条件，也是q的＿＿＿条件，就说p是q的＿＿＿＿＿＿条件，简称＿＿＿＿条件。 3．如果p是q的充要条件，那么q＿＿＿（是/不是）p的充要条件。（充要条件是＿＿＿的） 4．（复习）上一课时：p⇒q ⟺ A＿＿B（A、B分别是p、q对应的集合）。 二、课堂探究 探究一　从逆命题到充要条件 判断下列各命题及其逆命题的真假（在括号内填"真"或"假"）： (1)若两三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则两三角形全等。原命题（　　），逆命题（　　）。 (2)若两三角形全等，则两三角形周长相等。原命题（　　），逆命题（　　）；逆命题的反例：＿＿＿＿＿＿＿＿。 (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac＜0。原命题（　　），逆命题（　　）。 (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集。原命题（　　），逆命题（　　）。 其中原命题与逆命题都为真的是＿＿＿＿，这种"来回都通"的情形就是＿＿＿条件。 探究二　四种条件类型 填表（正推指p⇒q，反推指q⇒p）： 正推真、反推假 → p是q的＿＿＿＿＿＿条件； 正推假、反推真 → p是q的＿＿＿＿＿＿条件； 正推真、反推真 → p是q的＿＿＿＿条件； 正推假、反推假 → p是q的＿＿＿＿＿＿＿＿条件。 判断流程：正推一次、反推一次、＿＿＿＿＿。 练习：判断p是q的什么条件。 (1)p：x＝1，q：x²＝1。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿条件。 (2)p：x²＝1，q：x＝1。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿条件。 (3)p：x＞0，q：x＜0。正推＿＿，反推＿＿，p是q的＿＿＿＿＿＿＿＿条件。 探究三　例3　用判定定理判断充要 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（是的打√，不是的说明哪个方向断了） (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形。（　　） (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例。（　　） (3)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－2)＝0。（　　） 归纳：当一个对象的＿＿＿定理和＿＿＿定理"方向相反、内容相同"时，条件与结论互为充要。 技巧：只要有一个方向推不出，就立刻断定＿＿＿＿（是/不是）充要，不必推完两个方向。 探究四　★用集合观点统一判断（优生班课上完成，普通班选做） 补全对照表（A、B分别是p、q对应的集合）： A⊊B → p是q的＿＿＿＿＿＿条件；　A⊋B → p是q的＿＿＿＿＿＿条件； A＝B → p是q的＿＿＿＿条件；　　　A、B互不包含 → ＿＿＿＿＿＿＿＿条件。 口诀：＿＿充分，＿＿必要，＿＿即充要。 练习：p：－1＜x＜3，q：0＜x＜3。 A＝＿＿＿＿＿＿，B＝＿＿＿＿＿＿，画数轴： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A与B的关系是＿＿＿＿，所以p是q的＿＿＿＿＿＿条件。 探究五　★充要条件的证明 例4　求证：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0。 证明分两步—— 第一步，证＿＿＿性（即证：ac＜0 ⇒ 方程有一正根一负根）： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 第二步，证＿＿＿性（即证：方程有一正根一负根 ⇒ ac＜0）： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 小结：证充要，分两步——先证＿＿＿性（条件⇒结论），再证＿＿＿性（结论⇒条件），每步开头标明方向，缺一步不可。 三、当堂检测（限时4分钟） 1．"x＞2"是"x＞0"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 2．设x∈R，则"x²－3x＋2＝0"是"x＝2"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 3．已知p：－1≤x≤3，q：0≤x≤3，则p是q的＿＿＿＿＿＿条件（用集合关系判断）。 4．方程x²＋x＋m＝0有实数根的充要条件是m＿＿＿＿。 四、本章小结（自我梳理） 1.1＿＿集合；1.2＿＿集合；1.3＿＿集合；1.4用集合的语言刻画条件之间的＿＿＿关系。 充要条件：p⇔q，对应集合关系A＿＿B；四种类型的判断最终都落到集合的＿＿＿与＿＿＿上。 参考答案与解析 一、课前预习 1．逆命题。　2．p⇔q、p等价于q、充分、必要、充分必要、充要。　3．是、对称。　4．⊆。 二、课堂探究 探究一：(1)原真、逆真。(2)原真、逆假；反例：边长3、4、5的三角形与边长2、5、5的三角形周长都是12但不全等。(3)原假（有两不等实根只需Δ＞0，不一定ac＜0，如a＝1、b＝5、c＝1时Δ＝21＞0但ac＝1＞0）、逆真。(4)原真、逆真。原命题与逆命题都真的是(1)(4)，这就是充要条件。 探究二：充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要。流程：对号入座（查表定名）。练习：(1)正真反假，充分不必要；(2)正假反真，必要不充分；(3)正假反假，既不充分也不必要。 探究三：(1)不是，正推断了（对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形）。(2)√，相似⇒三边成比例（性质），三边成比例⇒相似（判定），两方向都通。(3)不是，反推断了（(x－3)(x－2)＝0得x＝3或2，取x＝2则q成立而p不成立）。归纳：判定、性质。技巧：不是。 探究四：A⊊B→充分不必要；A⊋B→必要不充分；A＝B→充要；互不包含→既不充分也不必要。口诀：小充分，大必要，相等即充要。练习：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜3}，B⊊A即A⊋B（大必要），所以p是q的必要不充分条件。 探究五：第一步证充分性：因ac＜0，a、c异号，c/a＜0，由x₁x₂＝c/a＜0知两根异号（一正一负），又ac＜0使Δ＝b²－4ac＞0，方程有两个不等实根，故有一正一负根。第二步证必要性：设一正根x₁＞0、一负根x₂＜0，则x₁x₂＜0，即c/a＜0，两边乘a²（＞0）得ac＜0。小结：充分、必要。 三、当堂检测 1．A。正推x＞2⇒x＞0真，反推x＞0⇒x＞2假（x＝1为反例），充分不必要。（集合：{x|x＞2}⊊{x|x＞0}，小充分。） 2．B。x²－3x＋2＝0即x＝1或x＝2。正推：x²－3x＋2＝0⇒x＝2，取x＝1为反例，假；反推：x＝2⇒x²－3x＋2＝0，真。正假反真，必要不充分。 3．必要不充分。A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|0≤x≤3}，B⊊A即A⊋B，大必要，所以p是q的必要不充分条件。 4．m≤1/4。方程有实数根的充要条件是Δ＝1－4m≥0，解得m≤1/4。 四、本章小结 写、比、算、推出；A＝B（充要对应相等）；包含、相等。 易错提醒 判断充要要验两个方向；p、q对调时充分不必要与必要不充分互换，判断前先圈p、q；充要是对称的而充分、必要不对称；证充要分两步、每步标方向；集合观点"小充分、大必要、相等即充要"。 学科网（北京）股份有限公司 $