29.2.3 圆周角 第1课时（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定义、定理及其推论，通过足球射门张角问题导入，关联圆心角知识，经定义辨析、对比构建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探究。 其亮点在于以射门情境培养数学眼光，定理证明分圆心在角内部、边上、外部三种情况体现数学思维的推理严谨性，例题练习梯度设计强化数学语言应用。助力学生发展几何直观和推理意识，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 第1课时 圆周角定理及其推论 新课导入 在如图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 2 探究新知 1. 圆心角的定义？ 顶点在圆心的角叫圆心角. 2. 把圆心角 ∠AOB 的顶点 O拉到圆上，得到 ∠ACB. ∠ACB 有什么特点？ ∠ACB 的顶点在圆上，边 AC，BC 都与圆相交 3.观察图，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 √ √ √ 练一练 4.比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？ 圆周角：顶点在圆上，两边是射线，射线有可能不相交、也可能乱延伸，所以定义要约束。 圆心角：直接限定两边是半径，半径天生落脚在圆上，自带 “与圆相交” 属性，不用重复啰嗦。 圆心角已经规定两边是半径， 半径本来就端点在圆上，天然和圆相交， 所以定义里没必要再多写 “两边与圆相交”。 测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 交流讨论 ∠BAC 与∠BOC 圆心O 在∠BAC 的 内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 以上情况是否都满足：∠BAC 与∠BOC ？ 如何证明？ 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） 证明： 证明 1 ∵ OA = OC， ∴ ∠A = ∠C． 又∵ ∠BOC = ∠A + ∠C， ∴ ∠BAC =∠BOC O A B C D 如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵ OA = OB， ∴∠BAD = ∠B． 又∵∠BOD = ∠BAD + ∠B， ∠BAD =∠BOD. 同理，∠CAD =∠COD. ∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD =∠BOC. 圆心O在∠BAC的内部 证明 2 O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 圆心O在∠BAC的外部 证明 3 ∠BAC = ∠DAC - ∠DAB =(∠DOC-∠DOB)=∠BOC. ∠DAC =∠DOC. ∠DAB =∠DOB. 归纳总结 ∠BAC =∠BOC 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？ 思考 D 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. ∴∠BAC=∠BDC. 答：相等. 证明：在⊙O中，∵∠BAC=∠BOC ∠BDC=∠BOC D A B O C E F 问题2 如图，若=,∠A与∠B相等吗？ 答：相等. 证明：连接OC，OE，OD，OF， = ∠A=∠COD, ∠B=∠EOF ∠COD=∠EOF. ∠A=∠B. (1)反过来，若∠A=∠B，那么=成立吗？ (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 成立 90° 想一想 A1 A2 A3 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由是____________ _________________________________; (2)∠BDC= º，理由是____________ _________________________________. 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 试一试 2.如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ · O A C B 解：∵OA=OB=OC， ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 知识归纳 1．顶点在______， 并且两边都与圆______的角叫作圆周角． 2．一条弧所对的圆周角等于它所对的_______的一半．______或______所对的圆周角相等． 圆上 相交 圆心角 同弧 等弧 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______． 4．半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是______． 相等 直角 直径 例 1 例题与练习 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. · O A C B D 解:连接OD. · O A C B D AB是⊙O的直径， ACB= ADB=90° 在Rt△ABC中，AB=10, AC=6, =8 CD平分ACB， 在⊙O中,AOD=2ACD, BOD=2BCD, 又在Rt△ABC中，= AD=BD=AB=5. 例 2 如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝，AC＝1，则∠B＝______． 45° 例 3 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长． 解:∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE， ∴∠ADC＝∠ADE＝30° ∴∠ABC＝∠ADC＝30°. 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝AB＝5 cm. ∴BC＝==5(cm). 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： （1） （2） （3） （4） （5） √ 理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角. 证明：∵ ∠ACB =∠AOB，∠BAC = ∠BOC， ∠AOB = 2∠BOC， ∴ ∠ACB = 2∠BAC. A B C O 2. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 3. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？ 有几种方法？与同学交流一下. 解：根据 90º 的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心. 4．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BAC上一点，则圆周角∠BAC的度数为____． 50° 5．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝_______． 10cm (图4) (图5) 5．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝_______． 10cm 课堂小结 圆周角定理及其推论 定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径 随堂检测 1.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A B A C O 166° 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC= 50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ______． $