第一章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合《周髀算经》等文化素材与劳动实践、消防演练等现实情境，适配单元复习，有效检测勾股定理的理解与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数（第2题）、直角三角形判定（第4题）|文化传承（《周髀算经》）、基础概念辨析| |填空题|6/18|中线性质（第7题）、折叠问题（第13题）|几何直观（正方形面积关联）、空间观念| |解答题|8/72|实际应用（消防演练23题）、综合计算（劳动基地22题）|模型意识（最短路径24题）、推理能力（四边形面积18题）|

2026-2027年北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(　　) A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，3 D．3，4，5 2．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 3．如图是一块等腰三角形形状的铁皮△ABC，BC为底边，尺寸如图所示 (单位： cm)，根据所给的条件，可知该铁皮的面积为 (　　) A． B．50cm2 C．60cm2 D． 4．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件能判断△ABC为直角三角形的是(　　) A．∠C=∠A+∠B B．a：b：c=2：3：4 C．∠A+∠B+∠C=180° D．a：b：c=4：5：6 5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（　　） A． B． C． D． 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．2 D．45 7．如图， CD 是 Rt△ABC 的中线， ∠ACB=90°， AC=8， BC=6，则 CD 的长是（　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 8．如图，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，AC=8，点D 位于AC的右侧，CD∥AB，AD=CD=5，则△ACD 面积为（　　） A．30 B．12 C．15 D．24 9．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A．32+82=x2 B．（x-8）2+32=x2 C．x2+82=（x+3）2 D．（x-3）2+82=x2 10．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　 　． 12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD=4，AD平分∠BAC，BC的长为　 　。 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D．若BC＝2AC＝8，则CD的长为　 　 14．如图，一个梯子长米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长米，则梯子底端向右滑动了　 　米． 15．若一个直角三角形的两直角边长分别为和，则其斜边上的中线长为　 　． 16．如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为　 　米． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图，中，，，． （1）用直尺和圆规在边上找一点，使到的距离等于． （2）计算（1）中线段的长． 18．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=CD=2，AD=3，∠B=90°，求四边形ABCD的面积． 19．如图，在△中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求BC的长． 20．在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 21．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上； （1）证明是直角三角形； （2）求边上的高． 22．为落实五育并举，加强劳动教育，某校开展了“我劳动，我快乐，我实践，我成长”的劳动实践主题活动．八年级（1）班的同学发现在校园墙角处有一块如图所示的四边形空地，征得学校同意，准备将其打造为劳动实践基地，为同学们提供更多的实践机会，测量得到，，，，．请计算这块实践基地的面积． 23．每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． （1）求云梯顶端与墙角的距离的长； （2）现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 24．如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】17 12．【答案】6 13．【答案】3 14．【答案】 15．【答案】5 16．【答案】10 17．【答案】（1）解：如图：点即为所作， （2）解：设，作于，则，如图 ，，， ， S△ABC=S△ADC+S△ABD，即， ∴，解得， 即的长为． 18．【答案】四边形ABCD的面积为1+． 19．【答案】（1）证明：∵AD=5，CD=12，AC=13，， ∴， ∴△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°， ∴ （2）解：由（Ⅰ）知，CD⊥AB， ∴△BCD是直角三角形， ∵，CD=12， ∴BC===15 20．【答案】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 21．【答案】（1）证明：∵的三个顶点均在边长为的小正方形组成的网格的格点上， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：设边上的高为， ∴， ∴， ∴， ∴边上的高为． ​​​​​​ 22．【答案】解：如图所示，连接， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 24．【答案】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速． 理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 1 学科网（北京）股份有限公司 $