第七周 第2天 对数的概念 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 2天 对数的概念 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. (重点) 3.会求简单的对数值. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数的概念 ❓ 问题1　我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 💡知识梳理 1、对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______，其中a叫做对数的_______，N叫做_______. 2、对数式与指数式的关系： 辨析：两个式子中都含有三个相同的字母x，a，N，但它们在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中的名称和含义不同，取值及范围相同． ⚠️ 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 🎯例1　若对数式log(m-2)3.14有意义，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 🎯一题多变　将例1的对数式改为“log(m-2)(m-3)”，求实数m的取值范围. 关于对数式的范围要求（使得对数式有意义的要求）： 利用式子logab⇒求字母的范围. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________； 知识点2 对数与指数的互相转化 ❓ 问题2　现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 💡知识梳理 两类特殊对数：(1)以10为底的对数叫做_______对数，并把log10N记为_______.  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为_______对数，并把logeN记为_______.  🎯教材例题 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54=625； (2)2-6=； (3)16=-4； (5)lg 0.01=-2； (6)ln 10=n. 🎯例2 下列指数式与对数式互化： (1)log216=4；　(2)lo=2； (3)ln 10=n；　(4)43=64； (5)3-2=；　(6)10-3=0.001. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625； ②log216＝4； ③10－2＝0.01； ④log125＝6. 🎯跟踪练习 2-2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 知识点3 利用对数的定义计算 🎯教材例题 求下列各式中x的值： (1)log64x=-； (2)logx8=6； (3)lg 100=x； (4)-ln e2=x. 🎯例3　求下列各式中x的值： (1)-lg x=2； (2)logx=-3； (3)x=lo27； (4)ln=x. 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3 求下列各式中x的值. (1)log3x=-3； (2)logx49=4； (3)lg 0.000 01=x； (4)ln =-x. 知识点4 对数的相关性质 💡知识梳理 对数的性质：(1)loga1=_______(a>0，且a≠1). (2)logaa=1(a>0，且a≠1). (3)负数和0没有对数. (4)对数恒等式：=N；logaax=x(a>0，且a≠1，N>0). 🎯例4 求下列各式中x的值： (1)log2(log5 x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7. (1)关于对数性质的应用 ①熟记性质：loga1＝0；logaa＝1. ②两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值． (2)关于对数恒等式的应用 首先利用指数的运算性质转化为指数的乘积或商的形式，其次根据对数恒等式转化后计算． 反思 归纳 🎯跟踪练习 4-1 求下列各式的值. ①log981=　　　　.  ②log0.41=　　　　.  ③ln e2=　　　　.  🎯跟踪练习 4-2求下列各式中m的值. ①log2(log2m)=0； ②log3(lg m)=1. 🎯一题多变　若把跟踪练习 4-2中①改为“log8[log7(log2m)]=0”，求m的值. 自学小结 对数的概念 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)对数式与指数式的互化. (3)利用对数的定义计算. (4)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化成对数式为(　　) A．logab＝c　　　　 B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b 2．(多选)若对数loga(2－3a)有意义，则实数a的值可以是(　　) A．0 B． C． D． 3．把对数式log8 4＝x化成指数式是________；可求x＝________． 4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝； (3)log 8＝－3. 5.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　　.  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 2天 对数的概念 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. (重点) 3.会求简单的对数值. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数的概念 ❓ 问题1　我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 💬 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 💡知识梳理 1、对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2、对数式与指数式的关系： 辨析：两个式子中都含有三个相同的字母x，a，N，但它们在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中的名称和含义不同，取值及范围相同． ⚠️ 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 🎯例1　若对数式log(m-2)3.14有意义，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 【解】 要使对数式log(m-2)3.14有意义，需解得m>2，且m≠3. 所以实数m的取值范围是(2，3)∪(3，+∞)，故选B 🎯一题多变　将例1的对数式改为“log(m-2)(m-3)”，求实数m的取值范围. 【解】　由题意可得 解得m>3.所以实数m的取值范围是(3，+∞). 关于对数式的范围要求（使得对数式有意义的要求）： 利用式子logab⇒求字母的范围. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________； 【解】　由得2<x<3或3<x<4，故填(2，3)∪(3，4). 知识点2 对数与指数的互相转化 ❓ 问题2　现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 💬提示　x=log23；x=log1.112；x=log105. 💡知识梳理 两类特殊对数：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.  🎯教材例题 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54=625； (2)2-6=； (3)16=-4； (5)lg 0.01=-2； (6)ln 10=n. 【解】　(1)log5625=4； (2)log2=-6； (3)lo=16； (5)10-2=0.01； (6)en=10. 🎯例2 下列指数式与对数式互化： (1)log216=4；　(2)lo=2； (3)ln 10=n；　(4)43=64； (5)3-2=；　(6)10-3=0.001. 【解】　(1)24=16. (2. (3)en=10. (4)log464=3. (5)log3=-2. (6)lg 0.001=-3. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625； ②log216＝4； ③10－2＝0.01； ④log125＝6. 【解】①由54＝625，得log5625＝4. ②由log216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log125＝6，得()6＝125. 🎯跟踪练习 2-2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 【解】因为=3化为对数式应为log93=故C不正确. 故选C 知识点3 利用对数的定义计算 🎯教材例题 求下列各式中x的值： (1)log64x=-； (2)logx8=6； (3)lg 100=x； (4)-ln e2=x. 【解】　(1)因为log64x=-，所以x=6 (2)因为logx8=6，所以x6=8.又x>0，所以x= (3)因为lg 100=x，所以10x=100，10x=102，于是x=2. (4)因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e2=e-x，于是x=-2. 🎯例3　求下列各式中x的值： (1)-lg x=2； (2)logx=-3； (3)x=lo27； (4)ln=x. 【解】　(1)由-lg x=2得lg x=-2，∴x=10-2=. (2)由logx=-3得x-3==4-3，∴x=4. (3)由x=lo27得=27，即3-x=33，∴-x=3，即x=-3. (4)由ln=x得ex=即ex=e-2，∴x=-2. 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3 求下列各式中x的值. (1)log3x=-3； (2)logx49=4； (3)lg 0.000 01=x； (4)ln =-x. 【解】　(1)由题意得x=3-3=. (2)由x4=49，x>0且x≠1，得x=. (3)由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. (4)由e-x=得x=-. 知识点4 对数的相关性质 💡知识梳理 对数的性质：(1)loga1=0(a>0，且a≠1). (2)logaa=1(a>0，且a≠1). (3)负数和0没有对数. (4)对数恒等式：=N；logaax=x(a>0，且a≠1，N>0). 🎯例4 求下列各式中x的值： (1)log2(log5 x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7. 【解】　(1)因为log2(log5 x)＝0，所以log5 x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000. (3)x＝7＝7÷7＝7÷5＝. (1)关于对数性质的应用 ①熟记性质：loga1＝0；logaa＝1. ②两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值． (2)关于对数恒等式的应用 首先利用指数的运算性质转化为指数的乘积或商的形式，其次根据对数恒等式转化后计算． 反思 归纳 🎯跟踪练习 4-1 求下列各式的值. ①log981=　　　　.  ②log0.41=　　　　.  ③ln e2=　　　　.  【解】　方法一　①设log981=x，所以9x=81=92，故x=2，即log981=2. ②设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40，故x=0，即log0.41=0. ③设ln e2=x，所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. 方法二　①log981=log992=2. ②log0.41=0. ③ln e2=2. 答案　①2　②0　③2 🎯跟踪练习 4-2求下列各式中m的值. ①log2(log2m)=0； ②log3(lg m)=1. 【解】　①∵log2(log2m)=0，∴log2m=20=1，∴m=21=2. ②∵log3(lg m)=1，∴lg m=31=3，∴m=103=1 000. 🎯一题多变　若把跟踪练习 4-2中①改为“log8[log7(log2m)]=0”，求m的值. 【解】 由题可知log7(log2m)=1，∴log2m=7，∴m=27=128. 自学小结 对数的概念 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)对数式与指数式的互化. (3)利用对数的定义计算. (4)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化成对数式为(　　) A．logab＝c　　　　　　　 B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b 【解】由对数的定义直接可得logac＝b.故选B. 2．(多选)若对数loga(2－3a)有意义，则实数a的值可以是(　　) A．0 B． C． D． 【解】由题意得0<a<，所以满足条件的有BC. 故选BC. 3．把对数式log8 4＝x化成指数式是________；可求x＝________． 【解】因为log8 4＝x，所以8x＝4，所以23x＝22，所以x＝. 答案：8x＝4　 4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝； (3)log 8＝－3. 【解】(1)因为53＝125，所以log5125＝3. (2)因为4－2＝，所以log4＝－2. (3)因为log8＝－3，所以＝8. 5.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　　.  【解】原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $