综合检测试卷（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

综合检测试卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．x＝－ D．x＝－ 答案　A 解析　∵抛物线的方程为x2＝y，焦点在y轴上，∴2p＝1，即p＝，∴＝， ∴准线方程是y＝－＝－. 2．已知直线l1：x＋y＝2－m，l2：2mx＋4y＝－16，若l1∥l2，则m等于(　　) A．－2或1 B．－2或4 C．4 D．1 答案　D 解析　因为l1∥l2，则解得m＝1. 3．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设S3＝a，则S6＝3a， 根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a， 故＝＝. 4．已知2，m＋2n，－6成等差数列，则圆C：2＋2＝4上的点到点M距离的最大值为(　　) A．1 B．2 C．5 D．3 答案　C 解析　因为2，m＋2n，－6成等差数列， 所以2＝2－6，可得m＋2n＋2＝0， 所以点M的轨迹方程为x＋2y＋2＝0，又圆C的圆心为，半径为2， 则圆C上的点到点M距离的最大值为dmax＝＋2＝3＋2＝5. 5．函数y＝的大致图象可能是(　　) 答案　D 解析　当x＝e时，y＝1，即函数过点(e,1)，排除A； ∵y＝，∴y′＝－，x>0且x≠1， 当x>1时，函数单调递减；当0<x<1时，函数单调递减，排除B，C. 6．已知双曲线C：－＝1(a>3)左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交双曲线C于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．3x±8y＝0 D．8x±3y＝0 答案　A 解析　设F1(－c,0)，A(－c，y1)，B(－c，y2)， 因为l垂直于x轴， 所以y1＝－y2， 又A，B在双曲线C上， 所以－＝1， 又c2＝a2＋b2＝a2＋9，所以＝＝， 所以AB＝＝， 所以△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝2a＋AF1＋2a＋BF1＋AB ＝4a＋2AB＝4a＋2×＝25， 所以a＝4或a＝(舍去)． 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0. 7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　) A．78石 B．76石 C．75石 D．74石 答案　A 解析　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石． 8．已知a＝0.9，b＝，c＝1＋ln 0.9，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案　C 解析　设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)＝ex－1<0，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减． 又f(0)＝0，所以当x<0时，f(x)＝ex－x－1>0恒成立． 即当x<0时，ex>x＋1恒成立． 则e－0.1>－0.1＋1＝0.9，即b>0.9＝a. 设g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝， 当0<x<1时，g′(x)>0，即g(x)在区间(0,1)上单调递增； 当x>1时，g′(x)<0，即g(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当0<x<1时，g(x)<g(1)＝ln 1－1＋1＝0恒成立． 即当0<x<1时，ln x<x－1恒成立． 则ln 0.9<0.9－1＝－0.1，所以c＝ln 0.9＋1<－0.1＋1＝0.9＝a. 所以c<a<b. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.则下列选项正确的是(　　) A.的最大值是 B.的最大值是 C．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x－y＋1＝0 D．过点作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x＋y＋1＝0 答案　AD 解析　对于A，B，设＝k，即y＝k，由圆心到直线y＝k的距离等于半径时直线与圆相切，即＝，解得k2＝，即kmax＝，kmin＝－，即的最大值是，故A正确，B错误； 对于C，D，显然点在圆(x－2)2＋y2＝3上，过与圆心的直线斜率为k＝，由切线性质知，切线斜率k′＝－，所以切线方程为y＋＝－(x－1)，整理得x＋y＋1＝0，故C错误，D正确． 10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则(　　) A．a8>0 B．a9<0 C.，，…，中最大的项为 D.，，…，中最大的项为 答案　ABD 解析　由S15＝＝15a8>0，得a8>0，A正确；由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，为正，，…，为负，C错误；当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，所以，，…，中最大的项为，D正确． 11．若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 答案　BCD 解析　f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过点(0,0)， 如图， 当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点， 当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点， 则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1， 综上所述，a的可能取值为0，－1或1. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，若直线AB的方程为2x－3y＋4＝0，则m＝______. 答案　－8 解析　因为圆C1：x2＋y2－2y＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋4y＋m＝0相交于A，B两点，将两圆相减得直线AB的方程为4x－6y－m＝0，则m＝－8. 13．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 023，则n的值为________． 答案　2 022 解析　由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝. 数列{an}的前n项之积为 Tn＝×××…×＝n＋1. ∴当Tn＝2 023时，n的值为2 022. 14．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　当a＝0时，f(x)＝－x2＋1有两个零点，不符合题意； 当a≠0时，f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①若a>0，则>0，令f′(x)>0，解得x<0或x>；令f′(x)<0，解得0<x<，则f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减， 又f(－1)＝－a－<0，f(0)＝1，则此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不符合题意． ②若a<0，则<0，令f′(x)>0，解得<x<0；令f′(x)<0，解得x<或x>0，则f(x)在上单调递增，在，(0，＋∞)上单调递减． 要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f＝1－>0，解得a<－， 综上，实数a的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值． 解　设A(4，－1)关于直线l：x－y－1＝0的对称点A′(m，n)， 则解得即A′(0,3)， 连接BA′交直线l于点P，则此时PA＋PB取得最小值为BA′＝＝. 16．(15分)已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0. (1)求证：直线l必过定点，并求该定点；(6分) (2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．(9分) (1)证明　直线l方程可化为k－y＝0， 对上式中，当x＝3，y＝0时，不论k取何值，等式恒成立，∴直线l恒过点A. (2)解　将圆M的方程化为2＋2＝8，圆心为M，半径r＝2， 由(1)知，直线l恒过点A，当圆M截直线l所得弦长最小时，则MA垂直于直线l，即kMA·k＝－1， ∵M，A，∴kMA＝＝1，∴k＝－1. ∴当圆M截直线l所得弦长最小时，k的值为－1. 17．(15分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－n2＋2n＋2. (1)证明：数列{an－n2＋1}为等比数列；(7分) (2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.(8分) (1)证明　方法一　由an＋1＝2an－n2＋2n＋2， 知an＋1－(n＋1)2＋1＝2(an－n2＋1)， 又a1－12＋1＝1，故{an－n2＋1}是首项为1，公比为2的等比数列，得证． 方法二　由a1＝1，可知a1－12＋1＝1， 又an＋1＝2an－n2＋2n＋2， ∴ ＝ ＝＝2， ∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证． (2)解　由(1)知，an－n2＋1＝2n－1，则an－n2＝2n－1－1， ∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1－n＝－n＝2n－n－1. 18．(17分)设椭圆E：＋＝1的左顶点为A，右顶点为B，离心率e＝，且椭圆E过点. (1)求椭圆E的方程；(6分) (2)过点A作两条斜率为k1，k2的直线分别交椭圆E于M，N(异于A，B)两点，设M，N在x轴的上方，过点B作直线AN的平行线交椭圆E于点N1，若直线MN1过椭圆的左焦点F，求的值．(11分) 解　(1)由题意得，解得 则椭圆E的方程为＋＝1. (2)由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，则AM：y＝k1(x＋2)，BN1：y＝k2(x－2)， 设M(x1，y1)，由 得(3＋4k)x2＋16kx＋16k－12＝0，有x1－2＝－，x1＝，即y1＝， 设N1(x2，y2)，由 得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，有x2＋2＝，x2＝，即y2＝－， ∵直线MN1过椭圆的左焦点F(－1,0)， ∴由kMF＝知，＝，整理得(3k2－k1)(3＋4k1k2)＝0，又k1，k2>0， ∴3＋4k1k2>0，即3k2－k1＝0，故＝3. 19．(17分)已知函数f(x)＝3(x－1)－2xln x. (1)求f(x)的增区间；(6分) (2)当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，求实数a的取值范围．(11分) 解　(1)因为函数f(x)＝3(x－1)－2xln x，所以f′(x)＝1－2ln x，令f′(x)>0，解得0<x<， 所以f(x)的增区间为 . (2)因为当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立， 所以当x≥1时，3(x－1)－2xln x－aln x≤0恒成立， 令g(x)＝3(x－1)－2xln x－aln x，则g(1)＝0，且g′(x)＝，令h(x)＝x－a－2xln x， 则h′(x)＝－1－2ln x，h(1)＝1－a， 因为当x≥1 时，h′(x)≤0恒成立，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减．当a∈[1，＋∞)时，h(x)≤h(1)≤0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减， 故g(x)≤g(1)＝0, 符合要求； 当a∈(－e,1)时，h(1)>0，h(e)＝－e－a<0，h(x)单调递减，故存在x0∈(1，e)使得h(x0)＝0， 则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，g(x)单调递增， g(x)>g(1)＝0，不符合要求； 当a∈(－∞，－e]时，，h(x)单调递减，故存在 x0∈使得h(x0)＝0, 则当x∈(1，x0) 时，h(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0，不符合要求． 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $