4.2 指数函数的图像与性质（12个题型归纳）-人教A版2026年新高一数学暑假预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.2 指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．指数函数及其性质 （1）概念：函数__（且）____称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是__增函数____ 在上是__减函数____ 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，_______； ②当时，__ _____． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成__同底_____的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数函数值大小比较 函数和 当时，___ 当时，____ 当时，____ 当时，__ 当时，____ 当时，____ 4．指数函数相关结论 （1）指数函数（a>0，且a≠1）的图象以x轴为渐近线；恒过定点_______，且以y＝b为渐近线. （2）作指数函数（a＞0，且a≠1）的图象应抓住三个点，（0，1），（1，a）. （3）当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由指数函数求参数】 【练方法】 公式结论 形如为标准指数函数需同时满足 方法技巧 1.标准指数函数要求：底数为正常数且不等于1，系数必须严格等于1 2.解方程求出参数候选值，回代检验底数范围、系数条件 3.区分“指数函数”和“指数型函数”，指数型函数系数可以为任意正数 （25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．1或 （25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________．小试牛刀1 （25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 若函数是指数函数，则________．小试牛刀3 【题型2：求指数函数的解析式】 【练方法】 公式结论 设解析式，代入函数图像上已知点坐标求解底数 方法技巧 1.设出标准指数函数表达式，带入已知点坐标列方程求解底数 2.算出底数后必须验证，舍去不符合范围的解 3.若为指数型复合函数，结合额外约束联立求解参数 易错提醒 1.解方程得到负值底数，没有直接舍去 2.混淆指数函数与指数型函数的设式格式 （25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____．经典例题1例题 （24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 （25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________.小试牛刀2 （25-26高一上·北京通州·期末）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：指数函数过定点问题】 【练方法】 公式结论 对，令指数部分，解出，此时，定点坐标 标准恒过定点 方法技巧 1.无论底数取合法范围内任意数值，恒成立 2.令指数整体等于0，计算对应自变量与函数值即为定点 3.含参指数函数定点与参数取值无关，计算时不用理会底数参数 （24-25高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________．小试牛刀2 （25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________．小试牛刀3 【题型4：指数（型）函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.纯指数函数定义域为全体实数 2.复合型定义域由内层函数自带限制条件决定 3.分式、根式、对数搭配指数时，分别满足分母不为0、被开方数非负等约束 方法技巧 1.指数本身对自变量无限制，定义域只看指数位置的代数式 2.逐层拆解复合结构，列出所有限制不等式，取解集交集 3.分段式指数函数取各段定义域的并集 （25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________.经典例题1例题 （24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________．小试牛刀1 （24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________．小试牛刀2 （24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：指数（型）复合函数的值域】 【练方法】 公式结论 内层函数的值域为集合，外层 时，的范围为单调递增对应区间 时，的范围为单调递减对应区间 恒成立，指数式结果永远大于0 方法技巧 1.由内向外逐层计算，先求内层函数取值范围 2.根据底数的范围判断外层单调性，带入端点算出最值得到值域 3.指数整体恒大于0，值域下界不会小于0 （25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________．经典例题1例题 （2026·广西崇左·一模）函数的值域为______.小试牛刀1 （25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 函数的最小值为_____.小试牛刀3 【题型6：换元法求与指数函数有关的值域】 【练方法】 公式结论 令，先求出的取值范围，将原函数转化为关于的初等函数（一次、二次、分式函数）再求解值域 方法技巧 1.换元同步书写新元的取值范围，依托指数恒正锁定 2.转化为熟悉的二次、对勾、一次函数，结合新元区间求值域 3.多个指数项可统一换元，简化高次、混合式结构 （25-26高一上·河北·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． （25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ）小试牛刀1 A． B． C．0 D．8 （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知定义在上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀2 (1)求和的解析式. (2)求证. (3)求函数，的最小值. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是定义在上的奇函数.小试牛刀3 (1)判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： (2)对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： (3)设函数，在上的最小值为，求的值. 【题型7：由指数（型）函数的值域求参数】 【练方法】 公式结论 已知值域为给定区间，反向锁定内层函数范围，建立关于参数的等式或不等式 方法技巧 1.由值域结合外层指数单调性，反推内层函数的取值区间 2.根据内层函数解析式特征，结合定义域列出参数约束条件 3.端点处的取值严格核验等号是否可以成立 （2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______.小试牛刀1 （25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且.小试牛刀2 (1)求函数、的解析式； (2)若对任意的恒成立，求k的取值范围； (3)设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围. （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数．小试牛刀3 (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【题型8：指数（型）复合函数的单调性】 【练方法】 公式结论 复合函数，同增异减法则 ：外层递增，复合函数单调性与完全一致 ：外层递减，复合函数单调性与完全相反 方法技巧 1.先拆分内外两层函数，分别判断各自单调区间 2.结合底数范围套用同增异减，划分整体单调区间 3.单调区间书写必须遵从原函数定义域，不可超出有效范围 （2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________．经典例题1例题 （2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：指数（型）函数的奇偶性】 【练方法】 公式结论 定义域关于原点对称前提下 奇函数满足，偶函数满足 纯指数为非奇非偶函数，为奇函数 方法技巧 1.第一步优先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶 2.写出解析式，化简后对比、的表达式关系 3.含参数的指数奇偶函数，利用恒等式对应系数相等求解参数 （25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________．经典例题1例题 （25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ）小试牛刀1 A．-1 B．0 C．1 D．3 （2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：由指数（型）函数的奇偶性单调性解不等式】 【练方法】 公式结论 利用奇偶性转化自变量符号、 利用单调性脱去外层符号：递增，递减 方法技巧 1.借助奇偶性把不等式自变量统一到同一侧 2.根据单调性去掉函数外壳，转化为普通代数不等式 3.全程嵌套原函数定义域，解集必须和定义域取交集 （25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________．经典例题1例题 （2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，则满足的实数的取值范围是___________．小试牛刀2 （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：比较指数幂的大小】 【练方法】 公式结论 1.底数相同、指数不同：依托指数函数单调性比较 2.指数相同、底数不同：构造幂函数单调性比较 3.底数指数均不同：选取中间值$0、1$搭桥对比大小 方法技巧 1.同底看单调性，同指看幂函数图像 2.一个大于1、一个小于1时，直接以1为分界判定大小 3.数值接近的指数幂，作差、作商辅助判定大小关系 已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ）小试牛刀3 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【题型12：指数函数综合的不等式最值问题】 【练方法】 公式结论 结合换元法转为二次、对勾等常规函数，配合基本不等式、函数单调性求解最值；指数不等式利用单调性脱去底数求解解集 方法技巧 1.复杂指数式优先换元，限定新元的取值范围 2.最值求解优先使用函数单调性，其次使用基本不等式并核验取等条件 3.指数不等式统一底数后利用单调性转化整式不等式 （25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中.经典例题1例题 (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. （25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．小试牛刀1 (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． （25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”.小试牛刀2 (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. （25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）若函数且是奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 4．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·青海海东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．． 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 三、填空题 7．（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 10．（2026·山东德州·模拟预测）若为偶函数，则实数的值为________． 11．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 四、解答题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 13．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 14．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 15．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 16．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 17．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.2 指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．指数函数及其性质 （1）概念：函数__（且）____称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是__增函数____ 在上是__减函数____ 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，_______； ②当时，__ _____． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成__同底_____的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数函数值大小比较 函数和 当时，___ 当时，____ 当时，____ 当时，__ 当时，____ 当时，____ 4．指数函数相关结论 （1）指数函数（a>0，且a≠1）的图象以x轴为渐近线；恒过定点_______，且以y＝b为渐近线. （2）作指数函数（a＞0，且a≠1）的图象应抓住三个点，（0，1），（1，a）. （3）当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由指数函数求参数】 【练方法】 公式结论 形如为标准指数函数需同时满足 方法技巧 1.标准指数函数要求：底数为正常数且不等于1，系数必须严格等于1 2.解方程求出参数候选值，回代检验底数范围、系数条件 3.区分“指数函数”和“指数型函数”，指数型函数系数可以为任意正数 （25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. （25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数___________．小试牛刀1 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. （25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 若函数是指数函数，则________．小试牛刀3 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 【题型2：求指数函数的解析式】 【练方法】 公式结论 设解析式，代入函数图像上已知点坐标求解底数 方法技巧 1.设出标准指数函数表达式，带入已知点坐标列方程求解底数 2.算出底数后必须验证，舍去不符合范围的解 3.若为指数型复合函数，结合额外约束联立求解参数 易错提醒 1.解方程得到负值底数，没有直接舍去 2.混淆指数函数与指数型函数的设式格式 （25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． （24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则 ， ∴. 故选：A. （25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________.小试牛刀2 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或 且均可. 故答案为：（答案不唯一） （25-26高一上·北京通州·期末）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 【题型3：指数函数过定点问题】 【练方法】 公式结论 对，令指数部分，解出，此时，定点坐标 标准恒过定点 方法技巧 1.无论底数取合法范围内任意数值，恒成立 2.令指数整体等于0，计算对应自变量与函数值即为定点 3.含参指数函数定点与参数取值无关，计算时不用理会底数参数 （24-25高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. （25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. （24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________．小试牛刀2 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. （25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________．小试牛刀3 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 【题型4：指数（型）函数的定义域】 【练方法】 公式结论 1.纯指数函数定义域为全体实数 2.复合型定义域由内层函数自带限制条件决定 3.分式、根式、对数搭配指数时，分别满足分母不为0、被开方数非负等约束 方法技巧 1.指数本身对自变量无限制，定义域只看指数位置的代数式 2.逐层拆解复合结构，列出所有限制不等式，取解集交集 3.分段式指数函数取各段定义域的并集 （25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： （24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. （24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： （24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型5：指数（型）复合函数的值域】 【练方法】 公式结论 内层函数的值域为集合，外层 时，的范围为单调递增对应区间 时，的范围为单调递减对应区间 恒成立，指数式结果永远大于0 方法技巧 1.由内向外逐层计算，先求内层函数取值范围 2.根据底数的范围判断外层单调性，带入端点算出最值得到值域 3.指数整体恒大于0，值域下界不会小于0 （25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________．经典例题1例题 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. （2026·广西崇左·一模）函数的值域为______.小试牛刀1 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. （25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 函数的最小值为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 【题型6：换元法求与指数函数有关的值域】 【练方法】 公式结论 令，先求出的取值范围，将原函数转化为关于的初等函数（一次、二次、分式函数）再求解值域 方法技巧 1.换元同步书写新元的取值范围，依托指数恒正锁定 2.转化为熟悉的二次、对勾、一次函数，结合新元区间求值域 3.多个指数项可统一换元，简化高次、混合式结构 （25-26高一上·河北·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法令，利用二次函数最值的求法可得答案； （2）将不等式转化成一元二次不等式恒成立问题，分离变量可得答案. 【详解】（1）当 时，。 令 ，由 得 ， 则 ，， 为开口向上的二次函数，对称轴 ， ， ， 由，得， 所以 在上 的最大值为 . （2）不等式可化为， 令 ，则：，即， 因 ，两边同除以 ，得， 原不等式恒成立等价于 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等， 所以，所以 可得 . 因此实数 的取值范围为 . （25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ）小试牛刀1 A． B． C．0 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知定义在上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀2 (1)求和的解析式. (2)求证. (3)求函数，的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇偶性求解即可； （2）代入运算即可证明； （3），令，则，令，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）定义在上的奇函数和偶函数， 则，， ∵①， ∴，即②， 联立①②解得：，． （2） ， 再计算：由，可得， 所以． （3）， 令，可知时单调递增，则，， 令， 当，即时，在时单调递增，则； 当，即时， 在时单调递减，在时单调递增， 则； 当，即时，在时单调递减， 则； 综上，. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是定义在上的奇函数.小试牛刀3 (1)判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： (2)对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： (3)设函数，在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)函数在上单调递增； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，求出，并利用奇函数的定义验证，从而得出，根据指数函数的单调性判断在上的单调性即可； （2）根据函数奇偶性和单调性可得，不等式对任意恒成立，根据根的判别式求解即可； （3）令，得到在上的最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即，解得，∴， ∵，∴是奇函数. ∴，. ∵均为上的增函数， ∴在上单调递增， 故函数在上单调递增. （2）∵函数在上单调递增，且为奇函数，则， ∴等价于. 即，即， 即对任意恒成立， ∴，解得， ∴的取值范围是. （3）. 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上的最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为， 所以当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得，不合题意. 综上可知：. 【题型7：由指数（型）函数的值域求参数】 【练方法】 公式结论 已知值域为给定区间，反向锁定内层函数范围，建立关于参数的等式或不等式 方法技巧 1.由值域结合外层指数单调性，反推内层函数的取值区间 2.根据内层函数解析式特征，结合定义域列出参数约束条件 3.端点处的取值严格核验等号是否可以成立 （2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 （25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用二次函数和指数函数单调性得出两段函数值域，依题意得出不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，的值域为， 当时，的值域为， 若使函数的值域为，则, 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图： 显然当和时，，当时，满足题意； 因此不等式的解集为. 故答案为： （25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且.小试牛刀2 (1)求函数、的解析式； (2)若对任意的恒成立，求k的取值范围； (3)设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶性得，结合，求得函数、的解析式； （2）结合指数函数的单调性可得在上单调递增，然后利用的奇函数性质和单调递增将不等式恒成立转化为对任意恒成立，利用判别式法求解k的取值范围即可； （3）利用指数函数的单调性求得时，；利用换元法求得的最小值，然后两函数值域关系列不等式即可求解. 【详解】（1）由题设，，又， 所以两式相加可得，两式相减可得； （2）由得， 因为是奇函数，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 故原问题可化为，即对任意恒成立， 所以，解得. （3）时，， 又，故， 时， ， 令，则， 则， 由，都，使得，只需，即. （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数．小试牛刀3 (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 【题型8：指数（型）复合函数的单调性】 【练方法】 公式结论 复合函数，同增异减法则 ：外层递增，复合函数单调性与完全一致 ：外层递减，复合函数单调性与完全相反 方法技巧 1.先拆分内外两层函数，分别判断各自单调区间 2.结合底数范围套用同增异减，划分整体单调区间 3.单调区间书写必须遵从原函数定义域，不可超出有效范围 （2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________．经典例题1例题 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. （2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. （2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． （2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 【题型9：指数（型）函数的奇偶性】 【练方法】 公式结论 定义域关于原点对称前提下 奇函数满足，偶函数满足 纯指数为非奇非偶函数，为奇函数 方法技巧 1.第一步优先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶 2.写出解析式，化简后对比、的表达式关系 3.含参数的指数奇偶函数，利用恒等式对应系数相等求解参数 （25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________．经典例题1例题 【答案】/0.5 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. （25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ）小试牛刀1 A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C （2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. （2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即 ，. 即. 故选：C 【题型10：由指数（型）函数的奇偶性单调性解不等式】 【练方法】 公式结论 利用奇偶性转化自变量符号、 利用单调性脱去外层符号：递增，递减 方法技巧 1.借助奇偶性把不等式自变量统一到同一侧 2.根据单调性去掉函数外壳，转化为普通代数不等式 3.全程嵌套原函数定义域，解集必须和定义域取交集 （25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】记，定义域为， 因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 则不等式， 平方得，解得，即. （2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. （25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，则满足的实数的取值范围是___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性、单调性解不等式可得答案. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 因为在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 则不等式，即， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：C. 【题型11：比较指数幂的大小】 【练方法】 公式结论 1.底数相同、指数不同：依托指数函数单调性比较 2.指数相同、底数不同：构造幂函数单调性比较 3.底数指数均不同：选取中间值$0、1$搭桥对比大小 方法技巧 1.同底看单调性，同指看幂函数图像 2.一个大于1、一个小于1时，直接以1为分界判定大小 3.数值接近的指数幂，作差、作商辅助判定大小关系 已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数的单调性，得到和，即可求解. 【详解】由，因为函数为单调递减函数，所以， 又因为函数为单调递增函数，所以，所以. （2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 （25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ）小试牛刀3 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【题型12：指数函数综合的不等式最值问题】 【练方法】 公式结论 结合换元法转为二次、对勾等常规函数，配合基本不等式、函数单调性求解最值；指数不等式利用单调性脱去底数求解解集 方法技巧 1.复杂指数式优先换元，限定新元的取值范围 2.最值求解优先使用函数单调性，其次使用基本不等式并核验取等条件 3.指数不等式统一底数后利用单调性转化整式不等式 （25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中.经典例题1例题 (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将得，由即可求解； （2）根据函数为偶函数求出函数的解析式，求出函数在的值域为，将不等式在上有解转化为在上有解即可求解； （3）求出函数的解析式，计算出函数的值域，再考虑，两种情况，分别计算即可求解. 【详解】（1）时，， ，即，解得， 故x的值为. （2）因为函数为偶函数， 所以，即， 整理得，解得，即， 当时，令，，为对勾函数，所以， 所以， 在上有解，即在上有解， ，则，所以， 故实数m的取值范围为. （3）因为在区间上是奇函数，所以有，即， 整理得，解得，即，， 由（2）知，， 所以， ①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以； ②当，令，，为对勾函数，所以； 所以的值域为， 对于上的任意实数，，，不等式恒成立，则 （i）当时，， ，解得， （ii）当时，， ，解得， 综上，的取值范围是. （25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．小试牛刀1 (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在R上单调递增 (2)； (3) 【分析】（1）根据和两函数奇偶性得到方程组，求出和的解析式，并判断出的单调性； （2）转化为，令，，根据函数单调性求出最小值，从而得到不等式，求出实数的取值范围； （3）设在上的值域为，在的值域为，只需为的子集，求出，分类讨论得到，从而列出不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又是奇函数，是偶函数，故， 故①，②， 式子①+②得，故， 故， 其中在R上单调递增，理由如下： 因为在R上单调递增，故在R上单调递增； （2）为奇函数， 时，不等式有解， 即在上有解， 又其中在R上单调递增，故在上有解， 所以，故只需， 令，，则在单调递减， 故在处取得最小值，最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； （3）设在上的值域为，在的值域为， 对任意的，总存在，使得， 只需为的子集， ， 其中在上单调递增，故， 所以，，故， ，对称轴为， 若，在上单调递增，故， 所以，解得，又，故， 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又，故； 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又； 若，在上单调递减，故， 所以，解得，又，无解； 综上，，实数的取值范围为 （25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”.小试牛刀2 (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【答案】(1)不是型函数，是型函数 (2) (3) 【分析】（1）根据型函数的定义进行判断即可； （2）分离参数，利用二次函数知识求解最值即可； （3）根据满足条件的实数对，得出，根据系数关系可得答案. 【详解】（1）因为不可能恒成立，所以不是型函数； 因为，令，所以是型函数. （2）因为任意，恒成立，所以恒成立， 令，因为，所以，则， 由于，的最小值为， 所以，即. （3）因为是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以， 所以，，即. （25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【答案】(1)最小值-3，无最大值 (2) (3) 【分析】（1）用把函数变成关于的二次函数，然后通过配方找到最小值点，因为且二次函数开口向上，所以只有最小值，没有最大值. （2）同样令，把不等式化为，把分离出来，变成求一个分式的最大值，再令，把分式变成二次函数，通过对称轴求出最大值，得到的取值范围. （3）把也令，变成，题目意思是在区间上的最大值和最小值的差要不少于，按分情况讨论：在区间左侧、内部还是右侧，分别讨论单调性并算差值，判断是否满足条件. 【详解】（1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 3．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）若函数且是奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以， 又且，所以. 当时， 是奇函数. 故满足题意. 4．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，利用的单调性将不等式转化为即可求解. 【详解】已知函数， 令，构造新函数，则，因此，， 要满足，即满足， 由于指数函数在实数集上单调递增，一次函数也在实数集上单调递增， 所以在实数集上单调递增，所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围是，故C正确. 二、多选题 5．（24-25高一下·青海海东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：因为，由的单调性可得，故A正确． 对于B：因为，所以，所以，故B不正确． 对于C：因为，所以，，所以，故C正确． 对于D：因为，所以，所以，D不正确． 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A选项直接代入对应的函数解析式即可判断；先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于C选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性；对于D选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域. 【详解】A：； ，本选项正确， B：， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，本选项正确； C：，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当时，即时为减函数，所以本选项不正确； D：，令， 则， 因为所以由二次函数性质可知， 由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，因此本选项正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得， 该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（2026·山东德州·模拟预测）若为偶函数，则实数的值为________． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以， 即对恒成立， 即对恒成立， 故，即. 11．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 四、解答题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质有求参数值，注意验证是否满足题设； （2）问题化为在上恒成立，令，进一步化为在上恒成立，利用单调性求出右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 13．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)为奇函数 (2)函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为， 令，则 ， 因为，则，可得，，， 可得，即， 所以在定义域上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇偶性定义判断的奇偶性； （2）令，根据函数解析式判断的符号，即可证的单调性； （3）根据题意结合函数性质可得，解不等式即可得取值范围． 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 对，都有，则， 所以为奇函数. （2）略 （3）因为，且为奇函数， 则， 又因为在定义域上单调递减，则， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 14．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 15．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. (3) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）由奇偶性的定义求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 （2）略 （3）因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即, 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 16．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 17．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 18．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）（2）利用特殊值法求出、的值或满足的条件，再结合函数奇偶性的定义检验即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，所以， 所以， 因为，， 由奇函数的定义可得，即，解得， 且当，时，函数， 对任意的，，即函数的定义域为， 对任意的，， 故函数为奇函数，符合题意， 综上所述，，. （2）因为函数是定义在上的偶函数， 因为，， 由偶函数的定义可得，即①， 因为，， 由偶函数的定义可得，即②， 联立①②可得，此时， 由题意可知无实数解，即对任意的恒成立， 因为，所以，此时， 显然对任意的，，函数为定义在上的偶函数， 综上所述，且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $