精品解析：福建师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：连信榕 审核：周裕燕 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的元素个数，即可求得集合的子集个数，进而求解. 【详解】由题意有：集合中有2个元素，所以集合的子集个数为， 故选：D. 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由可得，解得：， 记， 设所求的充分不必要条件构成集合A，则有是B的真子集， 由真子集的性质可知，是的一个充分不必要条件， 故选：C. 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 4. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定的区间单调性，进而得到或时，或时，即可求不等式的解集. 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故或时，或时， 所以的解集为. 故选：D 5. 已知定义域为的函数满足，则函数在区间上的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由函数满足可知，把在上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到在上的图象. 故选C 6. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 7. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 8. 若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令，则利用基本不等式得，再利用基本不等式求解最值，注意验证等号能同时成立. 【详解】，令， 则， 当且仅当即时等号成立， 又，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取到最小值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为任意实数，关于的方程，则（ ） A. 当时，方程有两实数根 B. 当时，方程有两异号的实数根 C. 当时，方程有两实数根，，则 D. 若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错误； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递增，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数是幂函数得出或，再根据幂函数的单调递增得出即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，所以或， 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意； 则. 故答案为：. 13. 已知函数过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，先得出函数所过定点，再利用基本不等式得出最小值. 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上， 所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤： （1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质； （2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）； （3）解不等式可得结论； 四、解答题：本题包括5道题，共77分. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 17. 已知函数． （1）若为奇函数，求m的值； （2）在（1）的情况下，若关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由题意可得，关于x的不等式在上恒成立，根据函数的单调性求出最小值即可得解. 【小问1详解】 若为奇函数，且定义域为，则， 即， 即， 则，解得． 【小问2详解】 由题意可得，则， 所以关于x的不等式在上恒成立. 因为函数在上单调递增， 所以当时，， 则，故k的取值范围为． 18. 某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）15 （2）；38400 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入即可求解， （2）利用基本不等式即可求解， （3）根据题意列出不等式，分离参数，进而结合换元法以及函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 宽度为10米时，方案二的报价为37800元， 即，所以的值为15. 【小问2详解】 底面长为，所以墙面面积为， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以方案一中报价的最小值为38400元. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为， 设，则， 由于对勾函数在单调递增， 故当时，取最小值，所以， 又，所以， 所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数． （1）已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式； （2）已知函数，问是否为“函数”？请说明理由； （3）对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和， ①求证：当时，仍为“函数”； ②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例． 【答案】（1） （2）是“函数” （3）仍为“函数”；时，不一定是“函数”. 【解析】 【分析】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可； （2）根据“函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a,b的值即可得出结果； （3）根据定义验证即可； 根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一. 【小问1详解】 根据“函数”的概念，， 时，，又 时， 时， 即时，的解析式为 . 【小问2详解】 根据题意， 取，上式计算得，此时 所以函数是“函数”. 【小问3详解】 根据题意， 时， 所以此时仍为“函数”； 时，不一定是“ 函数”. 设，易知函数图像关于 对称，得; 设，知函数图像关于对称，得 此时，，其图像不关于某一点对称，即不是“ 函数” 结论得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：连信榕 审核：周裕燕 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，则函数在区间上的图象可能是 A. B. C. D. 6. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为任意实数，关于的方程，则（ ） A. 当时，方程有两实数根 B. 当时，方程有两异号的实数根 C. 当时，方程有两实数根，，则 D. 若方程有两个实数根，，且，，则 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递增，则等于______. 13. 已知函数过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_______． 14. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题包括5道题，共77分. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 17. 已知函数． （1）若为奇函数，求m的值； （2）在（1）的情况下，若关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围． 18. 某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数． （1）已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式； （2）已知函数，问是否为“函数”？请说明理由； （3）对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和， ①求证：当时，仍为“函数”； ②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $