4.1 指数（5个题型归纳）讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.1 指数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做_根式_____，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①_负数_____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作_0_____． ③__ ____（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是________（，且）；正数的负分数指数幂的意义是________（，，且）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__ 没有意义______． （2）有理指数幂的运算性质：__ ______；__ ______；__ ______，其中，，． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根式的化简求值】 【练方法】 公式结论 1.次根式定义：若，则 2.根式基本性质 3.根式乘除：； 4.根式乘方： 方法技巧 1.偶次根式化简优先加绝对值，再根据条件去绝对值符号 2.多重根式统一化为分数指数幂运算，简化开方步骤 3.含字母根式先判断字母正负，再去掉绝对值符号 易错提醒 1.偶数时化简直接写成，遗漏绝对值 2.乘除根式不限制被开方数非负，出现无意义负数开偶次方 化简（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______．小试牛刀1 （25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ）小试牛刀3 A． B．2 C．4 D． 【题型2：分数指数幂与根式的互化】 【练方法】 公式结论 1.正分数指数幂： 2.负分数指数幂： 3.零指数： 方法技巧 1.根式转指数幂：根指数作分母，被开方数指数作分子 2.负指数统一先取倒数，再转化根式 3.计算前先约分分数指数至最简，减少运算量 易错提醒 1.时随意套用分数指数幂公式，偶次根式无定义 2.负分数指数遗漏取倒数步骤 （25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·天津·期末）已知，若，则实数___________．小试牛刀1 （25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：指数幂的化简求值】 【练方法】 公式结论 设， 1.同底数相乘： 2.同底数相除： 3.幂的乘方： 4.积的乘方： 5.商的乘方： 方法技巧 1.混合运算统一化为分数指数幂，再利用五条运算性质合并 2.多重括号从内向外逐层化简，负指数全部转化为分式 3.已知整体值，采用整体代换求值，不单独求 易错提醒 1.底数为负、零随意套用指数运算法则 2.幂的乘方、同底数加减混淆公式， （25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一上·山西阳泉·期末）化简：____________小试牛刀1 （2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示）小试牛刀2 （25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________.小试牛刀3 【题型4：指数运算中完全平方公式的应用】 【练方法】 公式结论 设 1.和完全平方： 2.差完全平方： 3.变形推导： 方法技巧 1.已知，直接平方求 2.已知，反向配方求，开方注意符号判断 3.多步求值先整体设元，简化式子结构 易错提醒 1.完全平方展开遗漏中间常数项 2.开平方求不判断正负，直接写唯一解 （2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____.经典例题1例题 （2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______．小试牛刀1 （25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，求的值______小试牛刀2 （25-26高一上·上海·期中）若，则___________．小试牛刀3 【题型5：指数运算中立方和/立方差公式的应用】 【练方法】 公式结论 设 1.立方和： 2.立方差： 3.辅助恒等式： 方法技巧 1.已知一次式，代入立方和差公式求三次式 2.缺少二次项时先用完全平方公式构造再代入 3.整体代换，不拆分单独计算数值 易错提醒 1.立方和、立方差中间常数符号记混，立方和中间为 2.未先用完全平方构造二次整体，直接强行展开计算 （25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________经典例题1例题 （25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________小试牛刀1 （24-25高一上·北京·期中）计算:小试牛刀2 (1) (2)已知，求的值. （2025高一上·辽宁沈阳·专题练习）（1）求值：；小试牛刀3 （2）若， （i）； （ii）求． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 5．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 6．（2026·广西南宁·一模）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 10．（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 11．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）已知，则为________. 13．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 14．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 16．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 17．（25-26高一上·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 18．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.1 指数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做_根式_____，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①_负数_____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作_0_____． ③__ ____（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是________（，且）；正数的负分数指数幂的意义是________（，，且）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__ 没有意义______． （2）有理指数幂的运算性质：__ ______；__ ______；__ ______，其中，，． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根式的化简求值】 【练方法】 公式结论 1.次根式定义：若，则 2.根式基本性质 3.根式乘除：； 4.根式乘方： 方法技巧 1.偶次根式化简优先加绝对值，再根据条件去绝对值符号 2.多重根式统一化为分数指数幂运算，简化开方步骤 3.含字母根式先判断字母正负，再去掉绝对值符号 易错提醒 1.偶数时化简直接写成，遗漏绝对值 2.乘除根式不限制被开方数非负，出现无意义负数开偶次方 化简（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． （25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______．小试牛刀1 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． （25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. （25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ）小试牛刀3 A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 【题型2：分数指数幂与根式的互化】 【练方法】 公式结论 1.正分数指数幂： 2.负分数指数幂： 3.零指数： 方法技巧 1.根式转指数幂：根指数作分母，被开方数指数作分子 2.负指数统一先取倒数，再转化根式 3.计算前先约分分数指数至最简，减少运算量 易错提醒 1.时随意套用分数指数幂公式，偶次根式无定义 2.负分数指数遗漏取倒数步骤 （25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A （25-26高一上·天津·期末）已知，若，则实数___________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算法则，化简即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. （25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A （25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 【题型3：指数幂的化简求值】 【练方法】 公式结论 设， 1.同底数相乘： 2.同底数相除： 3.幂的乘方： 4.积的乘方： 5.商的乘方： 方法技巧 1.混合运算统一化为分数指数幂，再利用五条运算性质合并 2.多重括号从内向外逐层化简，负指数全部转化为分式 3.已知整体值，采用整体代换求值，不单独求 易错提醒 1.底数为负、零随意套用指数运算法则 2.幂的乘方、同底数加减混淆公式， （25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算求解即可. 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 （24-25高一上·山西阳泉·期末）化简：____________小试牛刀1 【答案】 【详解】原式. （2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示）小试牛刀2 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． （25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 【题型4：指数运算中完全平方公式的应用】 【练方法】 公式结论 设 1.和完全平方： 2.差完全平方： 3.变形推导： 方法技巧 1.已知，直接平方求 2.已知，反向配方求，开方注意符号判断 3.多步求值先整体设元，简化式子结构 易错提醒 1.完全平方展开遗漏中间常数项 2.开平方求不判断正负，直接写唯一解 （2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____.经典例题1例题 【答案】2 【分析】利用完全平方公式及指数运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. （2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. （25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，求的值______小试牛刀2 【答案】 【分析】结合完全平方和公式，利用指数运算性质化简求值即可. 【详解】由，则，即， ，又，则，故， 故. 故答案为： （25-26高一上·上海·期中）若，则___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由指数幂运算求解． 【详解】， 而，得． 故答案为： 【题型5：指数运算中立方和/立方差公式的应用】 【练方法】 公式结论 设 1.立方和： 2.立方差： 3.辅助恒等式： 方法技巧 1.已知一次式，代入立方和差公式求三次式 2.缺少二次项时先用完全平方公式构造再代入 3.整体代换，不拆分单独计算数值 易错提醒 1.立方和、立方差中间常数符号记混，立方和中间为 2.未先用完全平方构造二次整体，直接强行展开计算 （25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________经典例题1例题 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 （25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________小试牛刀1 【答案】 【分析】利用立方差公式将因式分解，再化简求值即可. 【详解】； 故答案为： （24-25高一上·北京·期中）计算:小试牛刀2 (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. （2025高一上·辽宁沈阳·专题练习）（1）求值：；小试牛刀3 （2）若， （i）； （ii）求． 【答案】（1）；   （2）（i）； （ii）. 【分析】（1）根据分数指数幂运算的性质化简可得； （2）对进行平方，结合完全平方公式和立方和公式可求出结果． 【详解】（1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又 ， 故． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【详解】由，得. 故选：C 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 5．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 6．（2026·广西南宁·一模）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 8．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. 11．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）已知，则为________. 【答案】 【分析】利用立方差公式即可求解. 【详解】由题意得： . 13．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 14．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以 ， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 16．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 17．（25-26高一上·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将指数分别相乘后化简； （2）将各项底数化为幂的形式，再根据分数指数幂和负指数幂的运算法则分步计算，最后合并结果. 【详解】（1）； （2），， ，， . 18．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $