3.2.1 单调性与最大(小)值【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点3：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一　定义法判断或证明函数的单调性 考点二　求函数的单调区间 考点三　根据图像判断函数单调性 考点四　复合函数的单调性 考点五　根据函数的单调性求参数值 考点六　利用函数单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值求参数 考点八　比较函数值的大小 考点九　根据函数的单调性解不等式 考点十　函数不等式恒成立问题 考点十一　函数不等式能成立(有解)问题 考点十二　解分段函数不等式 考点十三　根据分段函数的值 域(最值)求参数 考点一　定义法判断或证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 考点二　求函数的单调区间 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 7．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简函数的解析式为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，. (2) 【分析】（1）通过去绝对值，得到，画出函数图象即可求解； （2）通过去绝对值，，画出函数图象即可求解. 【详解】（1）因为， 画出函数图象如图所示， 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，. （2）， 函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是. 考点三　根据图像判断函数单调性 9．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 11．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的值； (2)作出函数在上的图象； (3)指出函数在上的单调区间及值域. 【答案】(1) (2)图象如图所示： (3) 由函数在上的图象可得： 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 且函数在上的值域为. 【分析】（1）根据题意结合分段函数解析式运算求解即可； （2）分析的解析式，结合解析式作图； （3）根据的图象分析函数的单调区间和值域即可. 【详解】（1）因为， 所以，. （2）因为， 则函数在上的图象如图所示： （3）略 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据反比例函数、分段函数、二次函数、一次函数的图象性质即可判断. 【详解】对于选项A：反比例函数在上单调递减，符合题意； 对于选项B：函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，符合题意； 对于选项C：二次函数图象开口向上，对称轴为，其在单调递减，在单调递增，故在不单调，不符题意； 对于选项D：一次函数为上的增函数，故不符题意. 故选：AB. 考点四　复合函数的单调性 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【详解】函数，则，解得或， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性判断即可. 【详解】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：， 令，则在上单调递减，在上单调递增； 则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是； 故选：D 15．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 16．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 17．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 18．（25-26高一上·云南红河·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)； (2)上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出函数解析式. （2）令，利用二次函数单调性，结合复合函数单调性求解. 【详解】（1）由，得， 联立两式消去，得，解得，而， 所以的解析式为. （2）由（1）知，，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 考点五　根据函数的单调性求参数值 19．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 21．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 22．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 23．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 24．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 25．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 26．（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 考点六　利用函数单调性求最值或值域 27．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 28．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 【答案】 4 3 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 29．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 30．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 31．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 32．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 考点七　根据函数的最值求参数 33．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 34．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 35．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 36．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出函数的解析式，讨论的正负，根据单调性求最值； （2）求出函数的解析式，讨论判别式，对称轴，根据已知区间上的单调性确定参数. 【详解】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 37．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 38．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可. 【详解】因为，且， 当时，则在单调递增， 可得，则； 当时，则在单调递增，在单调递减， 可得，则； 当时，因为， （i）当时，可得，则； （ii）当时，可得，则； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 考点八　比较函数值的大小 39．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 40．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 41．（2026高一·全国·专题练习）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 42．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 考点九　根据函数的单调性解不等式 43．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 44．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 46．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 47．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 48．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 49．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 50．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 考点十　函数不等式恒成立问题 51．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 52．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 53．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 55．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 56．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 考点十一　函数不等式能成立(有解)问题 57．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 58．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 59．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 60．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 61．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 62．（25-26高一上·广东深圳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由参变量分离法得出，利用函数单调性求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，再结合集合的包含关系判断即可. 【详解】，，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，故，则， 因为，，， 故命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“”. 故选：B. 考点十二　解分段函数不等式 63．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 64．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 65．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 66．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 67．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式即可. 【详解】当时，单调递减，； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 即，解得或，所以； 当且，即时，， 故不等式的解为； 当且，即时，， 不等式恒成立，所以不等式的解为； 当且，即时，， 不等式成立，所以不等式的解为； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 68．（25-26高一上·广东汕头·期中）（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据二次函数和一次函数的性质，结合最值的定义、单调递减函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD 考点十三　根据分段函数的值 域(最值)求参数 69．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 70．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 71．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 72．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 73．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 74．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 75．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 76．（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】分析得到，最大值为，求出答案. 【详解】由于时，，， 故最大值9一定为，取得， 又为开区间，故一定有， 且最大值在上取到，即， 解得或5（舍去）， 故选：A 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 7．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 8．（25-26高二下·全国·期末）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 9．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 10．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． 11．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用二次函数、函数单调性和基本不等式求最小值，即可作出判断. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：由对勾函数的性质，易知在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当，即取等号，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取等号，必不可能，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 13．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【分析】判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 14．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 15．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 16．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 17．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）由题可得，然后由函数单调性结合题设可得答案. 【详解】（1）当，，则不等式解集为； （2），因，则. 要使时，，则.因均在上单调递增， 则在上单调递增，从而，即. 18．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点3：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一　定义法判断或证明函数的单调性 考点二　求函数的单调区间 考点三　根据图像判断函数单调性 考点四　复合函数的单调性 考点五　根据函数的单调性求参数值 考点六　利用函数单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值求参数 考点八　比较函数值的大小 考点九　根据函数的单调性解不等式 考点十　函数不等式恒成立问题 考点十一　函数不等式能成立(有解)问题 考点十二　解分段函数不等式 考点十三　根据分段函数的值 域(最值)求参数 考点一　定义法判断或证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 3．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 考点二　求函数的单调区间 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 7．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 考点三　根据图像判断函数单调性 9．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 11．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的值； (2)作出函数在上的图象； (3)指出函数在上的单调区间及值域. 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 考点四　复合函数的单调性 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 16．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 18．（25-26高一上·云南红河·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)讨论的单调性. 考点五　根据函数的单调性求参数值 19．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 21．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 22．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 26．（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 考点六　利用函数单调性求最值或值域 27．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 28．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 29．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 32．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 考点七　根据函数的最值求参数 33．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 35．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 36．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 37．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 38．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 考点八　比较函数值的大小 39．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 41．（2026高一·全国·专题练习）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 考点九　根据函数的单调性解不等式 43．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 47．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 49．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 考点十　函数不等式恒成立问题 51．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 52．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 53．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 55．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 考点十一　函数不等式能成立(有解)问题 57．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 58．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 59．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 60．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 61．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 62．（25-26高一上·广东深圳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 考点十二　解分段函数不等式 63．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 64．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 65．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 67．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 68．（25-26高一上·广东汕头·期中）（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 考点十三　根据分段函数的值 域(最值)求参数 69．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 70．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 71．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 72．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 73．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为_________ 75．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 76．（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 8．（25-26高二下·全国·期末）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 10．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 13．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 14．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 15．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 16．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，，求的取值范围． 18．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $