暑假结业测01--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册暑假结业测，以几何直观、运算能力和模型意识为核心，通过机车消费、游戏设计等真实情境，综合考查四边形、二次函数、概率等知识，适配假期知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|四边形中点、二次函数图像、视图|第4题螺栓俯视图考查空间观念，第6题掷骰子概率表培养数据意识| |填空题|5/20|正方形中点连线、方程根与系数|第14题抽卡片概率结合生活情境，体现应用意识| |解答题|5/50|几何证明、方程应用、函数创新定义|第17题机车进货问题考查模型意识，第20题函数翻折定义发展创新思维|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 01 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 3．下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 4．如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 7．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 12．设、是方程的两个根，则的值为______． 13．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 14．小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 15．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 17．年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 18．如图是的正方形方格纸，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点A、B、C都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留作图痕迹（不要求写画法）． (1)将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，请在图中画出． (2)在（1）的基础上，连接，则的面积为________． (3)在（2）的基础上，在线段上画一点D，连接，使得的面积是面积的． 19．（1）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，请直接写出与互余的角． （2）如图1是由6个相同的正方体堆成的物体，试在网格中画出新物体的主视图，要求不改变正方体的个数，改变物体的形状，使它的俯视图为图2（画出一种即可） 20．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 01 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是矩形，结合三角形中位线定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，分别交于点，设交于点， ∵点、分别是边、的中点，， ∴分别是三角形，三角形的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 【答案】D 【详解】解：A．底角是等腰三角形的特有概念，判定等腰三角形应为有两个角相等的三角形，该命题为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，等腰梯形对角线相等但不是矩形，该命题为假命题． C．相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，即面积比等于对应高的比的平方，该命题为假命题． D．设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，． ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，该命题为真命题． 4．如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行判断即可求解． 【详解】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱 ∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形 ∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 6．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】D 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 【详解】解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 7．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 8．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 9．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 10．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到，    证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 12．设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 13．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 14．小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 15．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； (2)证明：四边形是平行四边形， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等腰三角形的性质得出结论即可； （2）先利用平行四边形性质得，结合已知推导得到，进而证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是矩形． 【详解】（1）略； （2）略． 17．年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【答案】(1) 型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台 (2) 解：能确定，理由如下： 设购进型机车台，型机车台，其中均为非负整数， 由题意可得：， ∴， ∵均为非负整数， ∴； 故能确定型机车购进台. 【分析】 （1）设出未知数，根据两种型号机车的数量关系列分式方程求解，检验根的有效性即可得到结果； （2）设出两种型号的进货台数，根据总费用列出二元一次方程，结合台数为非负整数的限制，即可求出唯一符合条件的解. 【详解】（1）解：设型机车的进货价为万元/台，则型机车的进货价为万元/台， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台； （2）略 18．如图是的正方形方格纸，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点A、B、C都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留作图痕迹（不要求写画法）． (1)将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，请在图中画出． (2)在（1）的基础上，连接，则的面积为________． (3)在（2）的基础上，在线段上画一点D，连接，使得的面积是面积的． 【答案】(1)为所求作； (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的特点作图即可； （2）利用割补法求解即可； （3）取格点E、F，连接交于点D，则点D即为所求；可证明，则，则，即的面积是面积的． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， 则； （3）略 19．（1）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，请直接写出与互余的角． （2）如图1是由6个相同的正方体堆成的物体，试在网格中画出新物体的主视图，要求不改变正方体的个数，改变物体的形状，使它的俯视图为图2（画出一种即可） 【答案】 （1）在图中标记的角中，与互余的角是； （2）解：新物体及其俯视图和主视图如下图所示： 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，画小立方块堆砌图形的三视图． （1），由平行线的性质，结合对顶角相等，可得，即可得与互余的角； （2）根据题意，结合俯视图，可得新物体，画主视图即可． 【详解】（1）解：∵直尺的两边相互平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在图中标记的角中，与互余的角是，，． （2）略 20．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $