第08讲 整式 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“整式”核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（定义、项、次数）及整式与代数式的关系，从单项式到多项式再到整式，构建递进式知识支架，为后续代数式运算奠定基础。 该资料通过即刻训练、热点题型（如找规律、不含某一项问题）及中考真题设计，结合实例抽象概念培养抽象能力，问题解决中发展推理意识，同步检测助力课后查漏补缺，提升教学效果与学生应用能力。

人教版（2024）七年级上册 第08讲 整式 学习目标 课标标准：理解整式的概念，能利用整式表示具体问题中的数量关系 素养目标：通过用整式表示实际问题中数量关系，不断完善从数到式的过程（抽象能力） 重难点：理解单项式、多项式、整式的概念及关系，会确定系数、次数等内容 知 识 点 睛 一 单项式 1、单项式的定义 代数式都是数或字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 注意：单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；分母中含有字母的的式子不是单项式（数字与字母的商不是单项式） 2、单项式的系数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数 注意：确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数；当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数 3、单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 注意：没有写指数的字母（单独出现的一个字母），实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；对于单独一个非零的数，规定它的次数是0。用运算符号把数或者表示 即刻训练：下列代数式中，不是单项式的是（　　） A．a3 B．3a C． D．a+3 答案： 考察单项式的概念 二 多项式 1、多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式 注意：必须具备式子中有运算符号“+”或“﹣”，每一项都是单项式，不能含有字母形式的分母 2.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 注意：多项式的每一项包括它前面的符号；一个多项式含有几项，就叫几项式 3.多项式的次数 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 注意：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式 即刻训练：对于多项式a2b+ab+3，这个多项式的次数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案： 考察多项式的次数． 三 整式 单项式与多项式统称为整式 注意：单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立。分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式 即刻训练：下列各式中，整式的个数为（　　） ①；②2a+3b；③；④；⑤；⑥2x＝1． A．6 B．5 C．4 D．3 答案：，整式为①②③⑤ 考察整式的概念 热 点 题 型 归 纳 （利用单项式、多项式、整式的相关概念、系数、次数等求值） 【例1】若单项式是关于x，y的五次单项式，则m+n＝　　 ． 答案：解：若单项式是关于x，y的五次单项式，则m+n＝5 考查了单项式，熟练掌握单项式的次数的定义 （不含某一项问题） 【例2】若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝　　 ． 答案：解：原式=x2+（6﹣2k）xy+y2﹣6，故令6﹣2k＝0，解得k＝3 考查多项式的概念、一元一次方程。将含xy的项进行合并，然后令其系数为0即可求出k的值． （找规律问题） 【例3】按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a、﹣2a2、3a3、﹣4a4，　 ，　 ； （2）试写出第2007个单项式 　 ；第2008个单项式 　 ； （3）试写出第n个单项式 　 ． 答案：解：（1）a、﹣2a2、3a3、﹣4a4，5a5，﹣6a6； （2）第2007个单项式：2007a2007；第2008个单项式：﹣2008a2008； （3）第n个单项式的系数为：n×（﹣1）n+1，次数为n， 考查了找规律的单项式题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 中 考 真 题 1．（2024•长春）单项式﹣2a2b的次数是 　 　 ． 答案：3，考查单项式的次数 同 步 检 测 一．选择题 1．单项式4a2b的系数和次数分别是（　　） A．4，2 B．4，3 C．2，4 D．3，4 2．单项式﹣4πx3y2的次数是（　　） A．﹣4 B．3 C．5 D．6 3．下列说法正确的是（　　） A．单项式2x2y的次数是2 B．多项式3x+y是一次二项式 C．单项式﹣5πx的系数是﹣5 D．多项式5a2﹣b的次数是3 4．以下各组多项式按字母a降幂排列的是（　　） A．3a﹣7a2+2﹣a3 B．﹣7a2+3a+2﹣a3 C．﹣a3+3a+2﹣7a2 D．﹣a3﹣7a2+3a+2 5．已知m为有理数，若多项式4x2y|m|﹣1﹣y2+m是三次三项式，则该多项式的常数项为（　　） A．0或2 B．±2 C．±1 D．0 6．在代数式，a2b，0，﹣3m+n，中，整式的个数是（　　） A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个 二．填空题 7．当k＝ 　　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项． 8．若x3+（m+1）x2﹣3没有二次项，则m的值是　 　 ． 9．已知ax2+bx+c是关于x的整式，记为P（x）。我们规定：P（x）的导出整式为2ax+b，记为Q（x）。例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则Q（x）＝2×3x﹣2＝6x﹣2；若P（x）＝5x2+4x，则Q（x）＝2×5x+4＝10x+4．若，当它的导出整式Q（x）＝﹣|x|时，x＝ 　　 ． 三．解答题 10．指出下列各单项式的系数和次数． （1）﹣12πxy2；（2）﹣22a2bc；（3）x2y3z． 11．已知单项式﹣2x2y的系数和次数分别是a，b． （1）求ab﹣ab的值；（2）若|m|+m＝0，求|b﹣m|﹣|a+m|的值． 12．已知单项式与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式的值． 13．（1）化简多项式A＝（3x2y﹣2xy2﹣3）﹣2（x2y﹣xy2+1）； （2）若（1）中多项式中的x、y满足：|2x+4|+|3﹣y|＝0，求多项式A的值． 14．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当时，求此多项式的值． 15．已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值． 16．观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． （1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ （4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式． 17．若定义一种新运算：a※b． （1）设A为整式，A※2＝4x2﹣4x（x﹣1）﹣12，求整式A并化简． （2）在（1）的条件下，当x＝2时，求A※（x+3）的值． 18．已知A和B为两个整式，且A+B＝3x2﹣2xy+y2﹣1，A﹣B＝x2+xy﹣y2+2，求出整式A和B． 19．已知多项式． （1）化简多项式M． （2）从下面①，②两个条件中选取一个作为已知条件，求多项式M的值． ①；②x﹣2y＝2． 答 案 解 析 1．B． 考查了单项式的概念 2．C． 考查了单项式次数的定义 3．B． 考查了多项式、单项式的定义是关键． 4．D． 考查了多项式的定义．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 5．B． 考查了多项式，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 6．C． 考查了整式的概念 7．3 解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，∴k﹣3＝0，k＝3． 考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0． 8．﹣1 解：∵x3+（m+1）x2﹣3没有二次项，∴m+1＝0，∴m＝﹣1， 考查了多项式概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0 9． 解：∵P（x）x2+6x+2024，∴a，b＝6，c＝2024， ∴Q（x）＝2×（）x+6＝﹣5x+6，又Q（x）＝﹣|x|， 当x≥0时，有﹣5x+6＝﹣x，解得x， 当x＜0时，有﹣5x+6＝﹣（﹣x），解得x＝1（舍去）， 综上所述，x． 考查绝对值，整式，需要掌握绝对值的定义以及新定义运算的方法 10．解：（1）﹣12πxy2 的系数是﹣12π，次数是3；（2）﹣22a2bc的系数是﹣4，次数是4；（3）x2y3z的系数是，次数是6． 考查了单项式的次数和系数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积 11．解：（1）由题意，得a＝﹣2，b＝2+1＝3． ab﹣ab＝（﹣2）3﹣（﹣2）×3＝﹣8+6＝﹣2； （2）由|m|+m＝0，得m≤0．|b﹣m|﹣|a+m|＝b﹣m+（a+m）＝b+a＝3+（﹣2）＝1； 考查了单项式，利用单项式的次数系数得出a、b的值是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 12．解：（1）根据题意得：1+2m﹣1＝2+2，解得：m＝2； （2）xy3，则当x＝﹣9，y＝﹣2时，原式（﹣9）×（﹣8）＝﹣48． 考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是关键． 13． 解：（1）A＝（3x2y﹣2xy2﹣3）﹣2（x2y﹣xy2+1） ＝3x2y﹣2xy2﹣3﹣2x2y+2xy2﹣2＝x2y﹣5； （2）∵|2x+4|+|3﹣y|＝0，|2x+4|≥0，|3﹣y|≥0，∴2x+4＝0，3﹣y＝0， ∴x＝﹣2，y＝3，则：A＝x2y﹣5＝（﹣2）2×3﹣5＝7． 考查了整式的加减与化简求值及绝对值的非负性，正确利用去括号的法则进行运算是解题的关键． 14．解：（1）因为多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式， 所以|m|﹣2+3＝4，得|m|＝3，得：m＝±3， 当m＝3时，m﹣3＝0，此时系数为0， 所以m＝﹣3． （2）m＝﹣3，多项式为：﹣6xy3+x2y﹣2xy2＝xy（﹣6y2+x﹣2y）， 当时， 原式 ． 考查了多项式、绝对值、代数式求值，解决本题的关键是根据四次三项式的定义确定m的值，再代入求值． 15．解：|n﹣1|＝1，且n﹣2≠0，∴n＝0， 考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 16．解：（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（﹣1）n，绝对值规律是：2n﹣1； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数． （3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn． （4）第2016个单项式是4031x2016，第2017个单项式是﹣4033x2017． 考查了数字变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 17．解：（1）∵a※b， ∴A※2 ＝2A， ∵A※2＝4x2﹣4x（x﹣1）﹣12＝2[2x2﹣2x（x﹣1）﹣6] ＝2（2x2﹣2x2+2x﹣6）＝2（2x﹣6）， ∴A＝2x﹣6； （2）∵由（1）可知：A＝2x﹣6， ∴当x＝2时，A＝2×2﹣6＝4﹣6＝﹣2， ∵a※b， ∴A※（x+3）＝﹣2※（x+3） ＝﹣2x﹣6， ∴当x＝2时，A※（x+3）＝﹣2x﹣6＝﹣2×2﹣6＝﹣4﹣6＝﹣10． 考查了整式的化简求值 18．解：设A+B＝3x2﹣2xy+y2﹣1为①，A﹣B＝x2+xy﹣y2+2为②， ①+②，得2A＝4x2﹣xy+1，∴A＝2x2xy， ①﹣②，得2B＝2x2﹣3xy+2y2﹣3，∴B＝x2xy+y2． 考查了整式的加减 19．解：（1）多项式Mx﹣2xyxy＝﹣3x+6y； （2）①∵|x+1|+（y）2＝0，∴x+1＝0，y0， 解得：x＝﹣1，y， 当x＝﹣1，y时，M＝﹣3×（﹣1）+6×（）＝3﹣9＝﹣6； ②当x﹣2y＝2时，M＝﹣3x+6y＝﹣3（x﹣2y）＝﹣3×2＝﹣6． 考查了整式的加减，以及非负数的性质 23 学科网（北京）股份有限公司 $