2.2.1 直线的点斜式方程课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线点斜式方程，以"基础认知-理解应用-综合拓展"分层设计，通过概念辨析、图像分析、实际建模递进巩固知识，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|点斜式方程概念及适用范围、倾斜角与斜率关系|选择题1-5直接考查定义，填空题14强化点斜式直接应用| |理解应用|直线方程形式辨析、图像与参数关系|多选题9-10辨析方程局限性，选择6-7结合三角函数分析图像参数| |综合拓展|实际问题建模、多条件方程转化|解答题15以容器水量变化构建分段函数，16题综合不同条件转化直线方程|

2.2.1 直线的点斜式方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.方程y－y0＝k(x－x0)，则(　　) A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 2.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）过点且直线的方向向量为的直线方程为（） A. B. C. D. 3.已知直线方程为，则直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 4.（2024-2025·河南高二月考）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 5.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 6.已知直线l：y＝xsinθ＋cosθ的图象如图所示，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7.在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a(a≠0)，其中正确的是(　　) A. B. C. D. 8.若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.－1 二、多选题（共3小题） 9.给出下列四个结论，正确的是(　　) A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 10.已知直线l：y＝x－1，则(　　) A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 11.直线，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为                  ． 13.已知直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则实数a的取值范围是                  ． 14.(2023·江苏省扬州市江都区丁沟中学月考)过点且斜率为的直线的点斜式方程为                  . 四、解答题（共2小题） 15.有一个既有进水管，又有出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系. 16.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上的截距分别为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 直线的点斜式方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.方程y－y0＝k(x－x0)，则(　　) A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】方程y－y0＝k(x－x0)是直线的点斜式方程，当直线垂直x轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示． 2.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）过点且直线的方向向量为的直线方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由直线的方向向量得直线斜率, 由直线过点得直线方程为, 故. 答案为A. 3.已知直线方程为，则直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于直线，其斜率为，故有，又， 所以. 故选：B. 4.（2024-2025·河南高二月考）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上，，， 所以设外心，因， 中点外心也在的垂直平分线上，,所以，所以得方程为：，所以也在上，所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 5.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 【答案】D 【解析】∵直线l的倾斜角为60°， ∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 6.已知直线l：的图象如图所示，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】D 【解析】结合图象易知，sinθ<0，cosθ>0， 则角θ是第四象限角． 7.在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a(a≠0)，其中正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若a为正数，直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴正半轴上，直线过第一、二、三象限，而直线y＝ax过定点(0，0)，且图象是上升的，此时各选项都不正确； 若a为负数，直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y＝ax过定点(0，0)，且图象是下降的，选项C正确. 8.若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　) A.2 B.1 C.0 D.－1 【答案】B 【解析】∵y＝ax－2和y＝(2－a)x+1平行，∴ a＝2－a，解得a＝1. 二、多选题（共3小题） 9.给出下列四个结论，正确的是(　　) A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】BC 【解析】A不正确，方程k＝不含点(－1,2)； B正确；C正确；D点斜式和斜截式方程无法表示斜率不存在的直线方程． 10.已知直线l：y＝x－1，则(　　) A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 【答案】BC 【解析】对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝60°，故C正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确． 11.直线，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】直线的斜率为，纵截距为，直线的斜率为，纵截距为， 对于选项A，对于直线：，对于直线：，所以，A错误； 对于选项B，对于直线：，对于直线：，所以，B正确； 对于选项C，对于直线：，对于直线：，所以，C正确； 对于选项D，对于直线：，对于直线：，所以，D错误. 所以选择BC. 三、填空题（共3小题） 12.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为                  ． 【答案】y＝－3x＋2 【解析】∵直线y＝－3x－4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3， 又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2. 13.已知直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则实数a的取值范围是                  ． 【答案】∪(0，＋∞) 【解析】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求； 当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－＞1或－＜0即可，解得－1＜a＜－或a＜－1或a＞0. 综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)． 14.(2023·江苏省扬州市江都区丁沟中学月考)过点且斜率为的直线的点斜式方程为                  . 【答案】 【解析】由题意直线过点且斜率为，则其点斜式方程为. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.有一个既有进水管，又有出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系. 【答案】解　当0<x<10时，直线段过点O(0，0)和A(10，20). 所以kOA＝＝2，此时方程为y＝2x. 当10≤x≤40时，直线段过点A(10，20)和B(40，30)，所以kAB＝＝. 此时方程为y－20＝(x－10)， 即y＝x＋. 当x>40时，由物理知识可知，直线的斜率就是相应进水或放水的速度. 设进水速度为v1，放水速度为v2， 当0≤x≤10时，是只进水过程，所以v1＝2， 当10<x≤40时，是既进水又放水， 所以此时速度为v1＋v2＝， 即2＋v2＝，所以v2＝－. 所以当x>40时，k＝－， 又直线过点B(40，30). 此时直线方程为y－30＝－(x－40)， 即y＝－x＋. 当y＝0时，x＝＝58. 即第58分钟时水放完. 综上所述可知，y＝ 16.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上的截距分别为. 【答案】解：（1）由题意得直线方程为， 化简得. （2）由题意得直线方程为， 化简得. （3）由题意得直线方程为， 即. （4）由题意得得直线方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $