4.2 指数函数【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

4.2 指数函数 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 知识点2：指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　指数函数的判定与求值 考点二　根据函数是指数函数求参数 考点三　指数(型)复合函数的定义域 考点四　指数型函数图象过定点问题 考点五　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点六　判断指数型复合函数的单调性 考点七　由指数(型)的单调性求参数 考点八　比较指数幂的大小 考点九　求指数(型)函数的值域与最值 考点十　根据指数函数的值域或最值求参数 考点十一　含参指数函数的最值 考点十二　指数函数最值与不等式的综合问题 考点一　指数函数的判定与求值 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 考点二　根据函数是指数函数求参数 5．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 6．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________． 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点三　指数(型)复合函数的定义域 9．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 10．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 11．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 12．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 考点四　指数型函数图象过定点问题 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 15．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 考点五　根据指数型函数图象判断参数的范围 17．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 19．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． 20．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点六　判断指数型复合函数的单调性 21．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 22．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 考点七　由指数(型)的单调性求参数 25．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 27．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 28．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八　比较指数幂的大小 31．（25-26高一下·青海海东·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 33．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 34．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点九　求指数(型)函数的值域与最值 35．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 37．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 考点十　根据指数函数的值域或最值求参数 39．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 40．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 41．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 42．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数且为奇函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则的取值范围为_____________. 44．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 考点十一　含参指数函数的最值 45．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 46．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，），，为实数. (1)解关于的不等式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若，函数在区间上的最小值为.求的值. 47．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 49．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 50．（2026高一上·四川成都·专题练习）已知函数， (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 考点十二　指数函数最值与不等式的综合问题 51．（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知二次函数的值域为，则函数的值域为___________． 53．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 55．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 56．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 2．（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 12．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 14．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 15．（25-26高二下·福建三明·期末）若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______. 16．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数的值域为_________． 17．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 18．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 20．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 21．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 22．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 23．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 24．（25-26高一下·湖南·期中）已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 知识点2：指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　指数函数的判定与求值 考点二　根据函数是指数函数求参数 考点三　指数(型)复合函数的定义域 考点四　指数型函数图象过定点问题 考点五　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点六　判断指数型复合函数的单调性 考点七　由指数(型)的单调性求参数 考点八　比较指数幂的大小 考点九　求指数(型)函数的值域与最值 考点十　根据指数函数的值域或最值求参数 考点十一　含参指数函数的最值 考点十二　指数函数最值与不等式的综合问题 考点一　指数函数的判定与求值 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】8 【分析】利用待定系数法求出指数函数的解析式，继而求值即可. 【详解】设（且）． 则．解得，所以， 所以. 故答案为：8. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 3．（25-26高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 【答案】1 【分析】根据指数函数的定义进行判断. 【详解】①中，的系数是2，故①不是指数函数；②中，的指数是，故②不是指数函数； ③中，是指数函数；④中，是幂函数． 所以只有③是指数函数． 故答案为：1 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 考点二　根据函数是指数函数求参数 5．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________． 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 考点三　指数(型)复合函数的定义域 9．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 10．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 11．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 12．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 考点四　指数型函数图象过定点问题 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 15．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 考点五　根据指数型函数图象判断参数的范围 17．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 18．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 19．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合指数函数的单调性，根据函数图象不经过第四象限的要求列不等式，求解后确定实数的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，恒成立. 当时，函数在上单调递减，且当时，， ，即，解得或，又，则； 当时，函数在上单调递增，则需当时，， ，即，解得或， 又，所以. 综上，． 故答案为： 20．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 考点六　判断指数型复合函数的单调性 21．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 22．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性，一一判断各选项中的函数性质，即可得答案． 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， 23．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 24．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)函数既不是奇函数也不是偶函数． 证明：要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域是， 因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)函数在单调递增，在单调递减. 证明：令，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 令，则，由指数函数的性质可知在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，在单调递增，在单调递减． 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性判断方法证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 考点七　由指数(型)的单调性求参数 25．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 26．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 27．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 28．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 29．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 30．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案. 【详解】由是上的单调递增函数， 得：， 解得：，即：. 考点八　比较指数幂的大小 31．（25-26高一下·青海海东·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：因为，由的单调性可得，故A正确． 对于B：因为，所以，所以，故B不正确． 对于C：因为，所以，，所以，故C正确． 对于D：因为，所以，所以，D不正确． 32．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】由，得函数是上的减函数，函数是上的增函数， 因此，， 所以. 33．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 34．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，在同一坐标系下画出与的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD． 考点九　求指数(型)函数的值域与最值 35．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 36．（2026高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 37．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 38．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 考点十　根据指数函数的值域或最值求参数 39．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 40．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 41．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出的值域，问题转化为值域的包含关系，列出不等式求解即可. 【详解】由幂函数，知，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，代入检验，不符合，代入检验，满足条件. 则，即， 当时，， 又当时，， 对任意的，总存在使得， 等价于， ∴，解得， 故选：D 42．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 43．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数且为奇函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】先根据函数是奇函数得出参数值进而得出解析式，再应用换元法结合指数函数值域计算求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 则，即得， 即 解得，则， 因为，即， 因为方程有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则， 可得， 即在有两个不同的实数解， 所以函数和的图象在上有两个不同的交点， 根据图象及，， 可得或， 即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为. 故答案为:. 44．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 考点十一　含参指数函数的最值 45．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求的最小值； （2）先判断，然后求出的最大值后列不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 46．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，），，为实数. (1)解关于的不等式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若，函数在区间上的最小值为.求的值. 【答案】(1) 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为. (2) (3)2 【分析】（1）对底数进行分类讨论，解不等式即可求得结果； （2）依题意可得，结合函数单调性解不等式可得在上恒成立，再利用二次函数性质求解即可； （3）易知，利用换元法将求解函数的最值问题转化成为二次函数在定区间上的最值问题，再进行分类讨论解方程可得. 【详解】（1）由题意得，即，， 因，所以，即 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为. （2）由题意，即, 又,解得，则在上单调递减， 在上单调递增，所以在上单调递减. 又定义域为，， 所以函数为奇函数. 不等式可化为， 因为在上单调递减，所以原不等式转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 令, 则，即，解得， 所以实数的取值范围为; （3）由题意，解得或（舍）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 当时，，即. 函数 ，， 令，设， 当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 即，解得（舍） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，函数取最小值，解得或（舍） 综上，. 47．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 48．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 49．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1），即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； （2）， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 50．（2026高一上·四川成都·专题练习）已知函数， (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用单调性的定义，通过作差判断函数的单调性； （2）通过换元法，将指数函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质求解的取值范围； （3）先求出在给定区间上的最大值，再根据条件得到的最大值，进而求解的取值范围. 【详解】（1），函数定义域为在R上单调递增，证明如下， 令，则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 所以在R上单调递增； （2）令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 因为，所以在上恒成立， 令，所以， 又函数在[1,7]上单调递增， 所以当时，，所以； （3）由（1）知，在上的最大值为，所以对任意恒成立， 即，令， ①，即时，在[1,2]上单调递增，所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以； ④，即时，在[1,2]上单调递减， 所以，所以，所以 综上可得，的取值范围为． 考点十二　指数函数最值与不等式的综合问题 51．（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 52．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知二次函数的值域为，则函数的值域为___________． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可. 【详解】由二次函数的值域为可得： ， 解得：或（舍）， 所以，因为， 所以函数的值域为：. 故答案为：. 53．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 55．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 56．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 2．（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 则， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 5．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 7．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原函数可以看作由和复合而成，由复合函数的单调性求解. 【详解】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 8．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 9．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 11．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【分析】A.由求解；B. 根据函数为奇函数，由求解；C.利用指数函数的单调性求解；D.由时，，得到，再由是奇函数求解. 【详解】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 12．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数与指数函数单调性，结合复合函数单调性可得在里必须存在，从而得的取值范围. 【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下， 得在上单调递增，在上单调递减， 又指数函数在上单调递增， 所以在里必须存在，解得． 故选：ABD． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】AC 【分析】令，则，然后按照和分类讨论，利用指数函数的单调性求得的范围，然后结合二次函数的性质利用最大值列式求解即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 所以，解得（负值舍去）. 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 则，解得（负值舍去）． 综上知或． 故选：AC 14．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 15．（25-26高二下·福建三明·期末）若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______. 【答案】4 【分析】设，，得到其为奇函数，，从而得到答案 【详解】设，，的定义域关于原点对称， ， 故为奇函数， 设在上的最大值为，最小值为， 则， 则. 16．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数的值域为_________． 【答案】 【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解. 【详解】令， 则，所以， 设，， 因为在区间上单调递增， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 17．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 18．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【详解】（1）依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； （2） ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 19．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. (3) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）由奇偶性的定义求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 （2）略 （3）因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即, 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 20．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象； （2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象； （3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象． 【详解】（1）由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 所以的图象如下图所示： （2）由， 所以的图象如下图所示： （3）对于，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则的图象如下图所示： 21．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)为奇函数 (2)函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为， 令，则 ， 因为，则，可得，，， 可得，即， 所以在定义域上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇偶性定义判断的奇偶性； （2）令，根据函数解析式判断的符号，即可证的单调性； （3）根据题意结合函数性质可得，解不等式即可得取值范围． 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 对，都有，则， 所以为奇函数. （2）略 （3）因为，且为奇函数， 则， 又因为在定义域上单调递减，则， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 22．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 23．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 24．（25-26高一下·湖南·期中）已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解. （2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围. 【详解】（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为. （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*）， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为， 因函数在上单调递减，则， 故. （2）根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故， 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $