（B卷）数学（北师大版）试题-【1号卷·A10联盟】2024届高二上学期2月初期末质量检测

2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题B 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 10.已知直线1：x+y+1=0,点P为圆M:(x-1)2+0y-2)2=2上一点，则() 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要 A.直线1与圆M相离 求的 1.已知a=(2,-1,3),b=(3,5,-1),则2a-b等于() B.点P到直线1距离的最小值为√2 A.(1,-7,-1)B.(7,-3,-5) C.(1,-7,7) D.(7,3,5) C.与圆M关于直线1对称的圆的方程为(x+3)?+(y-2)=2 2.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为() D.平行于1且与圆M相切的两条直线方程为2x+2y+1=0和2x+2y-5=0 A.12π B.16π C.20π D.24π 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别为棱C,D,CC的中点，则下列 3.已知直线l:2x-y+1=0,2:a2x+2y+2=0(aeR),则“{112”是“a=1”的( 结论正确的有（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 、A直线AM与平面AADD所成角的正弦值为； 4.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+c)}-b2=ac,且b=23, 那么△ABC外接圆的半径为() R点B到直线AM的距离为4V2 A,1 B.2 C.2W5 3 D.4 C.,直线AM与直线BN是异面直线 5.在空间直角坐标系中，若4A1,2,3),B(3,5,7),C(7,2,15)三点共线，其中2ER,则2=() A.11 B.9 C.7 D.5 6.已知圆C:x2+y2+8x-6y+9=0,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=d2(a>0),若C,与C2有且仅 D.点D到平面AMN的距离为 17 有2条公切线，则实数a的取值范围为() 第Ⅱ卷（非选择题共92分） A.(2,10) B.1,10) C.(2,9) D.(1,9) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 7.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A= ,△4BC的面积为V5,角A的 2π 12.已知三棱锥P-ABC中，平面ABC的一个法向量为n=1,2,-),若AP=(3,4,-1),则向量 平分线交边BC于点D,且BD=2DC,则a为() AP在法向量n上的投影向量为 A.√2 B.√10 c.V14 D.4 13.已知直线2x-y+5=0与圆x2+y2=9相交于A,B两点，则线段AB中点的坐标为 8.已知圆O的直径AB=4,动点P与A的距离是它与B的距离的√2倍，当△PAB面积最大时， 14.巳知△ABC的三个内角么B,C所对的边分别为a,h,c,且满足2+c2=5a2,则sin(B+9的 sin BsinC PA-PB=( 最小值为 A.32 B.64 C.16 D.48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a,B,y是三个不同的平面，a,b,c是三条不同的直线，下列命题正确的有() A.若a∥b,a∥c,则b∥c B.若a⊥b,a⊥c,则b⊥c C.若a∥B,a∥y,则B∥y D.若a⊥B,B∥y,则a⊥y 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第1页共4页 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(17分) 15.(13分) 已知圆C过A(-1,1),B(1,3)两点，且圆心C在直线x-2y+1=0上 已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,过原点O引圆的两条切线l,,切点分别为M,N,其中 (1)求圆C的标准方程； 直线1的倾斜角大于直线的倾斜角。 (2)求过圆心C且在x轴，y轴上截距相等的直线1的方程： (1)求1，L,的方程： (3)若直线l,的横截距为a(a>1),纵截距为b(b>1),且直线1，被圆C截得的弦长为2√5，求ab (2)求四边形OMCN的面积 的最小值 16.(15分) 已知△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+2b=b+2C=c+2a 8 11 8 (1)求cosC; (2)若acosC+ccos A=kbsin A,求k的值 19.(17分) 在三棱锥P-ABC中，AB=AC=CP=1,AB⊥AC,∠PCA=120° (1)若平面PAC⊥平面ABC. (i)求证：PC⊥AB: (ⅱ)三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，求球O的半径R: 17.(15分) 2)若二面角4CP-B的余弦值为？，求BP的的 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=2AC=4,∠AB,C=30° (1)求证：△ABC为直角三角形： B (2)若AA=2,求平面AAB与平面ABC所成角的正弦值. B 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第3页共4页 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第4页共4页2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）参考答案B 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 题号 1 2 3 4 6 8 答案 A 1 C B 1.C由题意知，2a-b=2(2,-1,3)-(3,5,-1)=(1,-7,7).故选C. 2.A因为圆锥的母线1=5，高h=4,所以底面半径r=V2-2=V52-42=3,故其体积 Vh=吉x3x4=12:做送入 3.B若（⊥2，则2a2-2=0,解得a=±1，故“1⊥☑2”是“a=1”的必要不充分条件.故选B. 4.B由a+c-b2=ac,可得d2+c2-i2=-c,则cosB=+c2-b-1 2ac 2 因为B∈(0，)， 所以B=2年，又b=25,由正弦定理可得2R=b=25=4,解得R=2.故选B, 3 sin B V3 5.A由题意知，AB=(2,3,4),AC=(6,1-2,12),因为A,B,C三点共线，所以AB=kAC,即 230=k(6,A-2,12.解得k=写1=1.放选入 6.D由题意得，C,C2相交；而圆C,:(x+4)2+(y-3)2=16,则CC2=V-3)2+42=5,故 a-4<5<a+4,解得1<a<9.故选D C因为A二2红，且角A的平分线交边BC于点D,BD=2DC,所☒ SD2AB·ADsin SAADC DC AC.ADsin AC =2.p4B=24cC,又S-号484csn=5, 3 3 所以AB·AC=4,即AB=2√2，AC=V2,由余弦定理得 C-2ABCc05ZBC8+2-2x2xx4 即a=√14.故选C 8.B以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-2,O), B(2,0),所以圆O的方程为x2+y2=4.设动点P(x,y),则根据P4=√2PB化简可得 (-6+y=32,即动点P的轨迹是以(6,0)为圆心，4W2为半径的圆.又S,Ps=)×刘4B×刘 所以当△PAB面积最大时，y,=士4W2.当点P的坐标为(6,4V2)时，P=(-8,4V2), PB=(-4,4W2),所以PA-PB=-8x(-4)+(-4W2)×-42)=64; 当点P的坐标为(6，-4v2)时，PA=(-8,4W2),PB=（4,4W2), 所以PA.PB=-8×(-4)+42×42=64.故选B. 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第1页共6页 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ACD AB ABD 9.ACD根据平行的传递性，若a∥b,a∥c,则b∥c,故A正确；若a⊥b,a⊥c,则可能b⊥c, 也可能b∥c,故B错误；易知a∥B,a∥y,则B∥y,故C正确；若a⊥B,B∥y,则a⊥y, 故D正确.故选ACD. 10.AB由题意得，圆心ML,2),半径r=√2，对于A,圆心M到直线1：x+y+1=0的距离 1+2+1 12+12 =2√2>√2，所以直线与圆M相离，故A正确；对于B,因为点P到直线1距 离的最小值为d-r=2√2-√2=√2，故B正确；对于C,设圆心ML,2)关于直线1对称点为 [+1++2+1=0 2 2 N(x,%),则 6-2x-0=-1 ，解得N(-3,-2),所以与圆M关于直线1对称的圆的方 ,-11 程为(x+3)+(y+2)2=2,故C错误；对于D,设平行于1且与圆M相切的直线方程为 x+y+c=0,所以d+2+9=7=2,解得c=-1或c=-5,所以平行于1且与圆M相 V12+12 切的两条直线方程为x+y-1=0和x+y-5=0,故D错误.故选AB 11.ABD 以D为原点，以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),M(0,1,2),N(0,2,1),所以 AM=(-2,1,2),，由正方体性质可知平面AADD的一个法向量n=(0,1,0),设直线与平面所 A☑n 成的角为a,则sina AM n 于3放A正确：AB=02,04AM=(-2L2),点B AB·AM ,442 到直线AM的距离为d=AB AM 49=3,故B正确；因为 4 MN=(0,1,-1),AB=(0,2,-2)=2M,所以MN∥AB,所以4，B,M,N四点共面， 所以直线AM与直线BN不是异面直线，故C错误；AM=(-2,1,2),AN=(-2,2,1), DA=(2,0,0),设平面AMN的法向量为m=(x,y,z),所以 4Mm=-2x+y+2z=0,令x=3,则y=2,z=2 D M AN.m=-2x+2y+z=0 所以m=(3,2,2),所以点D到平面AMN的距离为 d= DA.m 617 ,故D正确.故选ABD. D m17 C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2,4,-2) 向量亚在法向量n上的投影向量为P,”m 12 -n= ·(1,2，-1)=(2,4-2) 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第2页共6页 B 13.(-2,1) y=2x+5 由题意得，联立 2+y2=9可得+2x+=9,即5x2+20x+16=0,所以x+x2=-4, 则yA+yB=2(xA4+xB)+10=2,所以线段AB中点的坐标为 20 2 2 14. 3 a 由正弦定理可得， sin(B+C) sin A 2R 2aR a2 sin BsinC sin BsinC b c bc bcsin A ,又由b2+c2=5a2和余 定理，“产-C,代人式可如B+四 2R2R 1 ，因为 2cos A cos A sin Bsin C 2tan A cos= b2+c2-a24a2、4a24 2bc 23之，2.2==，当且仅当b=C时，导号成立，则0<≤，而 3 eosA不，所以i加CB+9-】 SinA=V1-cosA放0<tand-sin4、3 sin BsinC2tanA≥行，即当b=c时， 2 nB+C)取得最小值为二， sin Bsin C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) (1)由题意得，圆C:(x-2)2+(y-1)2=1;…(2分) 显然直线1,12的斜率存在，设直线l1,12的方程为y=x, 2k-1 故圆心C(2,1)到直线l的距离d= =1,…（4分) V1+k2 解得k=0或k=3 4 …(7分) ☑的倾斜角大于直线马的倾斜角，故直线，凸的方程分别为y= .…(8分) (2)由题意得，0C=V22+12=5,故0N=√0C-R2=2,…(11分) 而SOM@w=2SAoc=CW.ON=2X1=2.…(13分) 16.(15分) （10令a+2b-6+2c-c+2a=1,其中1>0，…（2分) 11 8 a+2b=8t a=2t 则a+2b=8t,b+2c=11t,c+2a=8t,联立{b+2c=11t,解得{b=3t,…(5分) c+2a=8t c=4t 由余弦定理得cosC=a+2-c2-42+9r2-1601 …（7分) 2ab 2×2t×3t 4 (2)由(1)及余弦定理可得，cos4-2+2-a_9p2+1612-427 2bc 2×3t×4t 8 因为4e(0,),所以sinA=V-cos2A= …(11分) 8 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第3页共6页 B 又acosC+ccosA=kbsin A,由正弦定理得sin AcosC+sin Ccos A=ksin Bsin A, 则sin(A+C)=sinB=ksin Bsin A,…（l3分) 又因为B∈(0，网，所以sinB≠0，所以1=ksinA,即k=L=8西 …(15分) sinA 15 17.（15分) (1)由题意得，∠ABC1=∠ABC=30°，AB=2AC,…(1分) 由正弦定理知，，AB=AC Sn乙ACBsim30,放sn∠4CB=1,则CA1CB,(3分) 而AA⊥平面ABC,CBC平面ABC,故AA⊥CB,…（4分) 又AA∩AC=A,故CB⊥平面AAC;…(5分) 因为A,CC平面AAC,故CB⊥AC,所以△ABC为直角三角形.…(6分) (2)分别以CB,CA,CC,所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为A4=2,AB=2AC=4,所以BC=2W3, 故A(0,2,0),C(0,0,0),B2V3,0,0,4(0,2,2), 故A4=(0,0,2),4B=(2V5,-2,-2,C元=(25,0,0 …(8分) 设平面AAB和平面A,BC的法向量分别为n1=(x,y1,z),2=(x2,y2,22), 则%4=22=0 44B=25x-2%-2z=0令=1，则%=1V5,0 ,…（10分)》 而%·0丽=25%=0 %·4石=23-2为-2，=0令为=1，则%=01，-少， …（12分) 记平面4B与平面4BC所成角为0，则c0s0=6os<4,么生B%=5=6 nn2v2 4 所以sin6=V-cos29=0 …（15分) 18.(17分) （1)由题意知，圆心C在直线x-2y+1=0上，故设圆心为C(2t-1,t), 因为点A(-1,1),B(1,3)在圆C上，所以CA=CB, 即√42+(t-1)2=√(2t-2)2+t-3)2,解得t=1,…(4分) 所以圆心C(1,1),半径r=CA=2,即圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.…(5分) (2)由题意知，直线斜率存在且圆心C(L,1),设直线的方程为y-1=k(x-1),…(6分) 令x=0,解得y=1-k,令y=0,解得x=飞-1 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版)参考答案第4页共6页 B 因为直线1过圆心C且在x轴，y轴上截距相等，所以1-k=-一1，解得k=士1.…(8分) k 当k=1时，直线1：y=x,此时x轴，y轴上截距为0，符合题意； 当k=-1时，直线1：x+y-2=0,此时x轴，y轴上截距为2，符合题意 综上，直线l的方程为y=x或x+y-2=0.…（10分) (3)因为直线1，被圆C截得的弦长为2√3， 所以圆心C到直线马的距离为d=√4-(V5=1. …（11分） 又直线l,的横截距为a(a>1),纵截距为b(b>1), 则直线乙，的方程为+Y=1,即bx+ay-ab=0, …（13分) a h 则圆心CL,)到直线，的距离d=+b-a叫=1，整理可得a6+2=2a+. va2+b2 由a+b>2√ab,得ab+2=2(a+b)≥4ab,即（√ab)-4√ab+2>0, 解得√ab≤2-√2或√ab≥2+√2，…(15分) 因为a>1,b>1,所以ab>1,则Vab≥2+V2,故ab>6+4V2, a=b 当且仅当 时，即a=b=2+√2时，等号成立，故ab的最小值为6+4√2.(17分) √ab=2+√2 19.（17分) (1)(i)由题意得，AB⊥AC,平面PAC⊥平面ABC, 因为平面PAC∩平面ABC=AC,ABC平面ABC,所以AB⊥平面PAC, 又PCC平面PAC,所以PC⊥AB …(3分) (ⅱ)如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 可0a8.1n0.c0u0.P029 …（4分)》 设三棱锥外接球球心O(a,b,c),则球心O(a,b,c)到A,B,C,P的距离相等， a2+b2+c2=(a-102+b2+c2 OA=OB a2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2 所以{OA=OC, 即 …(6分) OA=OP 解方程得a=b= c=9 所以A0=(a,b,c)= 11V 222 (8分) 故=网=9 …(9分) (2)过点P作棱PD⊥AC交AC的延长线于点D, 因为4C=1,∠PC1=120,所以CD=),PD= x 2 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第5页共6页 B 所以点P是在以D为圆b,DP=5为半径的圆上一点。 …（10分) 2 故以点D为坐标原点，DA为x轴，过点D且平行于AB的直线为y轴，过点D且垂直于平面ABC 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则43o.030c2o D0,0,0), 设P0,八.则y+-}所以币-（3x小，=0.西=L0.…(1分) 设平面APC的法向量为e,=(x,,z1),则 C76=-25+%+4=0 CA.e=x=0 令Z1=y,则y=一z,所以平面APC的一个法向量为e1=(0,-z,y)；…（13分) CPg三5+%+码=0 设平面PBC的法向量为e2=(x2,y2,z2),则 CB·e2=x2+y2=0 令y2=-2z,则x2=2z,z2=1+2y,所以平面PBC的一个法向量为e2=(2z,-2z,1+2y), …(15分) 因为二面角A-PC-B的余弦值为 3 2z2+2y2+y 所以cos<e,e2>= 5 22+y24z2+4z2+(1+2y)2 3, 又因为y+子=子，将其代人整理得4>2+4y+1=0,解得y=- 2,2t2 2 9.9.2 =5, 故二面角4-PC-B的余弦值为5时，BP=5.…（17分) B 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分. 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第6页共6页 B