4.1 指数【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

4.1 指数 知识点1：n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 知识点2：分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 知识点3：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 知识点4：无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 考点一　根式的化简求值 考点二　分数指数幂与根式的互化 考点三　指数幂的化简、求值 考点一　根式的化简求值 1．（25-26高一·全国·专题训练）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 3．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 故选：D 4．（25-26高一·全国·专题训练）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 6．（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的运算性质化简即得. 【详解】 故答案为：. 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 8．（25-26高一上·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 考点二　分数指数幂与根式的互化 9．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 10．（25-26高一上·吉林·期中）（多选）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 12．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式分析判断即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：BD 13．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】因为a，b为正实数， 所以. 故选：B. 14．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）下列指数幂运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 考点三　指数幂的化简、求值 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16．（25-26高一上·山西阳泉·期末）化简：____________ 【答案】 【详解】原式. 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）(1)计算： （2）已知，求的值. 【答案】（1）25；（2） 【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解. 【详解】（1）原式 （2）由，得，则，， 所以. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 19．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 20．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 21．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 22．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 1．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. 6．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 8．（25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． 11．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 12．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 13．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 15．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 16．（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 【答案】 【分析】根据根式、指数、特殊角的三角函数值等知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】 . 17．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 知识点1：n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 知识点2：分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 知识点3：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 知识点4：无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 考点一　根式的化简求值 考点二　分数指数幂与根式的互化 考点三　指数幂的化简、求值 考点一　根式的化简求值 1．（25-26高一·全国·专题训练）化简（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 3．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 4．（25-26高一·全国·专题训练）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：______． 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 考点二　分数指数幂与根式的互化 9．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·吉林·期中）（多选）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 12．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）下列指数幂运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三　指数幂的化简、求值 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．（25-26高一上·山西阳泉·期末）化简：____________ 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）(1)计算： （2）已知，求的值. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 19．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 20．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 22．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 1．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 6．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 11．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 12．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 13．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 16．（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 17．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: （2）计算: . 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $