2.2.1 直线的点斜式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线点斜式与斜截式方程，通过基础题组构建“概念理解-运算应用-综合探究”的巩固路径，分层设计适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|点斜式/斜截式直接应用|单一知识点选择题为主，如方向向量求斜率（第1题）、倾斜角求截距（第5题），培养数学抽象与运算能力| |运算应用|方程求法与截距关系|坐标运算填空题与解答题结合，如中线/高方程求解（第4题）、截距倍数关系求方程（第7题），发展推理意识| |综合拓展|方程与几何性质综合|跨知识点解答题，如截距范围求斜率（第10题）、面积最值问题（第13题），体现数学建模与逻辑推理，强化数学语言表达|

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 基础练习 题型一　直线的点斜式方程 1.(2026天津崇化中学月考)过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为(　　) A.2x+y=0　　B.2x-y+4=0　　 C.x-2y=0　　 D.x+2y-5=0 2.(2026湖南衡阳第八中学月考)已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),将△ABC绕顶点A逆时针旋转45°,此时BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A.5x-6y+25=0　　B.6x-7y+30=0 C.7x-8y+35=0　　D.8x-9y+40=0 3.(2026江苏镇江阶段测试)瑞士数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的三个顶点A(-4,0),B(0,4),C(0,-2),则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.x+2y=0　　B.3x+3y+2=0 C.x+y+2=0　　D.x-y+2=0 4.(2026山东济南外国语学校月考)已知△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,5),C(0,3),求: (1)AB边上的中线所在直线的方程; (2)AB边上的高所在直线的方程. 题型二　直线的斜截式方程 5.(2026湖北黄冈第一高级中学月考)已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2,),则l在y轴上的截距为(　　) A.-1　　B.-　　C.1　　D. 6.(2026广东广州培英中学月考)直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图形可能是(　　) 7.(2026安徽黄山期中)过点(-1,1)且在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍的直线的方程为　　　　　　　　.  8.直线l:y=2x-1绕着点A(1,1)逆时针旋转与直线l1重合,则直线l1的斜截式方程是　　　　　　.  9.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是　　　　　　　　.  题型三　直线的点斜式、斜截式方程的应用 10.(2026江苏南京第五高级中学月考)已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是　　　　　　　.  11.(2026河北衡水中学月考)若直线y=kx+b经过点(1,8),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则k的所有可能取值之和为　　　　.  12.(2026陕西汉中多校联考)已知点P(-2,-3),O为坐标原点. (1)若直线l过点(0,2),且OP∥l,求l的方程; (2)若直线l过点P,与x轴、y轴的负半轴分别交于点A,B,且|OA|=|OB|,求的值. 13.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R). (1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 答案 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 基础练习 1.A　由直线的方向向量为a=(-1,2),可得直线的斜率k=-2, 又因为直线过点P(-1,2),所以所求直线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0. 2.B　因为B(3,-3),C(0,2),所以线段BC的中点坐标为, 所以旋转前BC边上的中线所在直线的斜率为=-, 设此时BC边上的中线所在直线的倾斜角为α,则tan α=-, 则tan(α+45°)===, 所以旋转后BC边上的中线所在直线的斜率为,方程为y-0=(x+5), 整理得6x-7y+30=0. 3.D　因为△ABC的三个顶点分别为A(-4,0),B(0,4),C(0,-2),所以其重心为,记G, 易知线段BC的垂直平分线方程为y=1,所以可设△ABC的外心为W(a,1), 则|WA|=|WC|,即=,解得a=-1,所以W(-1,1), 所以kWG==1,故该三角形的欧拉线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0. 4.解析　(1)设AB边的中点为D(x,y), 由题得所以D, 所以kCD==-, 根据直线的点斜式方程得y-3=-x,即x+4y-12=0. (2)设AB边上的高所在直线的斜率为k,由题意得kAB==-,由k·kAB=-1,可得k=,根据直线的点斜式方程得y-3=x,即4x-5y+15=0. 5.B　由题知直线l的斜率为tan 60°=,方程为y-=(x-2),当x=0时,y=-,所以l在y轴上的截距为-. 6.D　对于A,由l1得a>0,b<0,由l2得a>0,b>0,矛盾,因此A错误;对于B,由l1得a<0,b>0,由l2得a>0,b>0,矛盾,因此B错误;对于C,由l1得a>0,b<0,由l2得a<0,b>0,矛盾,因此C错误;对于D,由l1得a>0,b>0,由l2得a>0,b>0,因此D正确. 7.答案　y=-x或y=-x+ 解析　由题意可知直线的斜率存在且不为0,设直线方程为y-1=k(x+1), 令x=0,解得y=k+1;令y=0,解得x=-,可得-=2(k+1),解得k=-1或k=-, 所以直线方程为y=-x或y=-x+. 8.y=-3x+4　设直线l的倾斜角为α,则tan α=2. 又tan(α+)==-3, 所以直线l1:y-1=-3(x-1),整理得y=-3x+4. 9.y=x-6或y=-x-6　与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k=tan 60°=或k=tan 120°=-. 又y轴上的截距为-6,所以与y轴相交成30°角的直线方程是y=x-6或y=-x-6. 10.答案　(-∞,-1)∪ 解析　由题意可知k≠0,且直线l的方程为y=k(x-1)+2,令y=0,得x=1-, 因此-3<1-<3,即-2<<4,解得k<-1或k>,所以斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪. 11.答案　9 解析　因为直线y=kx+b经过点(1,8),所以k+b=8,则直线y=kx+b即y=kx+8-k. 当k=0时,直线y=kx+8-k即y=8,其在x轴上的截距不存在,不满足题意,所以k≠0. 令x=0,则y=8-k,令y=0,则x=1-. 由题意知8-k+1-=0,化简得k2-9k+8=0,解得k=1或k=8, 故k的所有可能取值之和为1+8=9. 12.解析　(1)易得直线OP的斜率为,由OP∥l,得直线l的斜率为,又直线l过点(0,2),故其方程为y=x+2. (2)依题意,直线l的斜率为负,如图, 由|OA|=|OB|,即=,得直线l的斜率为-tan∠OAB=-=-, 又直线l过点P(-2,-3),故其方程为y+3=-(x+2), 当y=0时,x=-4,即A(-4,0),过P作PD⊥x轴于D,则D(-2,0), 又PD∥OB,所以===1. 13.解 (1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞). (2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0, 所以A,B(0,4k+2),故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16, 当且仅当4k=,即k=时,等号成立. 故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $